Otimização Combinatória e Programação Linear PDF
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OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E PROGRAMAÇÃO LINEAR Modelos e Algoritmos Preencha aficha de cadastrono final deste livro e receba gratuitamente informações sobre os lançamentos e as promoções da Elsevier. Consulte nosso catálogo completo, últimos lançamentos e serviços no site www.elsevier.com.br OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E PROGRAMAÇÃO LINEAR Modelos e Algoritmos © 2005, Elsevier Editora Ltda. Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei no9.610 de 19/02/1998. Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros. Editoração Eletrônica Estúdio Castellani Revisão Gráfica Roberto Mauro Facce Singular Traduções e Serviços Editoriais Projeto Gráfico Elsevier Editora Ltda. Conhecimento sem Fronteiras Rua Sete de Setembro, 111 – 16º andar 20050-006 – Centro – Rio de Janeiro – RJ – Brasil Rua Quintana, 753 – 8º andar 04569-011 – Brooklin – São Paulo – SP – Brasil Serviço de Atendimento ao Cliente 0800-0265340 [email protected] ISBN 978-85-352-1520-5 Nota:Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendimento ao Cliente, para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão. Nemaeditoranemoautorassumemqualquerresponsabilidadeporeventuaisdanosouperdasapessoas oubens,originados do uso desta publicação. CIP-Brasil. Catalogação na fonte. Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ G654o 2.ed. Goldbarg, Marco Cesar Otimização combinatória e programação linear: modelos e algoritmos / Marco Cesar Goldbarg, Henrique Pacca L. Luna. -2.ed. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2005 – 10areimpressão. il. Inclui bibliografia ISBN 978-85-352-1520-5 1. Otimização combinatória. 2. Programação linear. I. Luna, Henrique Pacca L. (Henrique Pacca Loureiro). II. Título. 04-2886. CDD – 519.4 CDU – 519.68 PREFÁCIO Osautoressãoprofessoresreconhecidosnasáreasdeotimização,programaçãomatemáticaepesquisa operacional.Orientamtesesdepós-graduação,lecionamdisciplinasdegraduaçãoedepós-graduação nosassuntostratadosnestelivro,publicamemrevistascientíficasindexadaseexercemliderançaaca- dêmica em suas universidades. MarcosC.GoldbargeHenriqueP.L.Lunaforamfelizesemlançarestelivro,poisescolheramum momentopropícioemquehámuitosestudanteseprofissionaisnoBrasilinteressadosnosprocessos científicos de apoio à decisão. OtimizaçãoCombinatóriaeProgramaçãoLinear:ModeloseAlgoritmosconsegueumequilíbrioentrea artedemodelagemmatemáticaemotimizaçãoeosalgoritmosparasolucionaressesmodelos.Apartir dométododosimplexparasolucionarproblemasdeprogramaçãolinearosautorespercorremdema- neira muito didática temas importantes como fluxo em redes, caminho mais curto em um grafo e árvoregeradoramínimadeumgrafo,ondeoleitoroualeitorapodeperceberanecessidadeounão deorientarumgrafo.Estámuitobemintroduzidaanoçãodeprogramaçãolinearcomvariáveisintei- rasesuasaplicaçõesemproblemasdedecisão,nosquaisalgumasvariáveissãobivalentes(0-1).Amo- delagem0-1édegrandeutilidadeparaproblemasdelocalizaçãodefacilidades,concepçãoderedesde serviço, de percursos de veículos. Háproblemasclássicosdeotimizaçãocombinatóriaparaosquaismétodosespecíficosdeprogra- maçãolinearcomvariáveisbivalentesforamdesenvolvidos.Dentreessesproblemas,osautoresdes- crevemcommuitaclarezaosseguintes:docaixeiroviajante,departicionamento,derecobrimento,de corte, de carregamento, de empacotamento e de percurso de veículos. Dadaaexplosãocombinatorialdealgunsproblemasdeotimizaçãocombinatóriamuitasvezesnão seconsegueobterumasoluçãoótima;assimsendo,osautoresconsideraramtambémmétodosheurís- ticos, com complexidade numérica polinomial, visando à busca de soluções boas. Olivroestábemredigido,bemilustrado,contendobonsexercícioseumabibliografiaatualizada. Considero um trabalho essencial para o ensino de otimização combinatória no Brasil. NELSONMACULAN Secretário de Ensino Superior do Ministério da Educação Professor Titular Universidade Federal do Rio de Janeiro INTRODUÇÃO À SEGUNDA EDIÇÃO A segunda edição do livro Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelos e Algoritmos chega nummomentooportuno,emquesealiamanecessidadedeatualizaçãodamatériaeamaturidadedos autorescomrelaçãoàobra.Cincoanossepassaram,quatromilheirosforamimpressos,comumamé- diademaisdeumatiragemporano.Asmelhoriasagoraintroduzidasestãocalcadasnaexperiência oriundadoprópriousodolivroemsaladeaulaenoscomentáriosdecolegasprofessoresquenoshon- raram com o uso da primeira edição. Constituindoumaversãoatualizadaquepreservaoconteúdooriginalemelhoraaformadeapre- sentação,estasegundaediçãocontemplaumasignificativainclusãodereferênciasàproduçãocientífi- cadoprimeirolustredonovomilênio.Aatualizaçãoresultouemumsaldopositivodedezenasdepá- ginas,comasupressãodealgumaspáginasdoapêndicequenãoeramreferenciadasnotextoprincipal daprimeiraedição.Aricailustraçãodolivrofoireorganizadacomanumeraçãorestritaaoescopode cadacapítulo,abrangendoasreferênciasafiguras,equações,quadrosetabelas,queporsuaveztive- ram apresentação padronizada. A presente edição buscou principalmente atualizar as citações bibliográficas, especialmente no concernenteaosalgoritmosdesoluçãodosproblemasdeotimizaçãocombinatóriaabordados,erevi- sarastaxonomiasutilizadasnoscapítulosaplicados.Porexemplo,oCapítulo9,quetratade“Proble- masdeRoteamento”,foicompletamenterefeitocomumesquemamaisatualdeclassificaçãodalitera- turapertinente.Porsuavez,osCapítulos8e10,tratando,respectivamente,doProblemadoCaixeiro Viajanteedosproblemasde“Cobertura,ParticionamentoeLocalização”foramtambémenriquecidos eatualizados.Algummaterialmigroudecapítulo,comofimdeaglutinarmatériasafinsededarmaior aderência aos nomes que rotulam os capítulos. Estasegundaediçãosurgenumaépocaemqueseconsolidaaligaçãoentreotimizaçãocombinató- riaeprogramaçãolinear,oqueratificaoacertodonomedolivroeaimportânciadamatérianeleensi- nada.Outratendênciaquetambémjáhaviasidoantecipadanaprimeiraediçãoserefereaointeresse dousodeheurísticasclássicasedemeta-heurísticasnaabordagemdeproblemasdeotimizaçãocombi- natória. Essas duas tendências mundiais são realçadas no livro e se refletem no próprio trabalho de pesquisadosautoresedeseusalunosdepós-graduação,cujosartigoscientíficos,tesesedissertações possuemcarátermaisavançadoecomplementaràtemáticafundamentadanolivro.Noâmbitodaoti- mizaçãocombinatória,busca-seumequilíbrioentreoensinodealgoritmosexatos,queemregrapas- sam pelo uso de programação linear inteira mista, e de algoritmos aproximados, que em regra hoje usammeta-heurísticas.Oestudantedeveseconscientizarqueabuscadaotimalidadeglobalésempre umidealaserperseguido,masquefaceàcomplexidadedosproblemasdomundorealémuitasvezes necessário cunhar um método heurístico para a resolução do problema em questão. A lição é que o bomsenso,aavaliaçãocríticaeacompetênciadevemprevalecernaabordagemdeumproblema,evi- tando-se tanto o medo da complexidade quanto a obsessão pela exatidão. Lançadanocomeçodosegundolustredonovomilênio,estasegundaediçãomuitosebeneficiade umaépocaemqueasredesdecomunicaçãosetornaramumagenteefetivodeapoioaoensinoeàpes- quisa.Afaltadeboasbibliotecasdeixoudeser,emtermosdecapacidadedebuscadeconhecimento, um dos fatores determinantes das desigualdades regionais. XIV OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E PROGRAMAÇÃO LINEAR ELSEVIER Do Nordeste brasileiro os autores obtiveram praticamente todo o acervo da produção científica, cujareferênciaficaacrescidanestasegundaedição.Naturalmentecabeaoleitoroaproveitamentodire- todessaricainformaçãoeletrônica.Nesseperíodoentreaprimeiraeasegundaediçãocresceumuitoa acessibilidadeaoconhecimentogeradonomundo.Omaterialcomplementarqueosautoresdisponibi- lizamnaWebéapenaspartedainformaçãoqueoleitormaisinteressadodeverecuperar.Nossomeio acadêmicoprecisaserincentivadoatirarmaiorproveitodagratuidadedericasfontesdeinformação pelaInternete,principalmente,dopagamentoedifusãopelaCAPESdasediçõeseletrônicasdosprin- cipais periódicos científicos. Hámuitosexercíciosresolvidosnolivroe,emboraamaioriadosexercíciospropostossejamtratá- veis,hátodograudedificuldadenosexercíciossugeridos,algunsconstituindoemsiproblemaspara dissertaçõesdemestradooumesmotesesdedoutorado.Énormal,portanto,quehajaalgunsexercícios emaberto,eoleitorprofessoroualunodeveentenderquenessescasosaresoluçãopodeeventualmen- teserobtidadepoisdeumesforçodepesquisaqueaindanãofoiempreendidonemmesmopelosauto- res.Nessesentido,olivrodeveserentendidocomoumtrampolimparaaatividadedepesquisa,eépor isso que serve também a cursos de pós-graduação. Apropósito,alémdosítiodaeditora,oleitorinteressadotambémpoderecuperarinformação em repositórios de cursos de pós-graduação e de laboratórios de pesquisa. Inclusive, a CAPES atualmenterecomendatransparênciaeconteúdoeletrônicoparatodocursodepós-graduação,dis- ponibilizandonaredeseumaterialdeensinoeincentivandohomepagesdosprópriosalunos,nas quaisdevemexibirseusexercíciosresolvidoseseustrabalhosdecomputaçãocientífica.Essareco- mendaçãoéadotadanoProgramadePós-GraduaçãoemModelagemComputacionaldeConheci- mento da UFAL, em Maceió (http://www.tci.ufal.br/mcc). Em particular, nesse programa estão lan- çandosuashomepagesosonzealunosmatriculadosnosegundosemestrede2004dadisciplinade OtimizaçãoContínuaeCombinatória,ministradapeloautorHenriquePaccaL.Luna,naqualnos- solivroéadotado,eosalunosdevemrodaremdiferentespacotesdeotimizaçãomuitosdosexercí- ciosresolvidosepropostosnolivro.Devidoaumagrandequantidadedeinformação,comodevi- docuidado,oleitorpodeusardiretamenteessetipodehomepagecomofontedeinformaçãocom- plementarparaolivro.Outrafontedecarátercomplementarestánossítiosdelaboratóriosdepes- quisaedoCNPq,emparticulardosistemaLattes,noqualseencontramcurrículosediretóriosde gruposdepesquisabrasileiros.Emparticular,oNúcleodeExcelênciaemOtimizaçãodeSistemas Complexos,quearticulaumconsórciodepesquisadeinstituiçõesnordestinas,mineirasefrance- sas, e disponibiliza material digital em http://nexos.tci.ufal.br, em que se encontram artigos, teses, dissertações,palestras,figuras,modeloscomputacionaiseexercíciosresolvidosdenossoslivrose notasdeaula. Reafirmamos nossos agradecimentos a todos que foram citados explícita ou implicitamente na introdução à primeira edição. A eles se somam colegas de ensino e alunos de graduação e de pós-graduação,dosquaismuitossegraduaramouvirarammestresedoutoresnesseperíododecin- coanosentreaprimeiraeasegundaediçãodolivro.Oscolegasprofessoresdaáreacontinuamaqui representados pelo professor Nelson Maculan, hoje Secretário de Educação Superior do MEC, que muitonoshonroucomaapresentaçãodolivro.AprofessoraElizabethFerreiraGouveia,daUFRN, nosajudoutambémnestasegundaediçãoemereceumagradecimentoespecial.Dessaveztambém, apesar de todo o esforço de revisão, erros que eventualmente persistirem são de responsabilidade dos autores, que continuam à disposição, por meio dos endereços eletrônicos [email protected] e [email protected]íticasesugestões.Efinalmenteagradecemosaosleitores,cujointeres- sesuscitouaviabilidadeeconômicadestasegundaediçãonumtemaquetantonosfascina. Marco C. Goldbarg Henrique P. L. Luna novembro de 2004 INTRODUÇÃO À PRIMEIRA EDIÇÃO Autilizaçãodoferramentalda“PesquisaOperacional”napromoçãodaeficiênciaeeficáciaorganiza- cionalemtodososníveisdagestãoéumarealidadetornadaviávelpelomicrocomputadorepeloavan- çodoestadodaarte.Defato,arelevânciadaáreadesistemasdeapoioàdecisãovemcrescendocomo adventodasestaçõesdetrabalho,queaumbaixocusto,ecommaiorproximidadefísicadosexecuti- vos,oferecemcapacidadedecálculo,dearmazenamentoerecursosgráficosantesdisponíveisapenas em máquinas de grande porte. Dentro desse cenário, torna-se cada vez mais crucial o pleno domínio desse ferramental, especial- mentepelosprofissionaisdasáreasdeciênciasexatasedeadministração.Nessesentidoopresentetraba- lhofoielaboradoparafacilitaroacessoeodomíniodastécnicasdeotimizaçãocombinatóriaeprograma- çãolinear. Olivrobuscacobrirumalacunaexistentenaliteraturanacionalnoquedizrespeitoaodesenvolvi- mentodehabilidadesnecessáriasàmodelagemmatemáticaeàsoluçãodeimportantesproblemasde otimização.Oobjetivoprincipaldestaobraépropiciarsubsídiostécnicos,descrevermodelosmatemá- ticos,debateralgoritmosdesoluçãoesugerirtemasdeaplicação,dentrodavisãoquantitativadeanáli- sedofenômenodetomadadedecisão,principalmenteaosalunosdegraduaçãodasengenharias,cur- sos de administração e de ciência da computação. Aceito como um texto introdutório, o livro poderá ser utilizado também no contexto da pós- graduação.Objetivandotalpossibilidade,évastaeatualizadaarevisãobibliográficaqueacompanha cadatemaespecífico,demodoqueoestudantedepós-graduaçãopossa,commaisfacilidade,alcançar o aprofundamento necessário. OconteúdoprogramáticocobertopelosCapítulosde1a5englobaoqueénormalmenteexigido emdisciplinasquesãodenominadasclassicamentecomo“PesquisaOperacional”,“OtimizaçãodeSis- temasdeEngenharia”,“ProgramaçãoLinear”etc.Oprofessordessasdisciplinasdegraduaçãopoderá tambémoptarpelasubstituiçãodoCapítulo5pelaspartesiniciaisdosCapítulos6e7,principalmente se o curso contar com apenas uma disciplina básica nessa área do conhecimento. OconteúdodosCapítulos6a10abordatemasemotimizaçãocombinatóriaquesãoobjetodedisci- plinas como “Otimização Combinatória”, “Algoritmos em Grafos”, “Fluxos em Redes” etc. Essa se- gundapartedolivrocontémmaterialumpoucomaisavançado,servindotipicamenteadisciplinasop- tativas de nossos cursos de graduação ou a disciplinas de pós-graduação. Dessaformaotextofoiorganizadoparaauxiliarosdocentesnodecursodesuatarefadeincentivar efacilitaroprocessodeconstruçãodoconhecimentodosalunos,pormeiodadisponibilizaçãodeum arcabouço de consulta adequado, consistente e compacto. Umaoutracaracterísticamarcantedestetrabalhosãoasváriasaplicaçõespráticasretiradasdarea- lidadebrasileira,oquepermiteaproximaradisciplinaaodia-a-diadoestudante,aumentandooincen- tivoàmotivação.Noâmbitodaprogramaçãolinear,olivroécaracterizadopelousointensivodeinter- pretaçãoeconômicadométodosimplexedasrelaçõesdedualidadeesensibilidade.Aideiaéinsistir nopontodequeasferramentasdeotimizaçãoindicamasatividadesdemaiorprodutividadenasem- presas, e de que o uso dessas ferramentas também indicam os preços de maior competitividade. No âmbito da otimização combinatória, como o próprio nome indica, o livro se caracteriza pela apresentaçãodosproblemasatravésdousodeliberadodeformulaçõesdeprogramaçãolinearinteira mista.Alémdointeresseteórico,aformulaçãodeproblemascombinatóriosatravésdaprogramaçãoin- XVI OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E PROGRAMAÇÃO LINEAR ELSEVIER teira abre caminho para o uso dos eficientes pacotes comerciais de programação matemática, cujo avançonasoluçãoexatadeimportantesproblemaspráticostemsidomarcante.Mesmoparaheurísti- casquedispensamaformulaçãodeprogramaçãolinearinteira,avaliaçõesdequalidadedesoluçãopo- dem ser feitas muitas vezes mediante o uso de relaxação do problema de programação linear. Lançadonaviradadomilênio,olivrosebeneficiadeumaépocaemqueasredesdecomunicação setornaramumagenteefetivodeapoioaoensino,inserindo-seemumapropostadaeditoraemdispo- nibilizar material complementar por meio da Internet, principalmente para os professores cadastra- dos.Maisdetalhesserãofornecidosnositecorrespondente,emfunçãodadinâmicadainteraçãocom professoresealunos.Paraajudá-loaobteromáximoproveitodestelivro,colocamosalgunsíconesas- sociadosaosexercíciosresolvidosearesolver.Assim,ossímbolos(cid:2),(cid:3),(cid:4),(cid:5)e(cid:6)indicamograudedi- ficuldade do exercício, em ordem crescente. Omaterialdestaprimeiraediçãofoiexperimentadoerevisadoduranteumano,emdisciplinasde graduaçãoedepós-graduação,tantonaUFRNquantonaUFMG.Alistaseriamuitolonga,masagrade- cemoscomatençãoespecialatodosessesalunosqueserviramdecobaias.Algunscolegasdaáreanos ajudaramdediferentesformas,eentendemosquetodosestãoaquirepresentadospeloProfessorNelson Maculan,quemuitonoshonracomaapresentaçãodolivro.Umpapelimportantetambémcoubeaopes- soaldemonitoriadasdisciplinasdePesquisaOperacionaldaUFMGduranteoanode1999.Odoutoran- doRicardoPoleyMartinsFerreiraproduziuumasériedetransparênciasquepermitiramoacompanha- mentodolivronasaulas.AmestrandaRenataCoutoMoreira([email protected])eograduando AdrianoCésarMachadoPereira([email protected])continuamtrabalhandoconosconoapoioaoen- sinoenaproduçãodematerialdidático,principalmentenaresoluçãodeexercícios.Foigraçasaessepes- soaldeapoioquepudemosdisponibilizarmaterialcomplementarpelaInternet. ÀprofessoraElizabethFerreiraGouvêanossosagradecimentospelasimportantesobservaçõesfei- tas na fase da revisão final. Apesardetodooesforçoderevisão,errosqueeventualmentepersistiremsãonaturalmentederespon- sabilidadedosautores,quesecolocamàdisposição,pormeiodosendereçoseletrô[email protected] [email protected],parareceberobservações,críticasesugestõesjulgadasoportunas.Esperamosqueoli- vrocontribuaparaoapoioaoensinodessaáreadoconhecimentoquetantonosfascina. M. C. Goldbarg H. P. L. Luna novembro de 1999 1 MODELAGEM DE PROBLEMAS 1.1 – PRINCÍPIOS DO PROCESSO DE MODELAGEM 1.1.1 – Conceito Intuitivo de Modelo Ohomemsempredesejouentenderoseuplanetaeomundoemgeral.Asimposiçõesdasobrevivência assimodeterminaram.Rodeadadeelementosmateriais,aprimeiranecessidadedahumanidadefoicon- quistarodomíniodeseumeioambiente.Asegurançacontrapredadoresefenômenosnaturais,abusca daalimentação,aorganizaçãosocialdosnúcleoshumanosetc.despertaramosprimeirosquestionamen- tosdohomem,privilegiandoaaçãosobreoconcreto. Àmedida queasnecessidadesdoespíritohumano foramsetornandomaiscomplexas,cresceramascarênciasporaperfeiçoaroprocessodecompreensão do mundo. Já na Antiguidade, inúmeras e sofisticadas estruturas de abstração foram se apresentando para representar as propriedades e os diversos graus de interação entre os vários interferentes desse todo.Naimpossibilidadedelidardiretamentecomacomplexidadedomundo,ohomemtemsemostra- docadavezmaishábilnacriaçãodemetáforasparaarepresentaçãoesoluçãodesuarelaçãocomesse mesmomundo. Esseprocessodebuscadeumavisãobemestruturadadarealidade(esclarecimento)éfundamental- menteumfenômenodemodelagem.Apalavramodelopodeterdiversossignificados.Modelocomo representaçãosubstitutivadarealidadedistingue-sedoverbomodelar.Overbointroduzaideiadesi- mulação da realidade, que é mais ampla que a simples representação. Ummodeloéumveículoparaumavisãobemestruturadadarealidade.Ummodelopodetambémser visto, com os devidos cuidados,como uma representação substitutiva da realidade. Todosnósjálidamoscommodelos,mesmoemocasiõesnaisquaisnãopossuíamosamínimacons- ciênciadisso.Quandoexplicamosalgoaumapessoausandofotografiasougráficos,ouquandorepre- sentamos planos ou sólidos através de equações matemáticas, nada mais estamos fazendo do que transmitir e interpretar a estranha realidade através de metáforas de substituição oumodelos. AGeometriaEuclidianaéummodeloquesatisfazaumconjuntodeaxiomas,ouaummodelode contextoaxiomático.Deformasemelhante,nessalinhapodemosidentificaroutrosmodelosquevão desdeastransformadas deLaplaceesua MécaniqueCéleste atéaTeoriaQuânticaeoátomodeBohr. Obviamentenãoexistemsomentemodelosaxiomáticos.Ocontextoepistemológicoéumexemplodis- so.Lidandocomoconcretoouabordandooimaginário,amentedohomemtrabalhacomestruturasde “substituição”quevisamafacilitaroraciocínio,estruturasessasquedenominaremosgenericamente de modelos. Osmodelos,paraseremimplementáveis,devemserlivresdepequenosdetalhesonerosos.Nessa abordagem a importância do equilíbrio simplificação vezes validade é básica. Concluímos que:
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