Osnovne teoreme funkcionalne analize i primene u analizi aktivnosti

107 Pages·2013·0.8 MB·Croatian

UNIVERZITET U NOVOM SADU
ˇ
PRIRODNO - MATEMATICKI FAKULTET
DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I
INFORMATIKU
Jelena Petri(cid:20)cevi(cid:19)c
Osnovne teoreme funkcionalne
analize i primene u analizi
aktivnosti
Master rad
Mentor:
Prof. dr Nenad Teofanov
Novi Sad, 2013
Sadr(cid:20)zaj
Predgovor 3
1 Uvod 4
1.1 Definicija i primeri Banahovih prostora . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Funkcionele i Han-Banahova teorema . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Konveksni skupovi i njihova separacija . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Ograniˇcenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Zna(cid:20)cajne teoreme funkcionalne analize 28
2.1 Berova teorema o kategoriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Princip uniformne ograniˇcenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Teorema o otvorenom preslikavanju . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Teorema zatvorenog grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Analiza aktivnosti 37
3.1 Teoreme separacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Analiza aktivnosti i opˇsti proizvodni skup . . . . . . . . . . . 48
4 Izabrane teme u ekonomiji 57
4.1 Konkurentna ravnoteˇza i Pareto optimum . . . . . . . . . . . 60
4.2 Jedna primena analize aktivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Analiza aktivnosti u ekosistemu 82
5.1 Upoznavanje sa procesom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Izvod¯enje cena u ekosistemima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Raˇcunanje cena ekosistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Zaklju(cid:20)cak 98
Literatura 99
2
Biogra(cid:12)ja 100
3
Predgovor
Funkcionalna analiza je podruˇcje savremene matematike, ˇcije se metode pri-
menjuju u gotovo svim disciplinama matematike. U ovom radu bi´ce prikazan
naˇcin povezivanja funkcionalne analize sa optimizacijom.
U prvoj glavi se predstavlja Han-Banahova teorema u obliku proˇsirenja i
u obliku separacije. Teorema u obliku separacije se povezuje sa egzistencijom
reˇsenja jednaˇcine predstavljene Farkaˇsovom Lemom.
Poˇstojeuprvojglavipredstavljenajednaodosnovnihteoremafunkcionalne
analize, u drugoj glavi su predstavljene ostale vaˇzne teoreme funkcionalne
analize, a to su Berova teorema o kategoriji, Princip uniformne ograniˇcenosti,
teorema o otvorenom preslikavanju i teorema o zatvorenom grafu.
Teoremeseparacije,kojepredstavljajugeometrijskuverzijuHan-Banahove
teoreme, detaljnije su objaˇsnjene u tre´coj glavi. Uveden je pojam analize
aktivnosti, na koju se primenjuju teoreme separacije, a koja posmatra skup
proizvodnihprocesauodred¯enojkompaniji. Uvedenisupojmovitaˇckeefikas-
nosti,vektoracenaiprofita,kaoiproblemoptimizacije,tesetaˇckaefikasnosti
uvodi preko maksimizacije profita.
U ˇcetvrtoj glavi se definiˇsu pojmovi konkurentne ravnoteˇze i Pareto op-
timuma. Bi´ce predstavljena konkretna primena analize aktivnosti, pomo´cu
primera proizvodnje automobila i kamiona. Pokazuje se koja hiperravan raz-
dvajaodgovaraju´ceskupove, ikojajetotaˇckaefikasnosti, ukojojjeproizvod-
nja optimalna. U taˇcku efikasnosti pod pravim uglom dolazi jedinstven vek-
tor cena, pa je tako reˇsen problem optimizacije.
Upetojglaviseprimenjujeanalizaaktivnostinasavremenprimerraˇcunanja
cena ekosistema. Pokaza´cemo algoritam kojim se raˇcunaju cene i da´cemo
odgovor na pitanje da li su one odgovaraju´ce za ekonomsku procenu.
Zahvaljujem se mentoru dr Nenadu Teofanovu na korisnim smernicama
i savetima u toku izrade ovog rada. Veliku zahvalnost dugujem svojim
roditeljima i bratu, koji su tokom ˇskolovanja bili uz mene i uvek bili velika
podrˇska.
Jelena Petriˇcevi´c
3
1
Uvod
Han-Banahova teorema je jedna od najvaˇznijih teorema koja leˇzi u osnovama
funkcionalneanalize. Uznju,znaˇcajnesuteoremaouniformnojograniˇcenosti
i teorema o zatvorenom grafu. U nastavku ´ce biti izloˇzene ove teoreme, a
uz njih joˇs dve teoreme funkcionalne analize, Berova teorema o kategoriji i
teorema o otvorenom preslikavanju. Zbog znaˇcaja za ostatak rada, detaljno
´ce se obraditi Han-Banahove teoreme.
Teoreme Han-Banahovog tipa se mogu javiti u dva oblika. U prvi spadaju
teoreme u obliku proˇsirenja, a u drugu teoreme u obliku separacije.
Obevrsteteoremadokazujupostojanjelinearnihfunkcionelasaodred¯enim
karakteristikama.
Han-Banahove teoreme u obliku proˇsirenja tvrde da se funkcionele defi-
nisane na potprostoru vektorskog prostora (sa dodatnom strukturom, obiˇcno
sa normom ili topologijom) koje imaju dodatne karakteristike (linearnost i
neprekidnost) mogu proˇsiriti na ˇcitav prostor zadrˇzavaju´ci te dodatne karak-
teristike.
Priroda ovih teorema i njihovih dokaza je analitiˇcka. Nasuprot tome,
Han-Banahove teoreme u obliku separacije kao i njihovi dokazi su geometrij-
ske prirode.
Han-Banahove teoreme u obliku separacije se bave pitanjima slede´ceg
oblika: Zadatedisjunktnekonveksneskupoveuvektorskomprostoru, pitamo
se kada je mogu´ce na´ci hiper-ravan takvu da dati konveksni skupovi leˇze na
suprotnim stranama te hiper-ravni?
ObaoblikaHan-Banahoveteoremesumatematiˇckiekvivalentna. Toznaˇci
da se moˇze dokazati Han-Banahova teorema o proˇsirenju, a onda iskoristiti
da se dokaˇze teorema separacije i obrnuto.
Pre svega, uvodimo osnovne pojmove vezane za prostore na kojima de-
finiˇsemo Han-Banahove teoreme, kao i osnovne osobine operatora. Potom
definiˇsemo konveksne skupove, nad kojima ´cemo definisati i primeniti Han-
4
Banahovu teoremu u obliku separacije. U ovoj glavi je koriˇstena literatura
[1] i [7].
1.1 De(cid:12)nicija i primeri Banahovih prostora
U ovom poglavlju uvodimo osnovne pojmove i osobine vezane za prostore na
kojima ´cemo definisati Han-Banahove teoreme. Te osobine ´cemo koristiti u
kasnijim dokazima.
Vektorski prostor V nad poljem F, gde F moˇze biti skup realnih brojeva
R ili skup kompleksnih brojeva C, je neprazan skup za koji vaˇze aksiome:
1. (V,+) je Abelova grupa.
2. α(x+y) = αx+αy, ∀α ∈ F i ∀x,y ∈ V.
3. (α+β)x = αx+βx, ∀α,β ∈ F i ∀x ∈ V.
4. α(βx) = (αβ)x, ∀α,β ∈ F i ∀x ∈ V.
5. 1x = x, ∀x ∈ V.
De(cid:12)nicija 1.1.1. Vektorski prostor X je normiran ako se u njemu mo(cid:20)ze
de(cid:12)nisati preslikavanje ∥·∥ : X → [0,+∞), tako da:
1. ∥x∥ ≥ 0, ∀x ∈ X.
2. ∥x∥ = 0 ako i samo ako x = 0.
3. ∥cx∥ = |c|∥x∥, ∀x ∈ X i ∀c ∈ F.
4. ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥, ∀x,y ∈ X- nejednakost trougla.
Broj ∥x∥ se zove norma od x, a par (X,∥·∥) je normiran prostor. Ako imamo
normu ∥·∥, broj ∥x−y∥ se naziva rastojanje izmed¯u vektora x i y.
Funkcija d(x,y) := ∥x−y∥ je metrika na (X,∥·∥), indukovana normom
∥·∥.
Poznate metrike su:
∑
d (x,y) ≡ |x −y |,
1 j j
j
5
∑
d (x,y) ≡ ( (x −y )2)1,
2 j j 2
j
d (x,y) ≡ max|x −y |.
∞ j j
j
Opˇstije, metrika je i:
∑
dp(x,y) ≡ ( (xj −yj)p)p1, 1 ≤ p < ∞.
j
Skup:
B (x) = {y ∈ X : ∥x−y∥ < r} = {y ∈ X : d(x,y) < r}
r
se naziva otvorena lopta u skupu X sa centrom u x i polupreˇcnikom r.
Ponekadsunampotrebneseminorme,kojepodefinicijimorajuzadovoljiti
uslove1,3 i 4 izdefinicije1.1.1,alinemorajuzadovoljitiuslov2. Naprimer
ako uzmemo da je ∥x∥ = |x | za x = (x ,x ) ∈ F2, tada je ∥·∥ seminorma
1 1 2
na F2, ali nije norma na F2, jer moˇze biti ∥x∥ = 0, ako je x = 0, ali to ne
1
znaˇci da je x = (x ,x ) = 0. Ako biramo x = (0,1), onda je x ̸= 0 i ∥x∥ = 0,
1 2
a to je kontradikcija.
De(cid:12)nicija 1.1.2. Neka je X normiran vektorski prostor.
1. Niz vektora {x } u X konvergira ka x ∈ X ako imamo:
n
lim ∥x−x ∥ = 0, odnosno ako ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n ≥ N, ∥x−x ∥ < ε.
n n
n→∞
U ovom slu(cid:20)caju pi(cid:20)semo x → x odnosno lim x = x.
n n→∞ n
2. Niz vektora {x } u X je Ko(cid:20)sijev niz u X ako imamo:
n
lim ∥x −x ∥ = 0.
m;n→∞ m n
Preciznije, ovo zna(cid:20)ci da ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m,n ≥ N,
∥x −x ∥ < ε.
m n
SvakikonvergentannizunormiranomprostorujeKoˇsijevniz. Aliobrnuto
ne vaˇzi u opˇstem sluˇcaju.
De(cid:12)nicija 1.1.3. Ka(cid:20)zemo da je normiran vektorski prostor X kompletan ako
je svaki Ko(cid:20)sijev niz u X konvergentan niz. Kompletan normiran vektorski
prostor se naziva Banahov prostor.
Kaˇzemo da je X realan Banahov prostor ako je X Banahov prostor na
polju realnih brojeva (F = R) i sliˇcno da je kompleksan Banahov prostor ako
je Banahov prostor na polju kompleksnih brojeva (F = C).
6
De(cid:12)nicija 1.1.4. Niz {x } u Banahovom prostoru X je:
n
1. ograni(cid:20)cen odozdo ako je inf ∥x ∥ > 0.
n n
2. ograni(cid:20)cen odozgo ako je sup ∥x ∥ < ∞.
n n
3. normiran ako je ∥x ∥ = 1, za svako n ∈ N.
n
Najjednostavniji primer Banahovog prostora je polje skalara F, gde je
norma na F apsolutna vrednost. U slede´cem primeru se pokazuje da norma
ne mora da bude jedinstveno odred¯ena.
Primer 1. Fk je najjednostavniji primer Banahovog prostora i to je skup
svih k-torki skalara, gde je k pozitivan ceo broj. Uzimamo vektor v ∈ Fk, gde
je v = (v ,...,v ). Svaki od slede(cid:19)cih izraza predstavlja normu na Fk i prostor
1 k
Fk je kompletan u odnosu na te norme:
{
|v| = (|v1|p +...+|vk|p)p1, 1 ≤ p < ∞ (1.1)
p max{|v |,...,|v |}, p = ∞.
1 k
Euklidska norma |v| vektora v ∈ Fk je norma koja odgovara izboru p = 2,
pa je:
√
|v| = |v| = |v |2 +...+|v |2.
2 1 k
Slede´ciprimerpokazujekakosemoˇzenapravitinormanabilokomkonaˇcno-
dimenzionalnom vektorskom prostoru.
Primer 2. Neka je V kona(cid:20)cno-dimenzionalan vektorski prostor. Tada postoji
kona(cid:20)can skup vektora B= {x ,...,x } koji predstavlja bazu za V, to jest,
1 k
svako x ∈ V se mo(cid:20)ze napisati kao:
∑k
x = c (x)x ,
l l
l=1
za jedinstven izbor skalara c (x). Dato je 1 ≤ p ≤ ∞, ako stavimo da je:
l
{
∥x∥ = (|c1(x)|p +...+|ck(x)|p)p1, 1 ≤ p < ∞
p max{|c (x)|,...,|c (x)|}, p = ∞.
1 k
tada je ∥·∥ norma na V i V je kompletan u odnosu na tu normu.
p
7
De(cid:12)nicija 1.1.5. Neka je X normiran vektorski prostor u odnosu na normu
∥·∥, takod(cid:22)e i u odnosu na normu ∥|·∥|. Norme ∥·∥ i ∥|·∥| su ekvivalentne
ako postoje konstante C ,C > 0 takve da va(cid:20)zi:
1 2
C ∥x∥ ≤ ∥|x∥| ≤ C ∥x∥, ∀x ∈ X.
1 2
Za dve ekvivalentne norme vaˇzi:
lim ∥x−x ∥ = 0 ⇔ lim ∥|x−x ∥| = 0.
n n
n→∞ n→∞
Teorema 1.1.1. Ako je V kona(cid:20)cno-dimenzionalan vektorski prostor, tada
su bilo koje dve norme na V ekvivalentne.
Do sada smo govorili o Banahovim prostorima konaˇcne dimenzije, a sada
´cemo razmatrati neke primere vezane za beskonaˇcne Banahove prostore.
Primer 3. U ovom primeru razmatramo vektorske prostore (cid:20)ciji su elementi
beskona(cid:20)cni nizovi skalara x = {x } = {x } .
k k k∈N
• Dato je 1 ≤ p < ∞. De(cid:12)ni(cid:20)semo lp, prostor svih beskona(cid:20)cnih nizova
skalara:
{ ∑
lp = lp(N) = x = {x } : |x |p < ∞}. (1.2)
k k k
Ovo je Banahov prostor u odnosu na normu:
(∑
1
∥x∥ = ∥{x }∥ = |x |p)p. (1.3)
lp k lp k k
• De(cid:12)ni(cid:20)semo l∞, prostor svih ograni(cid:20)cenih beskona(cid:20)cnih nizova:
l∞ = l∞(N) = {x = {x } : {x } je ograni(cid:20)cen niz}.
k k
Ovo je Banahov prostor u odnosu na supremum normu:
∥x∥ = ∥{x }∥ = sup|x |.
l∞ k l∞ k
k
Teorema 1.1.2. Ako je 1 ≤ p ≤ ∞, tada je lp Banahov prostor u odnosu
na normu ∥·∥ .
lp
8
Dokaz
Treba pokazati da je lp kompletan normiran vektorski prostor. Fiksiramo
1 ≤ p < ∞ i pretpostavimo da je {x } Koˇsijev niz u lp. Kada dokaˇzemo
n n∈N
da je takav niz konvergentan, odatle sledi kompletnost. Svako x je vektor u
n
lp, pa neka su:
( )
x = x (1),x (2),...
n n n
komponente vektora x .
n
Tadazasvakifiksiraniindeksk ∈ N imamo|x (k)−x (k)| ≤ ∥x −x ∥ .
m n m n lp
Odatle je {x (k)} Koˇsijev niz skalara i zbog toga on mora da konvergira,
n n∈N
jer je F kompletan. Definiˇsemo
x(k) = lim x (k).
n
n→∞
Tada x konvergira po komponentama ka x = (x(1),x(2),...), na primer:
n
∀k ∈ N, vaˇzi x(k) = lim x (k).
n
n→∞
Moramo pokazati da x konvergira ka x po normi lp.
n
Biramo neko ε > 0. Tada, na osnovu definicije Koˇsijevog niza, postoji
N tako da je ∥x −x ∥ < ε, ∀m,n > N. Fiksiramo bilo koje n > N. Za
m n lp
svako M > 0 imamo:
∑M ∑M
|x(k)−x (k)|p = lim |x (k)−x (k)|p ≤ lim ∥x −x ∥p ≤ εp.
n m→∞ m n m→∞ m n lp
k=1 k=1
Poˇsto je to taˇcno za svako M, zakljuˇcujemo:
∑∞ ∑M
∥x−x ∥p = |x(k)−x (k)|p = lim |x(k)−x (k)|p ≤ εp. (1.4)
n lp n M→∞ n
k=1 k=1
Odatle sledi,
∥x∥ = ∥x−x +x ∥ ≤ ∥x−x ∥ +∥x ∥ < ∞,
lp n n lp n lp n lp
pa x ∈ lp. Poˇsto jednaˇcina (1.4) vaˇzi za svako n > N, imamo da je:
lim ∥x−x ∥ = 0,
n lp
n→∞
to jest, x → x u lp. Dokazali smo konvergenciju svakog Koˇsijevog niza u
n
lp, pa je zbog toga i lp kompletan, odatle Banahov prostor, ˇsto je i trebalo
dokazati. 2
9