Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético-dedutivo Maria Alice Gravina

277 Pages·2005·4.11 MB·Portuguese

by  Carlos Gravina

UFRGS
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO
Os ambientes de geometria dinâmica
e o pensamento hipotético-dedutivo
Maria Alice Gravina
Tese apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Informática
na Educação para obtenção do título
de Doutor em Informática na Educação
Orientadora:
Prof ª. Dra. Lucila M. Costi Santarosa
Co-orientadora:
Prof ª. Dra. Liane Tarouco
Porto Alegre, setembro de 2001.
A Cecília e Vinícius, meus vínculos perenes.
Eles bem compreenderam meu empenho na realização
deste trabalho e minha conseqüente ausência, em muitos
momentos de suas vidas, durante o período de doutorado.
III
AGRADECIMENTOS
À professora Lucila Costi Santarosa, orientadora, pelas inúmeras discussões
que sempre apontaram às necessárias clareza e coerência de idéias, fundamentais ao
término da tese. Também pelas conversas amigas, com seu olhar holístico de vida, que
muito me ajudaram em momentos difíceis.
À professora Liane Tarouco, co-orientadora, por seu empenho em viabilizar
estágio de pesquisa junto à Université Joseph Fourier.
Ao professor Dalcídio Claudio pelo decidido apoio proporcionador de inter-
câmbio acadêmico-científico internacional à alunos ainda em fase de doutorado, do qual
usufrui.
Aos pesquisadores da Equipe Informatique et Apprentissage des Mathéma-
tiques, do Laboratoire IMAG-Leibniz da Université Joseph Fourier, pela calorosa aco-
lhida e frutuosas discussões acadêmicas. Em particular à professora Colette Laborde,
com quem discuti sobre o propósito e a pertinência da tese.
A Airton Cattani e Ana Wilma Tijiboy, companheiros de doutorado, pelos
estudos à três em que melhor entendemos a complexidade de um doutorado em área
interdisciplinar. Também pelo apoio amigo nos solitários momentos de trabalho.
Aos treze alunos da disciplina de Geometria I do curso de Licenciatura em
Matemática da UFRGS que prontamente se engajaram como sujeitos desta investigação.
E também aos alunos, de turmas anteriores, pela contribuição ao delineamento do pro-
blema sob investigação. Com todos eles aprendi, um pouco mais, sobre o complexo
processo de construção de conhecimento.
Aos colegas e funcionários do Departamento de Matemática Pura e Aplica-
da da UFRGS, ao facilitarem condições para a realização deste trabalho.
A Carlos Alberto Gravina, pela paciente revisão do texto, desenho dos grá-
ficos e editoração.
À PROPESQ / UFRGS pelo apoio financeiro parcial.
À FAPERGS, pelo apoio financeiro que permitiu estágio de pesquisa du-
rante a fase final de tese junto à Equipe Informatique et Apprentissage des Mathémati-
ques do Laboratoire IMAG-Leibniz da Université Joseph Fourier.
Em especial ao Luiz Fernando, pelos muitos mergulhos no entendimento da
matemática e, também, da vida.
III
IV
SUMÁRIO
Lista de figuras.............................................................................................................VII
Resumo ........................................................................................................................XIII
Abstract........................................................................................................................XIV
1 O FENÔMENO DE INTERESSE................................................................................1
2 SUBSÍDIOS TEÓRICOS .............................................................................................9
2.1 A natureza da matemática............................................................................................9
2.2 O processo de construção de conhecimento...............................................................18
2.2.1 Aspectos cognitivos...............................................................................................18
2.2.2 Tecnologia informática..........................................................................................35
2.3 A situação didática.....................................................................................................42
3 A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO EM GEOMETRIA .........................51
3.1 Da geometria empírica à geometria dedutiva ..............................................................51
3.2 As dificuldades...........................................................................................................58
3.2.1 O desenho, a linguagem e os conceitos geométricos ............................................59
3.2.2 O significado de uma demonstração......................................................................64
3.2.3 O processo de demonstração.................................................................................71
3.3 Os ambientes de geometria dinâmica.........................................................................82
3.3.1 As possibilidades...................................................................................................88
3.3.2 Pensamento visual e argumentação.......................................................................92
4 A INVESTIGAÇÃO ..................................................................................................99
4.1 O problema central........................................................................................................99
4.2 A metodologia: Engenharia Didática.......................................................................100
4.3 Detalhamento e implementação da Engenharia Didática.........................................101
4.3.1 Análise preliminar...............................................................................................101
4.3.2 Concepção da situação didática, análise a priori e formulação de hipóteses......102
4.3.2.1 A seqüência de atividades e a análise a priori..............................................104
IV
V
4.3.2.2 A formulação de hipóteses...........................................................................116
4.3.3 Experimentação e análise a posteriori...................................................................117
4.3.3.1 A experimentação.........................................................................................118
4.3.3.2 A análise a posteriori...................................................................................122
5 RESULTADOS E CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................189
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................................................................197
ANEXOS......................................................................................................................208
Anexo 1.........................................................................................................................211
Anexo 2.........................................................................................................................217
Anexo 3.........................................................................................................................255
V
VI
LISTA DE FIGURAS
1 O FENÔMENO DE INTERESSE
1.1 Interface do software Cabri-Geometry II......................................................................6
2 SUBSÍDOS TEÓRICOS
2.1 Estruturas lógicas e funcionamento cognitivo............................................................25
2.2 Construção de conhecimento e tecnologia informática..............................................37
2.3 Os equilíbrios / desequilíbrios do sujeito...................................................................42
2.4 O sujeito e o saber, na teoria das situações didáticas................................................47
2.5 O desenrolar da situação didática...............................................................................48
3 A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO EM GEOMETRIA
3.1 Correspondência entre os quatro primeiros níveis de pensamento geométrico
do modelo de VAN HIELE e os estágios de desenvolvimento cognitivo da
teoria piagetiana..........................................................................................................54
3.2 Teorema de Pitágoras.................................................................................................60
3.2 Correspondência entre estágios de desenvolvimento cognitivo
e categoria de provas..................................................................................................68
3.4 Complexidade do processo de demonstração.............................................................71
3.5 Componentes proposicional e figural de um teorema................................................72
3.6 Problema utilizado para categorizar erros dos alunos
em argumentações dedutivas......................................................................................73
3.7 Tratamento do componente figural: reinterpretação e reconstrução..........................74
3.8 Reconstrução do componente figural.........................................................................75
3.9 Extensão de desenho...................................................................................................75
VI
VII
3.10 Reconstrução / extensão / reconstrução no tratamento do desenho...........................76
3.11 Relação entre as características das subcomponentes dos desenhos
e o desempenho dos alunos........................................................................................78
3.12 Relação entre conceitos / classificações em FISCHBEIN, BALACHEFF,
ZYKOVA, DUVAL e em PIAGET...........................................................................79
3.13. Interface de software de geometria dinâmica........................................................... 83
3.14 Quadrados construídos com controle geométrico (à esquerda) e sem controle
geométrico (à direita).................................................................................................84
3.15 Desenho de quadrado com procedimento geométrico................................................85
3.16 Relação funcional entre objetos, armazenada pelo software......................................85
3.17 Ângulos em movimento: de adjacente a suplementar................................................86
3.18 Explicação de CLAIRAUT, utilizando figura dinâmica............................................87
3.19 Explicação de LEGENDRE, utilizando figura dinâmica...........................................87
3.20 Raciocínio de aluno, de natureza transformacional...................................................94
3.21 Demonstração do teorema da soma dos ângulos de um triângulo,
feita por aluna utilizando o recurso de “desenho em movimento”.............................95
3.22 Generalização do teorema clássico, “o ponto médio da hipotenusa
de um triângulo retângulo eqüidista dos vértices do triângulo”.................................96
3.23 O dinamismo e a mudança de ponto de vista.............................................................97
4 A INVESTIGAÇÃO
4.1 Engenharia Didática: fases da investigação.............................................................101
4.2 Análise a priori, atividade 1 : no primeiro quadrilátero (...)..................................105
4.3 Análise a priori, atividade 2: uma possível construção (...)...................................106
4.4 Análise a priori, atividade 3, primeira parte: a construção inicia
com o triângulo (...)..................................................................................................109
4.5 Análise a priori, atividade 3, parte 2: a construção inicia com
triângulo (...) ............................................................................................................109
4.6 Análise a priori, atividade 4, primeira parte: a construção inicia com
quadrilátero (...) .......................................................................................................110
4.7 Análise a priori, atividade 4, segunda parte: a construção das três caixas
pretas inicia com um dos segmentos (...) .................................................................111
4.8 Análise a priori, atividade 5, primeira parte: o ponto L é uma rotação
do ponto S, de um certo ângulo fixo, em torno de um ponto fixo. .........................112
4.9 Análise a priori, atividade 5, segunda parte: o ponto L é a imagem
homotética de S, com centro de homotetia em F......................................................113
4.10 Análise a priori, atividade 6. Um problema de minimização..................................114
VII
VIII
4.11 Análise a priori, atividade 7: os segmentos AP1 e P1Q1 são congruentes
e perpendiculares, bem como os segmentos AP2 e AQ2; o ponto T é ponto
médio de Q1Q2.........................................................................................................115
4.12 Interpretação inadequada do desenho de círculos tangentes
De desenho representando dois círculos tangentes (...)............................................119
4.13 Dificuldade advinda de imagem mental prototípica do
segmento altura de um triângulo Tendo sido apresentada a definição (...)...........119
4.14 Interpretação inadequada do desenho Em desenho apresentado com
proposital imprecisão (...)........................................................................................ 119
4.15 Desenho livre de formas geométricas.....................................................................123
4.16 Desenho livre lúdico................................................................................................123
4.17 Análise a posteriori, Atividade 1, quadrilátero 1, grupos 1 e 3.............................124
4.18 Análise a posteriori, Atividade 1: quadrilátero 1, grupos 2, 7 e 8........................126
4.19 Análise a posteriori, Atividade 1, quadrilátero 1, grupos 1 e 3.............................127
4.20 Análise a posteriori, Atividade 2, quadrilátero 1, grupo 6....................................128
4.21 Análise a posteriori, Atividade 2.
Explicitação dos fatos declarados na construção......................................................131
4.22 Análise a posteriori, Atividade 2.
Demonstrações relativas aos quadriláteros 2 e 3.....................................................134
4.23 Análise a posteriori, Atividade 3: objeto inicial círculo
e objeto inicial triângulo...........................................................................................135
4.24 Análise a posteriori, Atividade 3. Construção usando arcos de círculo.................135
4.25 Análise a posteriori, Atividade 3.
Construção particularizando o triângulo ................................................................136
4.26 Análise a posteriori, Atividade 3, “caixa preta” 1.
Construção satisfatória ............................................................................................137
4.27 Análise a posteriori, Atividade 3, “caixa preta” 1.
Construção insatisfatória .........................................................................................137
4.28 Análise a posteriori, Atividade 3, “caixa-preta” 1.
Construção e fatos estáveis implícitos insatisfatórios.............................................138
4.29 Análise a posteriori, Atividade 3.
Construção inadequada, revelada pelo dinamismo da figura ................................ 139
4.30 Análise a posteriori, Atividade 3.
Identificção da condição de tangência, por via de dinamismo da figura..................139
4.31 Análise a posteriori, Atividade 3.
Construção adequada da “caixa preta” 2..................................................................140
4.32 Análise a posteriori, Atividade 3.
Explicação de natureza empírica1............................................................................141
VIII
IX
4.33 Análise a posteriori, Atividade 3.
Argumentação apoiada em fatos estáveis implícitos................................................142
4.34 Análise a posteriori, Atividade 3.
Extensões e reconstruções de desenho suporte à demonstração
dos teoremas do círculos circunscrito e inscrito ao triângulo...................................143
4.35 Análise a posteriori, Atividade 7.
Dinamismo na “estratégia dos piratas” ....................................................................146
4.36 Análise a posteriori, Atividade 7.
Dinamismo evidenciando a independência dos pontos A e T ................................147
4.37 Análise a posteriori, Atividade 7.
Construção de nova estratégia..................................................................................147
4.38 Análise a posteriori, Atividade 7.
Construção sobrepondo as duas estratégias .............................................................148
4.39 Análise a posteriori, Atividade 7.
Extensões de desenho visando a emergência de subconfigurações .........................149
4.40 Análise a posteriori, Atividade 7.
Tentativa de demonstração em caso particular ........................................................150
4.41 Análise a posteriori, Atividade 7.
Novas extensões de desenho com destaque à subconfigurações .............................150
4.42 Análise a posteriori, Atividade 7.
Subconfigurações trapézio e triângulo, suporte à argumentação ..........................151
4.43 Análise a posteriori, Atividade 7.
Demonstração da pertinência da nova estratégia .....................................................152
4.44 Análise a posteriori, Atividade 7.
Demonstração como um produto do processo ....................................................... 153
4.45 Análise a posteriori, Atividade 7.
Complexidade da extensão de desenho, suporte à demonstração ..........................154
4.46 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1.
Validações de natureza empírica..............................................................................155
4.47 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1.
Subconfiguração emergente em situação particular.................................................156
4.48 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1.
Diferentes níveis de controle de argumentação dedutiva ........................................157
4.49 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1.
Situações prototípicas e não prototípicas ...............................................................158
4.50 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1.
Exploração dinâmica de propriedade do quadrilátero ABCD ................................158
4.51 Análise a posteriori, Atividade 4, parte 1.
Construção das réplicas das “caixa -pretas” por via das diagonais de ABCD ........159
IX