Orthogonalität und Approximation: Vom Lotfällen bis zum JPEG-Format Von der Schulmathematik zu modernen Anwendungen

324 Pages·2012·3.12 MB·German

by  Johanna Heitzer (auth.)

Orthogonalität und Approximation
Johanna Heitzer
Orthogonalität und
Approximation
Vom Lotfällen bis zum JPEG-Format
Von der Schulmathematik
zu modernen Anwendungen
STUDIUM
Prof. Dr. Johanna Heitzer
RWTH Aachen
Aachen, Deutschland
ISBN 978-3-8348-1758-7 ISBN 978-3-8348-8629-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-8348-8629-3
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Vorwort
GegenstanddervorliegendenArbeitistdieBestimmungguterApproximationendurchEntwick-
lung über Orthonormalbasen. Diese Methode fußt auf zentralen mathematischen Ideen, die die
GrenzenderüblichenTeilgebieteüberschreiten.SiehatsichinderMathematikderletztenJahr-
zehntealsüberaustragfähigundindenAnwendungen(auchkommerziell)erfolgreicherwiesen.
Dies bemerkenswerte Stück Mathematik sowohl dem Schulunterricht als auch dem interes-
sierten Laien zugänglicher zu machen, ist das Ziel meines Buches. Zugleich soll erfolgreiche
MathematikderletztenJahrzehntevermitteltundgezeigtwerden,dassderBlickaufdieStruktur
fürErkenntnisundAnwendungengleichermaßenvongroßemNutzenseinkann.
Das Thema knüpft an Erfahrungen und Anschauung im geometrischen Raum an. Zentrale
Erkenntnis ist die Tatsache, dass man durch Lotfällen denjenigen Punkt auf einer Gerade oder
Ebeneerhält,dereinemvorgegebenenPunktimRaumamnächstenist.KommendasWissenund
dieformaleFertigkeithinzu,OrthogonalprojektionenmittelsdesausderanalytischenGeometrie
bekannten Skalarprodukts zu berechnen, lässt sich diese Erkenntnis weit über die Grenzen der
Geometriehinausverallgemeinernundgewinnbringendnutzen.
DennwährendLoteausschließlichimanschaulichenzwei-oderdreidimensionalenRaumbe-
nötigtwerden,sindguteNäherungenspätestensimZeitalterderDatenmasseninzahllosenBerei-
chenvonWissenschaftundTechnikextremgefragteObjekte.Schülerkönnenerfahrenundexem-
plarischerproben,dassApproximationsverfahreninnerhalbderFourieranalysevonGeräuschen
oderderBildverarbeitungimJPEG-FormataufdieselbeArtvonstattengehenwieAbstandsbe-
rechnungenimgeometrischenRaum.
GemeinsameGrundlageistdiemathematischeStruktureuklidischerVektorräume.DerBegriff
des Vektorraums hat sich in allgemeiner Form erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts
herauskristallisiertundalsaußerordentlichtragfähigerwiesen.BesonderswichtigeSchrittewa-
renderÜbergangzumn-dimensionalenRaumeinerseitsundzuFunktionenräumenandererseits.
GenaudieseÜbergängespielenauchimRahmenderArbeiteineentsprechendgroßeRolle.
AlseuklidischbezeichnetmandiejenigenVektorräumeüberR,indeneneinSkalarproduktde-
finiertist.WieindereuklidischenGeometriesindandiesesSkalarproduktBegriffewie„Länge“,
„Abstand“und„Orthogonalität“gekoppelt−undmitihnenAussagen,diederDreiecksunglei-
chungoderdemSatzdesPythagorasentsprechen.DeshalbkönnenauchVerfahrenwiedasder
BestimmungguterNäherungenmittelsOrthogonalprojektionübertragenwerden.Dabeiwerden
Begriffe,diesonstausschließlichmitdemgeometrischenRaumverbundenblieben,ingrößerem
ZusammenhanggesehenundmitneuemLebenerfüllt.
In euklidischen Vektorräumen liefert die Orthogonalprojektion eines Vektors auf einen Un-
terraum dessen beste dortige Näherung im Sinne der euklidischen Norm. Sie kann in Pro-
jektionenaufpaarweiseorthogonale,eindimensionaleUnterräumezerlegtunddeshalbdurch
EntwicklungüberOrthonormalbasenbestimmtwerden.
So lauten die mathematischen Ideen im Mittelpunkt dieser Arbeit. Sie können zu einem all-
gemeinenVerfahrendersystematischenApproximationoderAnalysekompliziertermathemati-
scherObjekteausgebautundüberalldortangewendetwerden,wodieStruktureinesVektorraums
VI
mit Skalarprodukt vorliegt und die zugehörige Norm als Maß für die Ähnlichkeit der Objekte
sinnvollist.
IngrobenZügenführtdieArbeitvondergründlichenVerankerungderBegriffeundZusam-
menhängeimgeometrischenRaumzunächstaufeinigeAnwendungenmitunterschiedlichinter-
pretierten Spaltenvektoren des Rn für n≥4. Bei diesen Problemen ist das Abstraktionsniveau
nochüberschaubarundesstehenjeweilsalternativeLösungsmöglichkeitenzurVerfügung.Da-
durch kann mit der übergeordneten Methode vertraut gemacht und ein Gefühl für ihr Potential
vermitteltwerden.
Dann wird die besondere Tragweite der Interpretation von Spaltenvektoren als Wertelisten
stückweisekonstanterFunktionenherausgearbeitet.BehältmandasausderGeometrieabgelei-
teteStandardskalarproduktbei,isthierneuzudurchdenken,welcheBedeutungOrthogonalitäts-
undAbstandsbegrifferhaltenundwelcheOrthogonalbasensichalshilfreicherweisenkönnten.
ImGrenzübergangführtdieseDeutungaufdasProduktintegralalsSkalarproduktfürstückweise
stetigeFunktionenunddiezugehörigeL2-Norm.
Mit dem Übergang zu Funktionenräumen erschließt sich das Anwendungsgebiet der Signal-
verarbeitung, in dem die Bestimmung guter Näherungen von besonderer Brisanz ist. Als pra-
xisrelevanteBeispielewerdendieHaar-Wavelet-EntwicklungzurKompressiondigitalerSignale
unddieFourierentwicklungzurAnalyseanalogerSignaleausführlichdargestellt.Siewerfenzu-
gleich neues Licht auf die Bedeutung der geschickten Unterraumwahl und die Sonderstellung
einigerOrthonormalsysteme.
ImRahmenderArbeitwurdenzudiesenThemengebietenEinstiegsbeispiele,Übungsaufgaben
und interaktiv nutzbare Worksheets im Computeralgebrasystem Maple entwickelt. Außerdem
wurdenExperimenterundumdieVerarbeitungoptischerundakustischerSignalezusammenge-
stellt,umdietheoretischenErkenntnissemitSinneswahrnehmungenzuverknüpfen.Theorieteil,
MaterialienundExperimentewurdenvielfachinWorkshopsmitOberstufenschülernerprobt.
Adressatenund„Leseanleitung“
BeimSchreibenwurdevorallemandreiGruppenpotentiellerLesergedacht:
• Lehrer und angehende Lehrer, die sich selbst das Thema erschließen und so strukturiert
und aufbereitet vorfinden möchten, dass es zu einer (auch teil- oder überblicksweisen)
UmsetzungimUnterrichtnurnochkleineSchrittesind,
• Schüler, die grundlegende Kenntnisse in linearer Algebra und analytischer Geometrie,
überdurchschnittliches Interesse an Mathematik und (wie im Rahmen von Facharbeiten,
ProjektenoderArbeitsgemeinschaften)einenkompetentenBerateranihrerSeitehaben,
• Mathematikinteressierte,die−anknüpfendanAbiturwissen−Einblickeinübergeordnete
AspekteundjüngereEntwicklungendieserWissenschaftsuchen.
DasBuchistindreiTeileunterteilt:„OrthogonalitätundbesteApproximation“istderHauptteil,
indemTheorieundAnwendungendesThemasausführlichdargestelltwerden.Fürsichselbstin-
teressierteLeserwerdensichaufdiesenTeilbeschränkenkönnen.„ZurDidaktikundVermittlung
des Themas“ wendet sich an Lehrende und Didaktiker, die auch an Intentionen, Grundsatzent-
scheidungenundLehrplanbezügenderArbeitinteressiertsindodervondenErfahrungenmitder
VII
Umsetzung in Schülergruppen profitieren möchten. Der Teil „Unterrichtsmaterialien zum The-
ma“ bietet ein Kompendium des Stoffes, wie es Schülern als Arbeitsgrundlage zur Verfügung
gestelltwerdenkann.NebeneinerknappenundmöglichstallgemeinverständlichenDarstellung
desrotenFadensfindensichhierzahlreicheErkundungs-undÜbungsaufgaben,denengeeignete
Beispielevorangehen.
InallenTeilenwurdederVersuchunternommen,dieKapiteleinzelnlesbarzugestalten.Wo
konkretaufInhaltevorangegangenerKapitelBezuggenommenwird,findensichVerweise.Die
EinleitungenzudenTeilensowiezudenKapitelnliefernjeweilssowohleineEinordnungindas
große Ganze als auch einen Überblick über die konkreten Inhalte. Ihre Lektüre wird dringend
empfohlen.
WeilbesondersinZusammenhangmitdenAnwendungeneineReihevonFragenjenseitsdes
rotenFadensnaheliegen,wurdenimHauptteilauchErweiterungen,ZusätzeundHintergründe
mitaufgenommen.DieentsprechendenAbschnittesindmit*beziehungsweise**gekennzeich-
netundfüreinegewinnbringendeLektüreverzichtbar.Siesolltenjedochdabeihelfen,überdas
Kernthema hinausgehende Interessen verfolgen und entsprechende Schülerfragen beantworten
zukönnen.
DiezurvertiefteneigenständigenAuseinandersetzungmitdemThemaerstelltenMaple-Work-
sheetsstehenonlinezurVerfügung:http://darwin.bth.rwth-aachen.de/opus3/volltexte/2010/3404.
InAnhangBfindetsicheineÜbersichtdessen,wassieleisten.AufNachfrageperemail(S.199)
werdenLösungenderAufgabenzurVerfügunggestelltundFragenzurUmsetzunginsbesondere
derexperimentellenTeileimUnterrichtbeantwortet.
EntstehungsgeschichteundDank
DasBuchistdieüberarbeiteteundergänzteVersionmeinervon2007bis2010amLehrstuhlA
für Mathematik der RWTH Aachen entstandenen Dissertation. Wesentliche Ziele dieser Arbeit
waren,amBeispielderApproximationdurchEntwicklungüberOrthogonalbasen
• erfolgreicheMathematikderletztenJahrzehntefürdenSchulunterrichtzugänglichzuma-
chen,
• echte,aktuelleAnwendungenerfahrenzulassen,
• denBlickaufdieStrukturzulenkenundzuzeigen,dassdasfürErkenntnisundAnwen-
dungenvonNutzenseinkann,
• zentralemathematischeIdeenzuvermitteln,diedieGrenzenderüblichenTeilgebieteüber-
schreiten.
DieseArbeitwärenichtzustandegekommenodernichtsogeworden,wiesieist,ohnedierich-
tigenChancenunddieUnterstützungzahlreicherMenschenummichherum.
IchdankemeinemMann,HerrnDr.MichaelHeitzer:OhneihnundseineArt,Vaterrolleund
Beruf unter einen Hut zu bringen, hätte ich die Möglichkeit zur Promotion kaum wahrnehmen
können.IchdankemeinenSöhnenPaulundPeter,diemireinstetigerQuellderFreudesind.Sie
hattensowohlmichalsauchdeneinzigenFamilien-ComputerwenigerzurVerfügung,alsihnen
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liebgewesenwäre.IchdankemeinerMutter,FrauDr.BarbaraRösler,dieihrenKinderneinfach
alleszutrautunddannauchhilft,dasssieeswirklichschaffen.
Ich danke Herrn Prof. Dr. Sebastian Walcher für das Thema, das Vertrauen, zahllose fachli-
che und akademische Ratschläge, Umfang und vor allem Art der Betreuung. Ich danke Herrn
Prof.Dr.HartmutFührfürdieÜbernahmedesZweitberichts,stetigenfachlichenRatundviele
wertvolleLiteraturhinweise.IchdankeHerrnProf.em.Dr.Dr.h.c.HeinrichWinandWinterfür
meinenWegindieFachdidaktikundseinanhaltendes,konstruktivesInteresseanmeinerwissen-
schaftlichenArbeit.
IchdankefürsoVieles,daseinzelnaufgezähltzuwerdenverdienthätte(inalphabetischerRei-
henfolge):EduardBader,Dr.DorteEngelmann,Dr.MarcEnsenbach,BarbaraGiese,Alexandra
Goeke, Corinna Hänisch, Prof. Dr. Aloys Krieg, Gehrt Hartjen (MINT e.C.), Dr. Peter Heiß,
Dr. Sebastian Mayer, Birgit Morton, Rusbeh Nawab (Science-College Overbach), Dr. Markus
Neuhauser,Dr.LenaNöthen,KarolineQuinn,FelixRösler,UlrikeSchmickler-Hirzebruch,An-
dreaSchmitz,AnneSchüllerundEllenStollenwerk(zdi-InitiativeANTalive).
AachenimMai2012 JohannaHeitzer
Inhaltsverzeichnis
I OrthogonalitätundbesteApproximation 1
1 ÜberblickvoneinemhöherenStandpunkt 5
1.1 EuklidischeVektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 NormundOrthogonalitätineuklidischenVektorräumen. . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Orthogonalprojektion,OrthogonalisierungundOrthonormalisierung . . . . . . . 11
1.4 DreiecksungleichungundSatzdesPythagoras* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 VorzügevonOrthogonalsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 BesteApproximationinUnterräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 ApproximationdurchEntwicklungüberOrthonormalbasen . . . . . . . . . . . . 21
1.8 WesentlicheBeispielklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 GeometrieimR2undR3 29
2.1 EinphysikalischerAnalogie-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 PunktundGeradeinderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 PunktundEbeneimRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 EigenschaftendereuklidischenGeometrie* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 DarstellungmittelsVektorgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Ausblick* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 AnwendungenimRnmitn≥4 51
3.1 SpaltenvektorenderLängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 MinimaleAbstandsquadratsummebeiPunktmengen . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 DimensionsreduktionbeiDatenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 NäherungeninRaumundZeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 AnpassungvonFunktionenanMessreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 BesonderheitendereinzelnenBeispiele* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 VerarbeitungdigitalerSignale 69
4.1 DigitaleSignaleundderRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 DieHaar-BasisdigitalerSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 TransformationdigitalerSignalemittelsHaar-Algorithmus* . . . . . . . . . . . 78
4.4 ThresholdingundverlustbehafteteKompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5 GrundsätzlicheszuSignalverarbeitungundNormerhaltung* . . . . . . . . . . . 86
4.6 BeispieleausderBildverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7 Ausblick:VerarbeitungzweidimensionalerSignale* . . . . . . . . . . . . . . . 92
X Inhaltsverzeichnis
5 AnalogeSignaleundFunktionenräume 97
5.1 GrenzendesHaar-AlgorithmusundderdiskretenDarstellbarkeit* . . . . . . . . 98
5.2 Funktionenräume:ÜbergangvondiskretenzustetigenSignalen . . . . . . . . . 100
5.3 ZuNorm-undOrthogonalitätsbegriffinFunktionenräumen . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Haar-WaveletsalsFunktionen,WaveletshöhererOrdnung* . . . . . . . . . . . 108
5.5 AndereOrthonormalsystemeinFunktionenräumen . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6 ZumProblemderVollständigkeit* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.7 Exkurs:DigitaleFourierbasen,anderedigitaleBasen** . . . . . . . . . . . . . . 124
6 AnalyseperiodischerSignale 129
6.1 EigenschafteneinfacherakustischerSignale* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 TrigonometrischeFunktionenalsGrundbausteineperiodischerSignale . . . . . 135
6.3 FourieranalysealsEntwicklungüberOrthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . 139
6.4 DieschwingendeSaite* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.5 AnregungsformundKlang* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7 Zusammenfassung 161
7.1 DasWesentlicheingrobenZügen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2 FragenundAntwortenzurerweitertenSichtderDinge . . . . . . . . . . . . . . 164
II ZurDidaktikundVermittlungdesThemas 169
8 DidaktischeEinordnungundEntscheidungen 173
8.1 DidaktischeEinordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2 DidaktischeEntscheidungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3 ZurUmsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4 ThematischeÜbersichtgeeigneterUnterrichtsmaterialien . . . . . . . . . . . . . 177
9 Lehrplananbindung 179
9.1 DasThemaalsGanzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.2 TeilthemenmitLehrplanbezug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10 ErfahrungenausderUmsetzungmitSchülergruppen 189
10.1 DidaktischeundmethodischeEntscheidungen,Organisation . . . . . . . . . . . 190
10.2 Verlaufsplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.3 WichtigeErfahrungenausdemVerlaufderWorkshops . . . . . . . . . . . . . . 192
10.4 Evaluationsergebnisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11 Ausblick 195