Ordnungen und Verbände: Grundlagen, Vorgehensweisen und Anwendungen

240 Pages·2013·1.38 MB·German

by  Rudolf Berghammer (auth.)

Rudolf Berghammer
Ordnungen
und Verbände
Grundlagen, Vorgehensweisen
und Anwendungen
Ordnungen und Verbände
Rudolf Berghammer
Ordnungen und Verbände
Grundlagen, Vorgehensweisen
und Anwendungen
RudolfBerghammer
UniversitätKiel
Kiel,Deutschland
ISBN978-3-658-02710-0 ISBN978-3-658-02711-7(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-02711-7
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Einleitung
Durch dieses Buch wird versucht, eine möglichst präzise, elementare und verständliche
Einführung in die Theorie der Ordnungen und die Verbandstheorie zu geben. Weiterhin
wird versucht, einige Anwendungen dieser zwei Gebiete zu demonstrieren. Neben mathe-
matischen Anwendungen werden insbesondere auch solche betrachtet, die einen Bezug zu
Problemen der Informatik besitzen.
DieTheoriederOrdnungenunddieVerbandstheoriespielenheutzutageinvielenBereichen
derreinenundangewandtenMathematik,derInformatikundandererWissenschaften(wie
beispielsweiseElektrotechnik,WirtschaftswissenschaftenundSozialwahltheorie)einegroße
Rolle. Insbesondere haben sehr viele wichtige Sätze der klassischen Algebra über auf- und
absteigende Kettenbedingungen, wie sie etwa bei auflösbaren Gruppen oder Noetherschen
Ringenauftreten,einenordnungstheoretischenHintergrund.GleichesgiltfürdieMethoden
derInformatikzumBeweisvonTerminierungenvonDeduktions-undErsetzungssystemen
undvonProgrammen.EinweiteresBeispielhierzuistdieBoolescheAlgebra,welcheeinen
speziellen Zweig der Verbandstheorie bildet. Durch sie ist eine Algebraisierung der klassi-
schenAussagenlogikgegeben.IhreBedeutungfürinsbesonderedieInformatikunddieElek-
trotechnik liegt hauptsächlich in Anwendungen bei den Schaltabbildungen und den logi-
schenSchaltungen.AlsletztesAnwendungsbeispielseiennochFixpunktevonAbbildungen
genannt. Sehr viele praktisch bedeutende Probleme lassen sich als solche Fixpunktproble-
me formulieren, etwa die Berechnung der relationalen transitiven und reflexiv-transitiven
Hüllen oder das damit eng verbundene Erreichbarkeitsproblem auf gerichteten Graphen
und Ersetzungssystemen. Algorithmische Lösungen dieser Probleme ergeben sich dann oft
direkt aus den „konstruktiven“ Fixpunktsätzen über vollständigen Verbänden. Bestimmte
Fixpunkte spielen auch bei der sogenannten denotationellen Semantik von Programmier-
sprachen eine ausgezeichnete Rolle.
Es gibt wahrscheinlich kein mathematisches Konzept, das so viele Anwendungen findet,
wiedaseinerOrdnungsrelationbzw.einergeordnetenMenge.DiesewurdeninderMathe-
matik schon sehr früh betrachtet. Einzelne der grundlegenden Gedanken gehen sogar sehr
weitzurück,teilweisebiszuAristoteles.EineüberragendeBedeutungkamdenKonzepten
insbesondere zu Beginn des 20. Jahrhunderts zu, als die Grundlagen der Mathematik und
hier insbesondere die der Mengenlehre intensiv diskutiert wurden. Untrennbar damit sind
die Namen G. Cantor, E. Zermelo und F. Hausdorff verbunden. G. Cantor begründete die
Mengenlehre.VonE.ZermelostammtdieEinsicht,dassdasAuswahlaxiomeinwesentliches
Beweismittel der Mathematik ist. Seine heutzutage mit Abstand am häufigsten verwende-
vi Einleitung
te Konsequenz – man sollte genauer sagen: äquivalente Formulierung – ist das bekannte
LemmavonM.Zorn.UndF.HausdorffhatwohlalsersterdieOrdnungsaxiomeexplizitin
derheutigenFormformuliert.SeinsogenanntesMaximalkettenprinzipistebenfallslogisch
äquivalent zum Auswahlaxiom.
Den Ursprung der Verbandstheorie kann man wohl bei G. Boole ansetzen, der schon im
19. Jahrhundert eine Algebraisierung der Aussagenlogik untersuchte, sowie bei R. Dede-
kind, der sich den Verbänden von den Idealen bei den algebraischen Zahlen, also von der
algebraischenSeitehernäherte.VonR.Dedekindstammtauchdieheuteüblichealgebrai-
scheVerbandsdefinition.VonihmwurdeeinVerbandauchalseineDualgruppebezeichnet,
wie etwa in der grundlegenden und erstaunlich modern wirkenden Arbeit „Über die von
dreiModulnerzeugteDualgruppe“,erschienenindenMathematischeAnnalen53,371-403,
1900. Die Untersuchungen von G. Boole wurden sehr bald von anderen Wissenschaftlern
aufgegriffen, insbesondere um 1880 von C.S. Peirce in seiner „Algebra of Logic“ und von
E.Schröder,dervon1885bis1895dasumfassendeWerk„AlgebraderLogik“indreiBän-
den publizierte. Eine Vereinheitlichung zu der Theorie, wie wir sie heutzutage kennen, ist
wohl in erster Linie das Werk von G. Birkhoff. Es sind aber noch eine Reihe von weite-
renbekanntenMathematikernzunennen,diezurGrundlegungundWeiterentwicklungder
VerbandstheoriealseinemTeilgebietsowohldermodernenAlgebraalsauchderOrdnungs-
theoriebeigetragenhaben.OhneVollständigkeitsanspruchseiengenanntR.P.Dilworth,O.
Frink,P.Halmos,L.Kantorovik,K.Kuratowski,J.vonNeumann,O.OreundH.M.Stone.
Im Hinblick auf Anwendungen der Verbandstheorie sollte auch eine Gruppe von Wissen-
schaftlern genannt werden, die ursprünglich von R. Wille an der Technischen Universität
Darmstadt geleitet wurde, und der auch B. Ganter als ein einflussreiches Mitglied ange-
hörte. Diese Gruppe legte die Grundlagen der Begriffsverbände, einer Verallgemeinerung
der Vervollständigung von Ordnungen durch Schnitte auf beliebige Relationen, und auch
der sogenannten formalen Begriffsanalyse. Letztere ist ein Gebiet mit vielen praktischen
und mittlerweile auch (verbands-)theoretischen Anwendungen.
Nach diesen knappen historischen Betrachtungen wollen wir nun, ebenfalls sehr knapp,
den Inhalt des Buchs skizzieren. Im ersten Kapitel stellen wir kurz die mathematischen
Grundlagen aus der Mengenlehre und der Logik zusammen. Dies betrifft insbesondere
spezielle Begriffe und Notationen. Dann stellen wir im zweiten Kapitel die Grundlagen
der Ordnungs- und Verbandstheorie vor, wobei wir mit den Verbänden beginnen. Dar-
auf aufbauend werden wir im dritten Kapitel dann spezielle Klassen von Ordnungen und
Verbänden genauer diskutieren. Wiederum spielen hier die Verbände die Hauptrolle. Im
vierten Kapitel werden wir die wichtigsten Fixpunktsätze beweisen und anhand von ei-
nigen exemplarischen Anwendungen, wie Hüllen und Galois-Verbindungen, vertiefen. Die
wichtigstenFragenimZusammenhangmitVervollständigungenundDarstellbarkeitdurch
VervollständigungenspielenfürunsdannimfünftenKapiteleineentscheidendeRolle.Da-
nachwerdenwirimsechstenKapiteldieWohlordnungenundtransfinitenZahlenmitdem
Auswahlaxiom und wichtigen Folgerungen davon (genauer: dazu äquivalenten Formulie-
rungen, wie etwa das Lemma von M. Zorn) und Anwendungen präsentieren. Dies wird
uns auch erlauben, Beweise von Sätzen aus früheren Kapiteln zu bringen, die wir dort
aufgrund der fehlenden Mittel noch nicht führen konnten. Mit einem siebten Kapitel über
Einleitung vii
einige spezielle Anwendungen von Ordnungen und Verbänden in der Informatik schließen
wir den technischen Teil des Buchs ab. Der noch folgende Index soll der Leserin oder dem
Leser das Nachschlagen erleichtern.
Wir wollen auch kurz auf begleitende und weiterführende Literatur eingehen. Die nachfol-
gendangegebenenBüchergeheninderRegelbeispeziellenGebietenweitüberdashinaus,
was dieses Buch an Stoff enthält.
• H. Gericke, Theorie der Verbände, 2. Auflage, Bibliographisches Institut, 1967.
• H. Hermes, Einführung in die Verbandstheorie, 2. Auflage, Springer Verlag, 1967.
• G. Birkhoff, Latice Theory, 3. Auflage, Amer. Math. Soc, 1967.
• M. Erné, Einführung in die Ordnungstheorie, Bibliographisches Institut, 1982.
• R. Freese, J. Jezek, J.B. Nation, Free Latices, Amer. Math. Soc, 1995.
• B.Ganter,R.Wille,FormaleBegriffsanalyse–MathematischeGrundlagen,Springer
Verlag, 1996.
• B.A. Davey, H.A. Priestley, Introduction to Lattices and Orders, 2. Auflage, Cam-
bridge University Press, 2002.
Das Lesen dieses Buchs, welches sich primär an Studierende der Informatik und der Ma-
thematik im Diplom-Hauptstudium, Master-Studium oder den letzten Semestern eines
Bachelor-Studiums wendet, aber, wie wir hoffen, auch Studierenden anderer Fächer hel-
fen kann, erfordert relativ wenig tiefgehende Voraussetzungen aus der Informatik und der
Mathematik.Dadieseallenichtüberdashinausgehen,waswirimerstenKapitelanGrund-
lagen vorstellen oder was man üblicherweise an einer höheren Schule oder in den ersten
Semestern eines Diplom- oder Bachelor-Studiums in Informatik oder Mathematik lernt,
verzichten wir hier auf die Angabe von entsprechender Literatur.
Das vorliegende Buch basiert auf den ersten sechs Kapiteln der zweiten Auflage meines
Buchs „Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen“, welches beim Verlag
SpringerViewegerschienenist.NebeneinergründlichenÜberarbeitung,insbesonderehin-
sichtlich der mathematischen Beweise und der Erklärung von komplizierteren Sachverhal-
ten,wurdendieKapitelauchergänzt,etwadurchneuemathematischeAussagen,zusätzli-
cheBeispieleundAnwendungenundaucheinigeAlgorithmen.Auchwurdeihneneinneues
Kapitelvorangestellt,dasinknapperFormdieerforderlichenmathematischenGrundlagen
enthält. Ich bedanke mich wiederum sehr herzlich beim Verlag Springer Vieweg, insbeson-
dere bei Frau Maren Mithöfer, Frau Sybille Thelen und Herrn Bernd Hansemann, für die
sehr angenehme Zusammenarbeit, sowie bei meiner Frau Sibylle für ihre Unterstützung
und Hilfe.
Kiel, im Oktober 2013 Rudolf Berghammer
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Grundlagen 1
1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Relationen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Tupel, Folgen und Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Verbände und Ordnungen 9
2.1 Algebraische Beschreibung von Verbänden. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Geordnete Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Verbände als spezielle geordnete Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Das Dualitätsprinzip der Verbandstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Nachbarschaft und Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Einige Konstruktionsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Einige wichtige Verbandsklassen 37
3.1 Modulare Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Distributive Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Komplemente und Boolesche Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Vollständige Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Fixpunkttheorie mit Anwendungen 77
4.1 Einige Fixpunktsätze der Verbandstheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Anwendung: Schröder-Bernstein-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
x Inhaltsverzeichnis
4.3 Das Prinzip der Berechnungsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Hüllenbildungen und Hüllensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5 Galois-Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 Vervollständigung und Darstellung mittels Vervollständigung 111
5.1 Vervollständigung durch Ideale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Vervollständigung durch Schnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3 Vergleich der Ideal- und Schnittvervollständigung. . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Darstellung durch Schnittvervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.5 Vervollständigung durch Abwärtsmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.6 Berechnung der Schnitte und Abwärtsmengen . . . . . . . . . . . . . . . 145
6 Wohlgeordnete Mengen und das Auswahlaxiom 149
6.1 Wohlordnungen und Ordinalzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2 Auswahlaxiom und wichtige Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3 Fixpunkte von Abbildungen auf CPOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4 Darstellung beliebiger Boolescher Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.5 Existenz von Fixpunkten und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.6 Eine Anwendung in der mathematischen Logik. . . . . . . . . . . . . . . 187
7 Einige Informatik-Anwendungen von Ordnungen und Verbänden 191
7.1 Schaltabbildungen und logische Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2 Denotationelle Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3 Nachweis von Terminierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.4 Kausalität in verteilten Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.5 Bestimmung minimaler und maximaler Mengen . . . . . . . . . . . . . . 227
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Kapitel 1
Mathematische Grundlagen
In diesem Kapitel stellen wir knapp die mathematischen Grundlagen vor, die im Rest
des Buchs verwendet werden. Es handelt sich um Begriffe, die man teilweise schon von
der höheren Schule her kennt. Bei einem Informatik-Studium stehen sie in der Regel am
Anfang der einführenden Mathematik-Vorlesung.
1.1 Mengen
Wir werden Mengen in dem naiven Sinn verwenden, wie sie G. Cantor im Jahr 1885 ein-
führte.Erschriebdamals:UntereinerMengeverstehenwirjedeZusammenfassungM von
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens
(welche die „Elemente“ von M genannt werden). Aufgrund der vorausgesetzten Wohlun-
terschiedenheit wird für alle Objekte a und b eine Gleichheit a=b bzw. eine Ungleichheit
a(cid:2)=b als vorgegeben angenommen. Werden nun neue Objekte konstruiert, so ist für diese,
damit sie Elemente von Mengen werden können, festzulegen, was Gleichsein a = b heißt.
Ungleichheit a(cid:2)=b bedeutet dann immer, dass Gleichheit a=b nicht gilt.
Ist M eine Menge und a ein Objekt, so drücken wir durch a∈M aus, dass a ein Element
vonM ist,unddurcha∈/ M,dassakeinElementvonM ist.EsistdannM eineTeilmenge
einerMengeN (oderinN enthalten),imZeichenM ⊆N,fallsfüralleObjekteaausa∈M
folgta∈N.GeltenM ⊆N undM (cid:2)=N,soschreibtmanM ⊂N undnenntM eineechte
Teilmenge von N. Die Konstruktion M ⊆N heißt auch Mengeninklusion. Eine Gleichheit
M =N istperDefinitiongenaudannwahr,wennbeide InklusionenM ⊆N undN ⊆M
wahr sind. Schließlich bezeichnet ∅ die leere Menge, für die a∈∅ für alle Objekte a falsch
ist.
Zum Definieren von Mengen M verwenden wir oft explizite Darstellungen. Eine explizite
Darstellung von M hat die Form
M := {a ,...,a },
1 n
bei der das Zeichen „:=“ besagt „ist per Definition gleich zu“ oder „ist eine Bezeichnung
R. Berghammer, Ordnungen und Verbände, DOI 10.1007/978-3-658-02711-7_1,
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