Orbital Motion

544 Pages·2004·3.497 MB·\544

by  A.E. Roy (Author)

Orbital Motion

To John C Brown,
Regius Professor of Astronomy, University of Glasgow,
Astronomer Royal for Scotland,
respected friend and colleague,
in recognition of his outstanding contributions
to astronomy, space research and education.

Contents
Preface to First Edition xv
Preface to Fourth Edition xvii
1 The Restless Universe 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The Solar System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Kepler’s laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Bode’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Commensurabilities in mean motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Comets, the Edgeworth–Kuiper Belt and meteors . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Stellar Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Binary systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Triple and higher systems of stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Globular clusters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Galactic or open clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Clusters of Galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Coordinate and Time-Keeping Systems 16
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Position on the Earth’s Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 The Horizontal System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 The Equatorial System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 The Ecliptic System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Elements of the Orbit in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 Rectangular Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 Orbital Plane Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Transformation of Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.9.1 The fundamental formulae of spherical trigonometry . . . . . . . . . . 25
2.9.2 Examples in the transformation of systems . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.10 Galactic Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11 Time Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.11.1 Sidereal time. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.11.2 Mean solar time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
vii
viii
2.11.3 The Julian date . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.11.4 Ephemeris Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 The Reduction of Observational Data 44
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Observational Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Refraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Precession and Nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6 Proper Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Stellar Parallax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8 Geocentric Parallax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.9 Review of Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 The Two-Body Problem 62
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Newton’s Laws of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Newton’s Law of Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 The Solution to the Two-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 The Elliptic Orbit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5.1 Measurement of a planet’s mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5.2 Velocity in an elliptic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.3 The angle between velocity and radius vectors . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.4 The mean, eccentric and true anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5.5 The solution of Kepler’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5.6 The equation of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5.7 Position of a body in an elliptic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6 The Parabolic Orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7 The Hyperbolic Orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.1 Velocity in a hyperbolic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.7.2 Position in the hyperbolic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.8 The Rectilinear Orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.9 Barycentric Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.10 Classification of Orbits with Respect to the Energy Constant . . . . . . . . . . . 90
4.11 The Orbit in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.12 The f and g Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.13 The Use of Recurrence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.14 Universal Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 The Many-Body Problem 101
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
ix
5.2 The Equations of Motion in the Many-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 The Ten Known Integrals and Their Meanings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 The Force Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5 The Virial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6 Sundman’s Inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.7 The Mirror Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.8 Reassessment of the Many-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.9 Lagrange’s Solutions of the Three-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.10 General Remarks on the Lagrange Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.11 The Circular Restricted Three-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.11.1 Jacobi’s integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.11.2 Tisserand’s criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.11.3 Surfaces of zero velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.11.4 The stability of the libration points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.11.5 Periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.11.6 The search for symmetric periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.11.7 Examples of some families of periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . 134
5.11.8 Stability of periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.11.9 The surface of section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.11.10 The stability matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.12 The General Three-Body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.12.1 The case C <0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.12.2 The case for C =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.12.3 Jacobian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.13 Jacobian Coordinates for the Many-body Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.13.1 The equations of motion of the simple n-body hds . . . . . . . . . . . 145
5.13.2 The equations of motion of the general n-body hds . . . . . . . . . . 147
5.13.3 An unambiguous nomenclature for a general hds . . . . . . . . . . . . 151
5.14 The Hierarchical Three-body Stability Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6 The Caledonian Symmetric N-body Problem 154
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2 The Equations of Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.3 Sundman’s Inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.4 Boundaries of Real and Imaginary Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.5 The Caledonian Symmetric Model for n=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.6 The Caledonian Symmetric Model for n=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.6.1 The Szebehely Ladder and Szebehely’s Constant. . . . . . . . . . . . . 173
6.6.2 Regions of real motion in the ρ ,ρ ,ρ space . . . . . . . . . . . . . 174
1 2 12
6.6.3 Climbing the rungs of Szebehely’s Ladder . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.6.4 The case when E <0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
0
6.6.5 Unequal masses μ (cid:2)=μ in the n=2 case . . . . . . . . . . . . . . . 182
1 2
6.6.6 Szebehely’s Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.6.7 Loks and Sergysels study of the general four-body problem . . . . . . 184
6.7 The Caledonian Symmetric Model for n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
x
6.8 The Caledonian Symmetric N-Body Model for odd N . . . . . . . . . . . . . . . 191
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7 General Perturbations 194
7.1 The Nature of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2 The Equations of Relative Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3 The Disturbing Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.4 The Sphere of Influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.5 The Potential of a Body of Arbitrary Shape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.6 Potential at a Point Within a Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.7 The Method of the Variation of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.7.1 Modification of the mean longitude at the epoch . . . . . . . . . . . . 212
7.7.2 The solution of Lagrange’s planetary equations . . . . . . . . . . . . . 214
7.7.3 Short- and long-period inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.7.4 The resolution of the disturbing force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.8 Lagrange’s Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.9 Hamilton’s Canonic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.10 Derivation of Lagrange’s Planetary Equations from Hamilton’s Canonic
Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8 Special Perturbations 234
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2 Factors in Special Perturbation Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.1 The type of orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.2 The operational requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.3 The formulation of the equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.4 The numerical integration procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.5 The available computing facilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.3 Cowell’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.4 Encke’s Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.5 The Use of Perturbational Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.5.1 Derivation of the perturbation equations (case h(cid:2)=0) . . . . . . . . . . 241
8.5.2 The relations between the perturbation variables, the rectangular
co-ordinates and velocity components, and the usual conic-section
elements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.5.3 Numerical integration procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.5.4 Rectilinear or almost rectilinear orbits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.6 Regularization Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.7 Numerical Integration Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.7.1 Recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.7.2 Runge–Kutta four . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.7.3 Multistep methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.7.4 Numerical methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261