oran ve orantı

116 Pages·2006·4.3 MB·Turkish

MATEMATİK – ÖSS Ortak

ORAN VE ORANTI

ORAN ÇÖZÜM

Aynı birimden olan iki çokluğun karşılaştırılmasına oran
a 3 12 b 4 20
denir. = = , = =
b 5 20 c 3 15
a
a ve b birimleri aynı olan iki çokluk ise, bir orandır. a 12k 4
b a=12k, b=20k, c=15k olup, = = tir.
c 15k 5

ORANTI

İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. ÖRNEK 2

a ve b pozitif sayılardır.
a c
ve iki oran ise,
b d
a(a−2b) 8
a c = olduğuna göre,
= =k eşitliği bir orantıdır. (k orantı sabitidir.) b(2a+b) 9
b d

a c a2+b2
= orantısında, b ve c ye içler, a ve d ye dışlar denir. oranı kaçtır?
b d ab

a c
= orantısında x e; a, b, c arasında dördüncü orantı- ÇÖZÜM
b x

lıdır denir.
a(a−2b)=8 , 9a2−18ab=16ab+8b2
b(2a+b) 9
9a2−34ab−8b2 =0 , (a−4b)(9a+2b)=0,
a c e
Not: = = orantısı, a : c : e = b : d : f biçiminde de a=4b veya 9a=−2b olur. a ve b pozitif sayılar oldu-
b d f
ğundan, 9a = –2b olamaz.
gösterilebilir.

a2+b2 16b2+b2 17b2 17
= = = tür.
ab 4b.b 4b2 4

ORANTININ ÖZELLİKLERİ

a c
1. = ise,ad=bc dir.
b d ÖRNEK 3

a c ma+nc
2. = =k ise, =k dir. a c
b d mb+nd = orantısında, dışlar toplamı 13, içler toplamı 11 ve
b d
3. a =c =k ise, an+cn =kn dir. a 2 + b2 + c2 + d2 = 170 olduğuna göre,
b d bn+dn
a.d kaçtır?

ÖRNEK 1 ÇÖZÜM

a 3 b 4
= , = ise, a2+b2+c2+d2 =170
b 5 c 3
(a+d)2−2ad+(b+c)2−2bc=170
a 169−2ad+121−2bc=170 (bc=ad dir.)
oranı kaçtır?
c 4ad=120den, ad=30 dur.

-MEF İLE HAZIRLIK 7. SAYI- 3
MATEMATİK – ÖSS Ortak
ÖRNEK 4 ÇÖZÜM

a b a+b
a =b =c orantısında; a, b, c, d pozitif sayılardır. a) = =2 ise, =2 dir.
b c b+c
b c d
b c b+c
⎛2a+b⎞ ⎛2c−d⎞ = =2 ise, =2 dir.
⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=7olduğuna göre, c d c+d
⎝ b ⎠ ⎝ d ⎠
a+b b+c a+b
⋅ = =2⋅2=4 tür.
a b+c c+d c+d
oranı kaçtır?

d
a b c a 4b −c a+4b−c
b) = = =2 ise, = = = =2 dir.
b c d b 4c −d b+4c−d
ÇÖZÜM

a b c a b c a
= = =k olsun. c) ⋅ ⋅ = =2⋅2⋅2=8 dir.
b c d b c d d
⎛2a+b⎞ ⎛2c−d⎞ ⎛ a ⎞⎛ c ⎞ b c b
⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜2 +1⎟⎜2 −1⎟ ⋅ = =2⋅2=4 tür.
⎝ b ⎠ ⎝ d ⎠ ⎝ b ⎠⎝ d ⎠ c d d

=(2k+1)(2k−1)=7 den, k= 2 olur. a+b a b
= + =8+4=12 dir.
a a b c d d d
= ⋅ ⋅ = 2. 2. 2=2 2 dir.
d b c d
d) a+3c+ac+bd=⎛⎜a+3⎞⎟+⎛⎜c+b⎞⎟
c ad ⎝c ⎠ ⎝d a⎠
1 19
=4+3+2+ = dir.
ÖRNEK 5
2 2

a+b 2a−b 80
= = orantısında, 3a 4b 8c 3a+4b+8c
7 8 ab e) = = = =2 den,
3b 4c 8d 3b+4c+8d

m=8 , n=4olup,m+n=12 dir.
a b
+ kaçtır?
b a

ORANTI ÇEŞİTLERİ

ÇÖZÜM 1. DOĞRU ORANTI

a+b=7k x
=3 orantısında,
2a−b=8k den, a=5k , b=2k dir. y
80 80 y = 1 iken, x = 3
=k , =k den, k=2 dir. y = 2 iken, x = 6
ab 10k2 y = 3 iken, x = 9
a b 10 4 29 …… ….. ..…. dur.
a=10 veb=4 olup, + = + = dur.
b a 4 10 10
x
=2 orantısında,
ÖRNEK 6 y+2

y = 1 iken, x = 6
a b c
= = =2 orantısında, y = 2 iken, x = 8
b c d y = 3 iken, x = 10
…… ….. ….…. dur.
a+b
a) oranı kaçtır?
c+d Tanım: Aynı birimden olan iki çokluktan biri arttığında, di-
ğeri de orantılı biçimde artıyorsa veya biri azaldığında di-
a+4b−c
b) oranı kaçtır? ğeri de orantılı biçimde azalıyorsa, bu çokluklara doğru
b+4c−d
orantılıdır denir.
a+b x
c) oranı kaçtır? =3 orantısında, x ile y doğru orantılıdır.
d y
x
a+3c ac+bd =2 orantısında x ile y doğru orantılı değildir.
d) = ifadesinin değeri kaçtır? y+2
c ad
Çünkü, y iki katı olduğunda, x iki katı olmamıştır.
e) 3a+4b+mc =2 olduğuna göre,
3b+nc+8d x
=2 orantısında, x ile y+2 doğru orantılıdır.
m+n toplamı kaçtır? y+2

-MEF İLE HAZIRLIK 7. SAYI- 4
MATEMATİK – ÖSS Ortak
2. TERS ORANTI ÖRNEK 9

xy = 3 orantısında, Bir çubuk; 3, 5, 6 sayıları ile ters orantılı olacak biçimde üç
y = 1 iken, x = 3 parçaya ayrıldığında, en uzun parçanın uzunluğu, en kısa
3 parçanın uzunluğundan 20 cm fazla olduğuna göre,
y = 2 iken, x=

2
bu çubuk, aynı sayılarla orantılı olacak biçimde üç
y = 3 iken, x = 1
parçaya ayrılsaydı, en uzun parçanın uzunluğu, en kı-
…… ….. ……. dir.
sa parçanın uzunluğundan kaç cm fazla olurdu?

x(y+1) = 3 orantısında,
ÇÖZÜM
3
y = 1 iken, x=
2 3, 5, 6 ile ters orantılı olacak biçimde ayrılan parçaların
y = 2 iken, x = 1 uzunlukları; a, b ve c cm olsun.
3 3a 5b = 6c = 30 k den, a = 10k, b = 6k, c = 5k olur.
y = 3 iken, x= =
4 10k = 5k + 20 den, k = 4 tür.
…… ….. ……. tür.
Çubuğun uzunluğu, 21k = 84 cm dir.

3, 5, 6 ile orantılı olacak biçimde ayrılan parçaların uzun-
Tanım: Aynı birimden olan iki çokluktan biri arttığında, di-
lukları; aı, bı, cı olsun.
ğeri orantılı biçimde azalıyorsa veya biri azaldığında, diğe-
ri orantılı biçimde artıyorsa, bu çokluklara ters orantılıdır aı =bı =cı =t den, aı+bı+cı=14t=84 , t=6 dır.
denir. 3 5 6

6t−3t=3t=18cmfazlaolurdu.
xy = 3 orantısında, x ile y ters orantılıdır.

x(y+1) = 3 orantısında, x ile y ters orantılı değildir. Çünkü,
ÖRNEK 10
y iki katı olduğunda, x yarısı kadar olmamıştır.

Aynı kapasitede 6 makine 30 tane malı 10 saatte üret-
x(y+1) = 3 orantısında, x ile y+1 ters orantılıdır.
mektedir.

Bu makinelerden 10 tanesi ile aynı maldan 20 tanesi
ÖRNEK 7
kaç saatte üretilebilir?

2x + 1 sayısı; y2 ile doğru, z ile ters orantılıdır.

x = 4 iken, z = 9 ve y = 3 tür.
ÇÖZÜM
x = 5 iken, y = 2 olduğuna göre,

6 makine 30 parça 10 saatte
z kaçtır?
10 makine 20 parça x saatte

ÇÖZÜM D.O D.O

6.20.10 = 10.30.x ten, x =4 saatte üretebilir.
(2x+1).z 9.9
=k olsun. =k , k=9 dur.
y2 9

11.z 36 ÖRNEK 11
=9 dan, z= dir.
4 11
Aynı kapasitede 10 makine bir işi 24 saatte bitirebilmekte-

dir. Bu 10 makine çalıştırılmaya başlandıktan 6 saat son-

ra, bu makinelerle aynı kapasitede 2 makine daha çalıştı-
ÖRNEK 8
rılmaya başlanıyor.

Üç basamaklı bir doğal sayı; 3, 4, 7 ile orantılı olacak bi-
Buna göre, işin tamamı kaç saatte biter?
çimde üç doğal sayıya ayrıldığında,

ÇÖZÜM
bu sayılardan en küçüğü en çok kaç olabilir?

1
6 saatte işin ü yapılmıştır.
ÇÖZÜM 4
10 makine 4 işi 24 saatte
Bu doğal sayılar; a, b, c olsun. 12 makine 3 işi x saatte
a b c
= = =k den, a=3k , b=4k , c=7k ve
3 4 7 D.O D.O

a+b+c=14k dir. 14k < 1000 den k en çok 71 olabilir.
10.3.24 = 12.4.x ten, x = 15 bulunur.
En küçük sayı en çok, 3k = 3.71 = 213 olabilir.
İşin tamamı, 15 + 6 = 21 saatte bitmiştir.

-MEF İLE HAZIRLIK 7. SAYI- 5
MATEMATİK – ÖSS Ortak
ARİTMETİK, GEOMETRİK VE HARMONİK ORTALAMA ÇÖZÜM

Sayılar a ve b olsun. (a < b)
a , a , a , … a gerçel sayılar olmak üzere,
1 2 3 n ab =a+4

ab =b−8 den b−a=12 dir. b=a+12 olur.

a(a+12)=a+4 , a2+12a=a2+8a+16dan,
1. ARİTMETİK ORTALAMA
a=4 ve b=16 dır.

2 1 1 2 1 1 5
a +a +a +...+a = + , = + = dan,
A.O= 1 2 3 n dir. H.O a b H.O 4 16 16
n
32
H.O= tir.
5

2. GEOMETRİK ORTALAMA

G.O=na .a .a .....a dir.
1 2 3 n ÖRNEK 14

Aritmetik ortalaması tamsayı olan, iki farklı pozitif tamsa-
yının geometrik ortalaması 6 olduğuna göre,
3. HARMONİK ORTALAMA
bu iki sayının aritmetik ortalaması kaçtır?
n 1 1 1 1
= + + +...+ dir.
H.O a a a a
1 2 3 n ÇÖZÜM

Sayılar a ve b olsun.

NOT: H.O≤G.O≤A.O dır. ab =6dan, ab=36 dır.
a =a =a =....=a ise, a = 1, b = 36 ise, aritmetik ortalama tamsayı değildir.
1 2 3 n
18+2
H.O=G.O=AO dır. a = 2, b = 18 ise, A.O= =10 dur.
2

a = 3, b = 12 ise, aritmetik ortalama tamsayı değildir.
a = 4, b = 9 ise, aritmetik ortalama tamsayı değildir.

a = 6, b = 6 olamaz.
ÖRNEK 12 O halde, bu iki sayının aritmetik ortalaması 10 dur.

a ile b nin geometrik ortalaması 2 2, a ile c nin geomet-

rik ortalaması 4 2 ve b ile c nin aritmetik ortalaması 5
ÖRNEK 15
olduğuna göre,

Bir topluluktaki kişilerin yaş ortalaması 20 dir. Bu topluluğa
a, b, c sayılarının geometrik ortalaması kaçtır?
40 yaşında bir kişi katılırsa, yeni topluluğun yaş ortalama-

sı a olmaktadır. Eğer, ilk topluluktan 38 yaşında bir kişi ay-

rılsaydı, toplulukta kalan kişilerin yaş ortalaması a–2 ola-
ÇÖZÜM
caktı.

a.b = 8 , a.c = 32 den, a(b+c) = 40 olur.
Buna göre, toplulukta ilk durumda kaç kişi vardır?
b+c = 10 olduğundan, a = 4 , b = 2 ve c = 8 bulunur.

G.O=3a.b.c =34.2.8=364=4 tür. ÇÖZÜM

Toplulukta ilk durumda n kişi olsun.
20n+40
=a , 20n+40=an+a
n+1
ÖRNEK 13
20n−38
=a−2 , 20n−38=an−2n−a+2 olur.
n−1
İki pozitif sayının geometrik ortalaması, küçük sayıdan 4
fazla ve büyük sayıdan 8 eksiktir. 78 = 2a + 2n – 2 den, a = 40 – n bulunur.

Buna göre, bu iki sayının harmonik ortalaması kaçtır? 20n + 40 = (40 – n)(n+1) , n2 – 19n = 0 , n = 19 dur.

-MEF İLE HAZIRLIK 7. SAYI- 6
MATEMATİK – ÖSS Ortak
ÇÖZÜMLÜ TEST ÇÖZÜM

Topluluktaki bayanların sayısı x, erkeklerin sayısı y olsun.
1. a, b, c pozitif sayılardır.
8a
a b ax+ y
= orantısında, 5 5a 5x+8y 5
b c = , = ten,
x+y 4 5x+5y 4
a(b2+c2)=5 olduğuna göre, 5x=7y olur. x=7k, y=5k , x+y=12k>40 tan,
b2(b+c) 3 k en az 4 olabilir.
Bayanların sayısı en az, 7k = 28 olabilir.
a oranı kaçtır? Yanıt: C
c

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
4. [1, 41] aralığındaki doğal sayıların aritmetik ortala-
ÇÖZÜM ması a dır.

a =b =k diyelim.a=bk , b=ck , a=ck2 olur. Bu aralıktaki sayılardan biri çı8k3arıldığında, geri kalan
b c sayıların aritmetik ortalaması ⋅a olmaktadır.
84
a(b2+c2) 5 ck2(c2k2+c2) 5
= , =
b2(b+c) 3 c2k2(ck+c) 3 Buna göre, çıkarılan sayı kaçtır?

c3k2(k2+1) 5
= ten, k=2 dir. A) 27 B) 28 C) 28 D) 30 E) 31
c3k2(k+1) 3
a a b ÇÖZÜM
= ⋅ =2⋅2=4 tür.
c b c
[1, 41] aralığındaki doğal sayıların aritmetik ortalaması,

41.42
Yanıt: B a= =21 dir.
2.41
2. a bir doğal sayı olmak üzere, toplamları 76 olan iki Çıkarılan sayı k olsun.

doğal sayı, a+1 ve a+4 ile orantılı olduğuna göre,
41.42
−k
a kaçtır? 2 =83⋅a , 21.41−k =83⋅21=83 ten,
40 84 40 84 4
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 861−k=10.83 , k=31 dir.

Yanıt: E
ÇÖZÜM

Sayılar x ve y olsun.
x+y=76 , x = y =k den, x+y=(2a+5)k 5. Eş güçte a makine, belli bir işi 2b saatte, b makine
a+1 a+4 aynı işi 3a–10 saatte ve b+3 makine aynı işi 18 saat-
76 te yapabildiğine göre,
2a+5= olur.
k
a+b toplamı kaçtır?
k=1 için, a∉N

k=2için, a∉N
A) 37 B) 36 C) 35 D) 34 E) 33
k=19için, a∉N
k=38için, a∉N ÇÖZÜM

k=76için, a∉N a makine 2b saatte
k=4için, a=7 dir. b makine 3a–10 saatte

Yanıt: D
T.O
3. 40 kişiden fazla olan bir toplulukta; bayanların yaş or- 2ab = 3ab – 10b den, a = 10 dur.
8a
talaması a, erkeklerin yaş ortalaması ve toplulu-
5 10 makine 2b saatte
5a b+3 makine 18 saatte
ğun yaş ortalaması olduğuna göre,
4
T.O
bu topluluktaki bayanların sayısı en az kaç olabi-
lir? 20b = 18b + 54 ten, b = 27 olup,

a + b = 10 + 27 = 37 dir.
A) 21 B) 24 C) 28 D) 30 E) 35
Yanıt: A

-MEF İLE HAZIRLIK 7. SAYI- 7
MATEMATİK – ÖSS Ortak
KONU TESTİ 6. a, b, c pozitif sayılardır.
a2, b2 ve c sayıları sırasıyla; 4, 9 ve 18 sayılarıyla
orantılıdır.
1. a, b ve c üç basamaklı doğal sayılardır. a, b, c sayılarının geometrik ortalaması 12 olduğuna
göre,
a 3 b 3
= ve = olduğuna göre,
b 5 c 4 bu üç sayının aritmetik ortalaması kaçtır?

a+ b + c toplamı en az kaçtır? 74 76 80 82 85
A) B) C) D) E)
3 3 3 3 3
A) 460 B) 480 C) 500 D) 528 E) 540

7. Birbirini çeviren üç dişli çarktan birincisinde n, ikinci-
2. a + b ≠ 0 olmak üzere, sinde n+2, üçüncüsünde ise n+4 tane diş bulunmak-
tadır. Üç dişli çarkta toplam 66 tane diş olduğuna gö-

re,
a2+ab =b2+a.b=a+b ise,
9 8 birinci çark 66 devir yaptığında, diğer iki çarkın
devir sayılarının toplamı kaç olur?
a.b çarpımı kaçtır?
A) 100 B) 105 C) 115 D) 125 E) 130
9 9 1 32
A) B) C) D) 1 E)
64 8 8 9

8. a, b, c pozitif sayılardır.
3. Bir havuzu özdeş 5 musluk, günde 6 şar saat su akı- 2a + b + c, a – 2b, 2a + b – c sayıları sırasıyla; 12, 4
ve 9 sayılarıyla orantılıdır.
tarak 12 günde doldurabilmektedir.

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğ-
Bu havuzun hacminin iki katı büyüklüğündeki bir
rudur?
havuzu, bu muslukların 2 şer katı kadar su akıtan

6 musluk, günde 4 er saat su akıtarak kaç günde
A)a < b < c B) b < a < c C) a < c < b
doldurabilir?
D) c < b < a E) b < c < a
A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 21

9. Bir topluluktaki kişilerin yaş ortalaması 36 dır. Toplu-
4. Eş güçte bir grup işçi, bir işi günde 6 şar saat çalışa- 3
luktan, topluluğun i kadar kişi ayrıldığında, kalan
rak 48 günde bitirebiliyor. İşçiler 12 gün birlikte çalış- 8
tıktan sonra, 4 işçi işten ayrılıyor. Kalan işi kalan işçi-
kişilerin yaş ortalaması 33 olduğuna göre,
ler günde 9 ar saat çalışarak 32 günde bitirdiğine gö-

re,
ayrılan kişilerin yaş ortalaması kaçtır?

başlangıçta grupta kaç kişi vardır?
A) 49 B) 47 C) 45 D) 43 E) 41

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24

a a a a
10. 1= 2 = 3 =...= 15 orantısında, bu 15 terimin
5 9 m 1 2 3 15
5. = = orantısında y, x ile n nin aritmetik ortala-
aritmetik ortalaması 24 tür.
x y n

masıdır.
Buna göre, a , a , a , ..., a gibi tek indisli terim-
1 3 5 15
Buna göre, m kaçtır? lerin aritmetik ortalaması kaçtır?

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11 A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 E) 30

1.D 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.C 8.E 9.E 10.C

-MEF İLE HAZIRLIK 7. SAYI- 8
GEOMETRİ – ÖSS Ortak

PARALELKENAR

Tanım: Karşılıklı kenarları 10. E∈[DC]
paralel olan dörtgenlere
1
paralelkenar denir. A(EAB)= A(ABCD)
2
[AB]//[DC] , [AD]//[BC]

Özellikleri
1. Karşılıklı kenarların uzunlukları eşittir.
AB = DC , AD = BC ÖRNEK 1
ABCD ile EBCF
2. Karşılıklı açılar eştir.
paralelkenarları eştir.
(cid:110) (cid:110) (cid:110) (cid:110)
m(DAB)=m(DCB) , m(ADC)=m(ABC) (cid:110)
m(BCF)=65° ise,

3. Komşu açılar bütünlerdir.
(cid:110) (cid:110)
m(DAB)+m(ADC)=180° (cid:110)
m(AEB)=x kaç derecedir?
(cid:110) (cid:110)
m(DAB)+m(ABC)=180°

4. Köşegenler birbirini ortalar. ÇÖZÜM
AO = OC , DO = OB (cid:110) (cid:110)
m(ABC)=m(CBE)=115°

5. Komşu açıların AB = BE dir.
açıortayları diktir. (cid:110)
m(ABE)+2.115°=360°
[AK⊥[BK
(cid:110)
m(ABE)=130° dir.
BEA ikizkenar üçgendir.
(cid:110) (cid:110)
m(BAE)=m(BEA)=x

6. Açıortayların kesişim 2x+130°=180° , x=25° dir.
noktaları dikdörtgenin
köşeleridir.
(KLMN dikdörtgen) ÖRNEK 2
KM = a−b dir. ABCD paralelkenarının
A, B, C, D köşelerinin
d doğrusu üzerindeki
7. E, F orta noktalar ise, izdüşümleri F, H, G, E
noktalarıdır.
DK = KL = LB ve
DE =9cm
KO = OL dir.
CG =12cm

BH =5cm ise,

8. A(ABCD)=a.h =b.h AF kaç cm dir?
a b

ÇÖZÜM 1
BC = AD
[BK]⊥[CG]ve
1
9. S =S =S =S = A(ABCD) [AP]⊥[DE] çizelim.
1 2 3 4 4
(cid:110) (cid:110)
m(EDA)=m(GCB)
(kenarlarıparalelaçılar)

BH = KG =5cm

CK =12−5=7cm dir.

-MEF İLE HAZIRLIK 7. SAYI- 9
GEOMETRİ – ÖSS Ortak
Δ Δ ÇÖZÜM 1
BKC≅APD (A.K.A) DE =a, EC =b olsun. (cid:5)
DP = CK =7cm olur. AB =a+b olur. (cid:15)
PE =9−7=2cm dir. (cid:6) (cid:19) (cid:2) (cid:20)
KE =x (cid:4)
PE = AF =2cm dir. (cid:17)
Δ Δ
FEC∼FAB (A.A.A)
(cid:16)
b 5 (cid:18)
= (cid:31)
Uyarı: AF + CG = DE +BH a+b 11+x
Δ Δ (cid:3) (cid:19)(cid:21)(cid:20) (cid:7)
KDE∼KBA (A.A.A)
ÇÖZÜM 2 a x
= (cid:32)
AF+12=9+5 , AF =2cm dir. a+b 6
(cid:31) ve (cid:32) taraf tarafa toplanırsa

5 x
ÖRNEK 3 1= +
ABCD paralelkenarının (cid:2) 11+x 6
A, B, C, D köşelerinin (cid:5) (cid:4) 66+6x=30+x2+11x
d doğrusu üzerindeki (cid:6)
izdüşümleri F, H, G, E x2+5x−36=0 , x=4cm dir.
noktalarıdır. (cid:8)
DE =2cm (cid:9)
(cid:10)
AF =7cm (cid:3) (cid:7) Uyarı: (cid:5)
AK =y (cid:23)
CG =4cm ise,
KE =x (cid:6) (cid:2)
(cid:4)
EF =z ise, (cid:17)
BH kaç cm dir?
y2=x.(x+z) dir. (cid:16) (cid:12)
ÇÖZÜM 1 (cid:2) (cid:22)
(cid:12)
BH =x olsun. (cid:11) (cid:5) (cid:4)
(cid:6) (cid:12)
[CK]⊥[BHve (cid:12)(cid:11)(cid:13) (cid:14) (cid:12) (cid:16) (cid:3) (cid:7)
[mD(PA(cid:110)]D⊥P[)A=Fm](çB(cid:110)izCeKli)m (cid:15) (cid:8)(cid:12) (cid:9)(cid:17)(cid:12)(cid:14)(cid:10)
(kenarlarıparalelaçılar) (cid:3) (cid:7) ÇÖZÜM 2
62=x.(x+5)
AD = BC olduğundan
Δ Δ x2+5x−36=0 , x=4cm dir.
ADP≅BCK (A.K.A)

DE = PF =2cm

AP =7−2=5cm
ÖRNEK 5
CG = HK =4cm dir. (cid:3) (cid:6)
5=x+4 , x=1cm dir.
(cid:16)

Uyarı: AF −CG = DE +BH

(cid:7) (cid:4)

ÇÖZÜM 2 (cid:24)

7−4=2+BH , BH =1cm dir. (cid:2) (cid:5)

ABCD paralelkenar
ÖRNEK 4 (cid:5) [DE]∩[AF]={K}
ABCD paralelkenar
B, C, F noktaları doğrusal (cid:15) [BF]∩[CE]={L}

[AF]∩[DB]={K} (cid:6) (cid:2) (cid:4) BE = KD
AK =6cm CF = AK ise,

EF =5cm ise, (cid:16)
(cid:18)
A(BLC)
oranı kaçtır?
KE kaç cm dir? A(ABCD)
(cid:3) (cid:7)

-MEF İLE HAZIRLIK 7. SAYI- 10
GEOMETRİ – ÖSS Ortak
ÇÖZÜM
(cid:3) (cid:6) Uyarı: Paralelkenarın tüm özelliklerini taşır.

(cid:16)

1. Köşegenleri birbirini dik ortalar.
(cid:7) (cid:2) (cid:26)(cid:25)(cid:28) (cid:2) (cid:4) [AC]⊥[DB] , OA = OC ve OD = OB
(cid:3)(cid:25) (cid:3)
(cid:11)(cid:25) (cid:24)

(cid:5) 2. Köşegenler açıortaydır.
(cid:2) (cid:27)
(cid:110) (cid:110) (cid:110) (cid:110)
m(DAC)=m(CAB)=m(DCA)=m(ACB)

AK = KC = CF ve DK = KB = BE olduğundan L nok- m(A(cid:110)DB)=m(B(cid:110)DC)=m(A(cid:110)BD)=m(D(cid:110)BC)
tası KEF nin ağırlık merkezidir.
[KL∩[EF]={M} olsun.
Sonuç:
NL =k , LM =2k , KN =3k dir.
1. Köşegenleri iç açıların açıortayı olan dörtgen, eşke-
A(BLN)=A(LCN)=1birimkare olsun nar dörtgendir.
A(KBN)=A(KCN)=3birimkare olur. 2. Köşegenleri birbirini dik ortalayan dörtgen, eşkenar
dörtgendir.
A(ABCD)=4.A(KBC)=4.6=24birimkaredir.

A(BLC) 2 1
= = dir.
A(ABCD) 24 12 3. AB = BC =a
DH = DK =h ise,
ÖRNEK 6
A(ABCD)=a.h
ABCD paralelkenar
F, K, C doğrusal

(cid:110)
m(DKC)=120°

FK = KC

FB =6cm

DE = EA = EF =3cm ise,
4. AC =e , DB =f ise,

1
A(ABCD) kaç cm2 dir? A(ABCD)= e.f
2

ÇÖZÜM

D ile F yi birleştirelim.

[DF]⊥[AB] olur.

DFC üçgeninde

DK =KC = KF dir.
(Hipotenüse ait
kenarortay) 1
5. A(ABCD)=2⋅ a.a.sinα
m(K(cid:110)DC)=m(D(cid:110)CK)=30° 2
m(F(cid:110)DK)=60° dir. A(ABCD)=a2.sinα
m(D(cid:110)CF)=m(C(cid:110)FB)=30°(içtersaçılar)

m(C(cid:110)FB)=m(F(cid:110)CB)=30° (ikizkenarlıktan)
m(D(cid:110)AB)=m(D(cid:110)CB)=60°(paralelkenarözelliği)

DF =3 3 cm CDFüçgeninde DC =9cm dir. ÖRNEK 7

A(ABCD)=9.3 3=27 3 cm2 dir.

EŞKENAR DÖRTGEN

Tanım: Kenar uzunlukları eşit
olan paralelkenara eşkenar ABCD eşkenar dörtgen
dörtgen denir. [AF]⊥[DK] , BE = EC
AB = BC = CD = DA =a A, B, K doğrusal
(cid:110)
m(ABC)=40° ise,

(cid:110)
m(DFC) kaç derecedir?

-MEF İLE HAZIRLIK 7. SAYI- 11
GEOMETRİ – ÖSS Ortak
ÇÖZÜM ÇÖZÜM
AK = DF =a olsun

KD = FC =3a

AB = BC =4a olur.
B ile F yi birleştirelim.
BE = EC =a , AB = DC =2a dır. Δ Δ
ABP∼CFP (A.A.A.)

Δ Δ
EDC≅EKB (K.A.K) , DC = BK =2a dır. PC 3a 12
= =
F ile B birleştirilirse PA 4a 16
FB = AB = BK =2a olur. (hipotenüse ait kenarortay) PC =12k , PA =16k dir.
m(B(cid:110)FK)=m(B(cid:110)KF)=α olsun. AE =3 , AE =3.EC
m(A(cid:110)BF)=2α (dışaçı) EC
AC =4.EC =28k , EC =7k
(cid:110)
m(FBC)=40°−2α olur.
PE =12k−7k=5k dir.
BFC ikizkenar üçgendir.
A(BPE)=5A , A(BEC)=7A
(cid:110) (cid:110)
m(BFC)=m(BCF)=70°+α dır.
A(FPE)=5B , A(FEC)=7B dir.
(cid:110)
m(CFE)=70° dir. A(BFC)=12(A+B)=12S olsun.
(cid:110)
m(DFC)=180°−70°=110° dir. A(BFD)=4S dir. A(ABCD)=2.16S=32S dir.
A(BFC)=12S=3a.4a olduğundan

A(DKF)=3a.a=3S , A(BAK)=a.4a=4S dir.
A(BEFK)=32S−(3S+4S+7S)=18S dir.
ÖRNEK 8
A(BEFK) 18S 9
ABCD eşkenar dörtgen = = dır.
KEFP kare A(ABCD) 32S 16
[AC] köşegen

NL =4cm

AN =4cm ise, ÖRNEK 10
ABCD eşkenar dörtgen D C
Ç(ABCD) kaç cm dir? E∈[AC]
[EF]⊥[BC] E
[EH]⊥[AB] .F

ÇÖZÜM EH =6cm
D ile B yi birleştirelim.
EF =3cm
.
[DB]⊥[AC] dir.
AC =9 10 cm ise, A H B
NO = OL = OM = OT =2cm

DKΔM∼DAΔO (A.A.A) A(ABCD) kaç cm2 dir?

DM =2
DM+2 6 ÇÖZÜM
DM =1cm dir. [AK]⊥[CB çizelim.

DAO üçgeninde Pisagor bağıntısı yazılırsa AK =EH+EF=6+3=9cmdir.
DA2=62+32 , DA =3 5 cm dir. CAK üçgeninde
Pisagor bağıntısı yazılırsa
Ç(ABCD)=4.3 5=12 5 cm dir. CK2+92 =(9 10)2

CK =27cm dir.
ÖRNEK 9 BK =x olsun.
ABCD eşkenar dörtgen
AB = BC =27−x olur.
[AC] köşegen
AKB üçgeninde Pisagor bağıntısı yazılırsa
AE CF KD
= = =3 92+x2=(27−x)2 , x=12cm dir.
EC FD AK
olduğuna göre, CB =27−12=15cm dir.
A(ABCD)=15.9=135cm2 dir.
A(BEFK)
oranı kaçtır?
A(ABCD)

-MEF İLE HAZIRLIK 7. SAYI- 12