Optimización de algoritmos de resolución de la ecuación de transporte con orientación a su ...

118 Pages·2015·1.49 MB·Spanish

by  García, Manuel

PROYECTO INTEGRADOR DE LA CARRERA DE
´
INGENIERIA NUCLEAR
´ ´
OPTIMIZACION DE ALGORITMOS DE RESOLUCION
´
DE LA ECUACION DE TRANSPORTE CON
´ ´
ORIENTACION A SU PARALELIZACION
Manuel Garc´ıa
Alumno
Dr. Eduardo Villarino
Director
Miembros del Jurado
Ing. Alexis Weir (Instituto Balseiro)
Ing. Lourdes Torres (Instituto Balseiro)
Junio de 2015
Divisi´on de Ingenier´ıa Nuclear – INVAP S.E.
Instituto Balseiro
Universidad Nacional de Cuyo
Comisi´on Nacional de Energ´ıa At´omica
Argentina

A Alma,

´
Indice de contenidos
´Indice de contenidos v
´Indice de figuras ix
Resumen xiii
Abstract xv
1. Introducci´on 1
1.1. Transporte de neutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Tratamiento de las variables en la ecuaci´on de transporte . . . . 3
1.2. Etapas de c´alculo y algoritmos estudiados . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. C´alculos de celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. C´alculos de nu´cleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Optimizaci´on mediante procesamiento en paralelo . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Objetivos del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Procesamiento en paralelo y modelo de memoria compartida 9
2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Leyes de Amdahl y de Gustafson y overhead . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Arquitecturas y modelos de programaci´on en paralelo . . . . . . . . . . 12
2.3.1. Memoria compartida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2. Memoria distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3. Arquitectura h´ıbrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.4. Comparaci´on de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Modelo de memoria compartida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. Memoria compartida con OpenMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. C´alculos de celda: flujos de respuesta 21
3.1. Tratamiento geom´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1. Trazado de cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2. Paralelizaci´on del trazado de cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . 23
v
vi ´Indice de contenidos
3.2. C´alculo de probabilidades de colisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2. Integraci´on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. C´alculo de flujos de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. C´alculo de probabilidades de colisi´on y flujos de respuesta en paralelo . 29
3.4.1. Paralelizaci´on por grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.2. Paralelizaci´on por nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5. Resultados num´ericos en CONDOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.1. M´etodo de respuesta heterog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.2. M´etodo de probabilidad de colisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4. C´alculos de celda: esquema multigrupo 41
4.1. Esquema iterativo del m´etodo multigrupo . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2. Esquema multigrupo en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1. Paralelizaci´on por grupos de las iteraciones exteriores . . . . . . 44
4.2.2. Paralelizaci´on por grupos de las iteraciones t´ermicas . . . . . . . 47
4.2.3. Paralelizaci´on de las operaciones matriciales . . . . . . . . . . . 51
4.3. Discusi´on del algoritmo paralelo o´ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. C´alculos de celda: quemado 55
5.1. Cadenas de quemado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.1. Resoluci´on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2. C´alculo de ritmos de reacci´on en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3. Resoluci´on de las cadenas de quemado en paralelo . . . . . . . . . . . . 59
5.4. Resultados num´ericos en CONDOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6. M´etodo de difusi´on 63
6.1. Teor´ıa de difusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.1. Ecuaciones multigrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.2. Formulacio´n en diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1.3. Resoluci´on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2. Paralelizaci´on de la ecuaci´on de difusi´on monoenerg´etica . . . . . . . . 69
6.2.1. M´etodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.2. M´etodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3. Implementaci´on en CITATION-CITVAP . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.1. M´etodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.2. M´etodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4. Discusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
´Indice de contenidos vii
7. Modelo de memoria distribuida y modelo h´ıbrido 81
7.1. Modelo de memoria distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2. Modelo h´ıbrido de memoria compartida y distribuida . . . . . . . . . . 82
7.3. Mensajer´ıa y modelo h´ıbrido con MPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4. C´alculo de flujos de respuesta utilizando MPI-OpenMP . . . . . . . . . 85
7.4.1. Resultados num´ericos en CONDOR . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.4.2. Discusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8. An´alisis de los programas optimizados 89
8.1. Desempen˜o y an´alisis del c´odigo CONDOR . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1.1. Resultados para HRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.1.2. Resultados para probabilidades de colisi´on . . . . . . . . . . . . 91
8.1.3. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2. Desempen˜o y an´alisis del c´odigo CITVAP . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2.1. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.2.2. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9. Conclusiones 95
9.1. C´alculos de celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.2. C´alculos de nu´cleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Agradecimientos 101

´
Indice de figuras
2.1. Ley de Amdahl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Arquitecturas de memoria compartida, UMA y NUMA. . . . . . . . . . 13
2.3. Arquitectura de memoria distribuida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Arquitectura de memoria h´ıbrida (compartida-distribuida). . . . . . . . 15
2.5. Jerarqu´ıa de memoria en una arquitectura de tres niveles de cache. . . 17
2.6. False sharing entre dos procesadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7. Modelo de ejecuci´on de OpenMP, fork-join. . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1. Trazado de cuerdas de integraci´on en un sistema arbitrario rotado en un
´angulo α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
p
3.2. Nodo gen´erico para un c´alculo con HRM. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Caminos ´opticos utilizados para el ca´lculo probabilidades de colisi´on con
dependencia angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. Speedup para distintos algoritmos de paralelizaci´on por grupos del c´alcu-
lo de flujos de respuesta en HRM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5. Escalabilidad para el ca´lculo en paralelo por grupos de los flujos de
respuesta en HRM, con paralelismo de tasks . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6. Speedup para la paralelizaci´on por celdas del c´alculo de flujos de res-
puesta en HRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7. Escalabilidad para la paralelizaci´on por celdas sin sincronizaci´on en el
m´etodo de respuesta heterog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.8. Comparaci´on del speedup para la paralelizaci´on por grupos y por celdas
del c´alculo de flujos de respuesta en HRM. . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.9. Speedup para el c´alculo de flujos de respuesta en paralelo por grupos
para el m´etodo de probabilidades de colisi´on. . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.10.Escalabilidad de la paralelizaci´on por grupos con asignaci´on din´amica
de iteraciones en el m´etodo de probabilidades de colisi´on. . . . . . . . . 40
4.1. Nu´mero de iteraciones totales en funci´on del nu´mero de procesadores
para cuatro implementaciones distintas de la paralelizaci´on por grupos
de las iteraciones exteriores en el m´etodo multigrupo. . . . . . . . . . . 48
ix
x ´Indice de figuras
4.2. Speedup obtenido para el m´etodo multigrupo paralelizando las iteracio-
nes exteriores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Iteraciones totales (exteriores y t´ermicas) hasta la convergencia en fun-
ci´on del nu´mero de procesadores para la paralelizaci´on de los dos niveles
de iteraciones t´ermicas del esquema multigrupo de CONDOR. . . . . . 50
4.4. Speedup para la paralelizaci´on de las iteraciones t´ermicas en el m´etodo
multigrupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5. Escalabilidad para la paralelizaci´on de las iteraciones t´ermicas. . . . . . 51
4.6. Speedup obtenido paralelizando los c´alculos de transporte y de fuentes
en el esquema multigrupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7. Speedup para los dos algoritmos finales para el m´etodo multigrupo . . . 54
5.1. Cadenas de quemado t´ıpicas de metales pesados. . . . . . . . . . . . . . 56
5.2. Cadenas de quemado para productos de fisi´on. . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3. Ejemplo de una cadena gen´erica linealizada. . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4. Speedup para la paralelizaci´on del c´alculo de ritmos de reacci´on. . . . . 60
5.5. Resultados para la resoluci´on de las cadenas de quemado en paralelo. . 61
5.6. Resultados para los c´alculos de quemado en paralelo. . . . . . . . . . . 61
6.1. Discretizaci´on de 7 puntos utilizada en el esquema de diferencias finitas
para el m´etodo de difusi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2. Grilla con puntos pares e impares para la paralelizaci´on del m´etodo de
Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3. Grilla coloreada por filas y por planos para la paralelizaci´on del m´etodo
de Gauss-Seidel con relajacio´n de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4. Interfase entre los subdominios de dos procesadores para la paraleliza-
ci´on del m´etodo de Gauss-Seidel por descomposicio´n del dominio por
planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5. Iteraciones exteriores hasta la convergencia con tres paralelizaciones del
m´etodo de Gauss-Seidel para el m´etodo de difusi´on. . . . . . . . . . . . 76
6.6. Speedup en funci´on del nu´mero de procesadores para las tres variantes
del m´etodo de Gauss-Seidel implementadas en xyz. . . . . . . . . . . . 77
6.7. Tiempos de c´alculo obtenidos para los algoritmos paralelos del m´etodo
de Gauss-Seidel en geometr´ıa xyz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.8. Speedup para los m´etodos rojo-negro en geometr´ıa triangular-z. . . . . 77
6.9. Tiempos de c´alculo obtenidos en geometr´ıa triangular-z. . . . . . . . . 78
6.10.Comparaci´on del speedup obtenido con el m´etodo de Jacobi y el de
Gauss-Seidel rojo-negro, ambos paralelizados por filas. . . . . . . . . . 78
6.11.Tiempo de c´alculo para los m´etodos de Jacobi y Gauss-Seidel. . . . . . 79