Optimisation et contrôle stochastique appliqués à la finance (Mathématiques et Applications) (French Edition)

199 Pages·2007·2.54 MB·French

by  Huyên Pham

´
MATHEMATIQUES
&
APPLICATIONS
Directeursdelacollection:
G.AllaireetM.Bena¨ım
61
MATHE´MATIQUES&APPLICATIONS
Comite´ deLecture/EditorialBoard
GRE´GOIREALLAIRE DOMINIQUEPICARD
CMAP,E´colePolytechnique,Palaiseau Proba.etMod.Ale´atoires,Univ.Paris7
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MICHELBENA¨IM ROBERTROUSSARIE
Mathe´matiques,Univ.deNeuchaˆtel Topologie,Univ.deBourgogne,Dijon
[email protected] [email protected]
THIERRYCOLIN CLAUDESAMSON
Mathe´matiques,Univ.deBordeaux1 INRIASophia-Antipolis
[email protected] [email protected]
MARIE-CHRISTINECOSTA BERNARDSARAMITO
CEDRIC,CNAM,Paris Mathe´matiques,Universite´deClermont2
[email protected] [email protected]
GE´RARDDEGREZ ANNICKSARTENAER
Inst.VonKarman,Louvain Mathe´matique,Univ.deNamur
[email protected] [email protected]
JEANDELLA-DORA ZHANSHI
LMC,IMAG,Grenoble Probabilite´s,Univ.Paris6
[email protected] [email protected]
JACQUESDEMONGEOT SYLVAINSORIN
TIMC,IMAG,Grenoble EquipeComb.etOpt.,Univ.Paris6
[email protected] [email protected]
FRE´DE´RICDIAS JEAN-MARIETHOMAS
CMLA,ENSCachan MathsAppl.,Univ.dePau
[email protected] [email protected]
NICOLEELKAROUI ALAINTROUVE´
CMAP,E´colePolytechniquesPalaiseau CMLA,ENSCachan
[email protected] [email protected]
MARCHALLIN JEAN-PHILIPPEVIAL
Stat.&R.O.,Univ.libredeBruxelles HEC,Univ.deGene`ve
[email protected] [email protected]
LAURENTMICLO BERNARDYCART
LATP,Univ.deProvence LMC,IMAG,Grenoble
laurent:[email protected] [email protected]
HUYENPHAM ENRIQUEZUAZUA
Proba.etMod.Ale´atoires,Univ.Paris7 Matema´ticas,Univ.Autono´madeMadrid
[email protected] [email protected]
VALE´RIEPERRIER
LMC,IMAG,Grenoble
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G. ALLAIRE et M. BENA¨IM
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sousformatLATEX2e.
Huyeˆn Pham
Optimisation
et controˆle stochastique
applique´s a` la finance
HuyeˆnPham
Universite´ Paris7
2,PlaceJussieu
75251ParisCedex05
France
e-mail:[email protected]
et
InstitutUniversitairedeFrance
103,boulevardSaint-Michel
75005Paris
France
LibraryCongressControlNumber:2007931193
MathematicsSubjectClassification(2000):93E20,91B28,49L20,49L25,60H30
ISSN1154-483X
ISBN-10 3-540-73736-7 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN-13 978-3-540-73736-0 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
Tousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationre´serve´spourtouspays.
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del’auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefac¸onsanctionne´eparlesarticles425etsuivants
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A Chaˆu, Hugo et Antoine.
Pr´eface
Lesprobl`emesd’optimisationstochastiqueontdenombreusesapplications
dansdesprobl`emesdegestion,d’´economieetdefinance.Cesontdessituations
ou` l’onfaitfacea`dessyst`emesdynamiques´evoluantdansdesconditionsd’in-
certitudeetou`ils’agitdeprendredesd´ecisionsa`chaquedateafind’optimiser
un crit`ere ´economique.
Les approches traditionnelles pour r´esoudre les probl`emes d’optimisation
stochastique sont bas´ees sur le principe de la programmation dynamique
de Bellman et le principe du maximum de Pontryagin. Elles ont conduit a`
de nombreux d´eveloppements math´ematiques. Le principe de la program-
mation dynamique appliqu´e au controˆle de processus de Markov en temps
continu se traduit en termes d’´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires
pour la fonction valeur du probl`eme. Ce type d’´equations appel´e ´equations
d’Hamilton-Jacobi-Bellman a trouv´e un cadre th´eorique ad´equat graˆce au
conceptdessolutionsdeviscosit´e.Leprincipedumaximumappliqu´eaucadre
de processus d’Itˆo a conduit a` l’´etude des ´equations diff´erentielles stochas-
tiques r´etrogrades et engendr´e une litt´erature consid´erable sur le sujet. Plus
r´ecemment et motiv´e par les probl`emes d’optimisation de portefeuille en fi-
nance, une nouvelle approche, dite m´ethode martingale de dualit´e convexe,
s’estd´evelopp´ee.Ellereposesurdesth´eor`emesr´ecentsd’analysestochastique
etsurdesm´ethodesplusclassiquesd’analyseconvexeenoptimisation.Ilexiste
plusieurs ouvrages traitant soit de l’approche math´ematique par programma-
tion dynamique ([FR75], [BL78], [Kry80], [FSo93], [YZ00]) soit des´equations
diff´erentielles stochastiques r´etrogrades [MY00]. Ils privil´egient souvent l’as-
pect th´eorique et sont d’un niveau techniquement avanc´e et parfois difficiles
`alirepourunnonsp´ecialiste dusujet.D’autrepart,bienqu’ilexistedenom-
breuxarticlessurlamaximisationd’utilit´eparapprocheduale,cettem´ethode
est encore peu abord´ee dans les ouvrages d’enseignement et de recherche.
L’objectif de ce livre est de combler cette lacune et de pr´esenter les
diff´erentsaspectsetm´ethodesutilis´esdanslar´esolutiondesprobl`emesd’opti-
misationstochastiqueavecenvuedesapplicationsplussp´ecifiques`alafinance.
Nous avons inclus certains d´eveloppements r´ecents sur le sujet sans chercher
VIII Pr´eface
`a priori la plus grande g´en´eralit´e. Nous avons voulu une exposition graduelle
des m´ethodes math´ematiques en pr´esentant d’abord les id´ees intuitives puis
en ´enonc¸ant pr´ecis´ement les r´esultats avec des d´emonstrations compl`etes et
d´etaill´ees. Nous avons aussi pris soin d’illustrer chacune des m´ethodes de
r´esolution sur de nombreux exemples issus de la finance. Nous esp´erons ainsi
que ce livre puisseˆetre utile aussi bien pour des´etudiants que pour des cher-
cheurs du monde acad´emique ou professionnel int´eress´es par l’optimisation et
le controˆle stochastique appliqu´es `a la finance.
Le plan du livre est le suivant. Nous commenc¸ons par ´enoncer au cha-
pitre 1 quelques pr´erequis en calcul stochastique. Nous avons essentiellement
collect´e les notions et r´esultats dans la vaste litt´erature sur l’analyse stochas-
tiquequisontutilespourl’optimisationstochastique.Lechapitre2formulede
fac¸ong´en´eralelastructured’unprobl`emedecontrˆolestochastiqueetpr´esente
de nombreux exemples d’applications r´eelles en finance. Ces exemples seront
r´esolus dans les chapitres suivants selon les diff´erentes approches abord´ees.
Nous discutons aussi tr`es bri`evement dans ce chapitre d’autres mod`eles de
controˆle apparaissant en finance que ceux ´etudi´es dans ce livre. Le chapitre
3 expose l’approche du controˆle stochastique de processus de diffusion par la
programmationdynamique.Nousavonsd’abordsuiviuned´emarcheclassique
bas´ee sur un th´eor`eme de v´erification associ´e `a l’´equation aux d´eriv´ees par-
tiellesd’Hamilton-Jacobi-Bellman.Lechapitre4reprendleprincipedelapro-
grammation dynamique mais en adoptant une d´emarche plus moderne bas´ee
sur la th´eorie des solutions de viscosit´e. Ce concept permet de r´esoudre des
probl`emes de contrˆole lorsque la fonction valeur n’est pas r´eguli`ere comme
suppos´ee au chapitre pr´ec´edent. Ce cas est illustr´e sur le probl`eme de la
surr´eplication en finance pour des mod`eles `a volatilit´e incertaine. Comme
nous l’avons mentionn´e plus toˆt, le principe du maximum de Pontryagine
a conduit naturellement au concept d’´equations diff´erentielles stochastiques
r´etrogrades. Le chapitre 5 est une introduction a` cette th´eorie en insistant
plus particuli`erement sur ses applications au controˆle stochastique. Dans le
chapitre 6, nous exposons l’approche martingale par dualit´e convexe inspir´ee
originellement par le probl`eme de gestion de portefeuille. Nous y avons in-
clus des d´eveloppements r´ecents et le probl`eme de couverture quadratique.
La caract´eristique de cette approche est de combiner des r´esultats puissants
d’analyse stochastique et des m´ethodes de dualit´e en analyse convexe.
Celivreestbas´esurmesnotesdecoursr´edig´ees pourunenseignementen
troisi`emeann´ee`al’ENSAEdepuis1998,puisauxDEA(maintenantMaster2)
deStatistiqueetMod`elesAl´eatoires`al’universit´eParis7etdeProbabilit´eset
Financea`l’universit´eParis6.Jetiensenparticuliera`remercierLaureEliequi
m’a donn´e l’opportunit´e d’enseigner ce cours `a Paris 7. C’est graˆce aux cours
et expos´es de Nicole El Karoui et Pierre-Louis Lions, lorsque j’´etais ´etudiant
en DEA et en th`ese, que je me suis int´eress´e au controˆle stochastique et leurs
travaux ont un impact ´evident dans la r´edaction de cette monographie.
Paris, Septembre 2005 Huyˆen PHAM
Table des mati`eres
Notations......................................................XIII
1 Quelques ´el´ements d’analyse stochastique.................. 1
1.1 Processus stochastiques .................................. 1
1.1.1 Filtration et processus ............................. 1
1.1.2 Temps d’arrˆet..................................... 3
1.1.3 Mouvement brownien .............................. 5
1.1.4 Martingales, semimartingales ....................... 6
1.2 Int´egrale stochastique et applications ...................... 13
1.2.1 Int´egrale stochastique par rapport a` une
semimartingale continue............................ 13
1.2.2 Processus d’Itoˆ.................................... 18
1.2.3 Formule d’Itoˆ ..................................... 19
1.2.4 Th´eor`emes de repr´esentation de martingales .......... 20
1.2.5 Th´eor`eme de Girsanov ............................. 21
1.3 Equations diff´erentielles stochastiques ...................... 24
1.3.1 Solutions fortes d’EDS ............................. 24
1.3.2 Estimations sur les moments de solutions d’EDS ...... 27
1.3.3 Formule de Feynman-Kac .......................... 28
2 Probl`emes d’optimisation stochastique. Exemples
en finance ................................................. 31
2.1 Introduction ............................................ 31
2.2 Exemples............................................... 32
2.2.1 Allocation de portefeuille........................... 32
2.2.2 Mod`ele de production et consommation .............. 34
2.2.3 Mod`eles d’investissement irr´eversible d’une firme ...... 35
2.2.4 Couverture quadratique d’options ................... 35
2.2.5 Couˆt de surr´eplication en volatilit´e incertaine ......... 36
2.3 Autres mod`eles de contrˆoles en finance ..................... 36
2.3.1 Arrˆet optimal..................................... 36
X Table des mati`eres
2.3.2 Controˆle ergodique ................................ 37
2.3.3 Surr´eplication sous contraintes gamma ............... 38
2.3.4 Optimisation d’utilit´e robuste et mesures du risque .... 38
2.4 Commentaires bibliographiques............................ 39
3 Approche EDP classique de la programmation dynamique . 41
3.1 Introduction ............................................ 41
3.2 Controˆle de processus de diffusion ......................... 41
3.3 Principe de la programmation dynamique .................. 45
3.4 Equation d’Hamilton-Jacobi-Bellman ...................... 47
3.4.1 D´erivation formelle de HJB......................... 47
3.4.2 Remarques-Extensions ............................. 50
3.5 Th´eor`eme de v´erification ................................. 52
3.6 Applications ............................................ 57
3.6.1 Probl`eme de choix de portefeuille de Merton
en horizon fini .................................... 57
3.6.2 Un mod`ele de production et consommation en horizon
infini ............................................ 59
3.7 Exemple de probl`eme de contrˆole stochastique singulier ...... 62
3.8 Commentaires bibliographiques............................ 64
4 Approche des ´equations de Bellman par les solutions
de viscosit´e ................................................ 65
4.1 Introduction ............................................ 65
4.2 D´efinition des solutions de viscosit´e ........................ 66
4.3 Principe de comparaison ................................. 68
4.4 De la programmation dynamique aux solutions de viscosit´e ... 70
4.5 Un mod`ele d’investissement irr´eversible .................... 75
4.5.1 Probl`eme......................................... 75
4.5.2 R´egularit´e et construction de la fonction valeur........ 76
4.5.3 Strat´egie optimale ................................. 82
4.6 Calcul du couˆt de surr´eplication en volatilit´e incertaine....... 83
4.6.1 Volatilit´e born´ee .................................. 84
4.6.2 Volatilit´e non born´ee............................... 86
4.7 Commentaires bibliographiques............................ 92
5 M´ethodes d’´equations diff´erentielles stochastiques
r´etrogrades ................................................ 93
5.1 Introduction ............................................ 93
5.2 Propri´et´es g´en´erales ..................................... 93
5.2.1 R´esultats d’existence et d’unicit´e .................... 93
5.2.2 EDSR lin´eaires.................................... 96
5.2.3 Principe de comparaison ........................... 97
5.3 EDSR, EDP et formules de type Feynman-Kac.............. 98