Optimisation et analyse convexe : Exercices et problèmes corrigés, avec rappels de cours

346 Pages·2009·2.23 MB·French

by  Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques
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EXERCICES CORRIGÉS
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

OPTIMISATION
ET
ANALYSE CONVEXE
Exercices et problèmes corrigés,
avec rappels de cours
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty
Collection dirigée par Daniel Guin
17, avenue du Hoggar
Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France
Illustration de couverture : un corps convexe d’épaisseur presque constante et son
ombre; reproduit avec la gracieuse permission de Christof Weber (université de
Zurich).
Imprimé en France
ISBN:978-2-7598-0373-6
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(cid:2)c 2009, EDP Sciences,17,avenue duHoggar,BP112,Parcd’activités deCourtabœuf,
91944LesUlisCedexA
TABLE DES MATIÈRES
Introduction v
Abréviations et notations ix
I Révision de bases : calcul différentiel, algèbre linéaire
et bilinéaire 1
I.1 Algèbre linéaire et bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité 41
II.1 Conditions de minimalité du premier ordre . . . . . . . . . . . 41
II.2 Conditions de minimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . 42
III Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité 63
III.1 Conditions de minimalité du premier ordre . . . . . . . . . . . 63
III.2 Cône tangent, cône normal à un ensemble . . . . . . . . . . . . 65
III.3 Prise en compte de la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
III.4 Conditions de minimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . 66
IV Mini-maximisation. Dualisation de problèmes
de minimisation convexe 127
IV.1 Points-selles (ou cols); problèmes de mini-maximisation . . . . 127
IV.2 Points-selles de lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
IV.3 Premiers pas dans la théorie de la dualité . . . . . . . . . . . . 129
Optimisation et analyse convexe
V Polyèdres convexes fermés. Optimisation à données affines
(Programmation linéaire) 165
V.1 Polyèdres convexes fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
V.2 Optimisation à données affines (Programmation linéaire) . . . 168
V.2.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
V.2.2 Résultats fondamentaux d’existence . . . . . . . . . . 170
V.3 La dualité en programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . 171
V.3.1 Formulations de problèmes duaux. . . . . . . . . . . . 171
V.3.2 Relations entre les valeurs optimales et les solutions
de programmes linéaires en dualité . . . . . . . . . . . 172
V.3.3 Caractérisation simultanée des solutions du problème
primal et du problème dual . . . . . . . . . . . . . . . 173
VI Ensembles et fonctions convexes. Projection sur un convexe
fermé 217
VI.1 Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
VI.1.1 Ensembles convexes associés à un convexe donné . . . 217
VI.1.2 Enveloppe convexe, enveloppe convexe fermée . . . . . 218
VI.1.3 Hyperplan d’appui, fonction d’appui . . . . . . . . . . 219
VI.1.4 Théorèmes de séparation par un hyperplan affine . . . 219
VI.2 Projection sur un convexe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
VI.3 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
VII Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées
de Legendre-Fenchel 271
VII.1 La transformation de Legendre-Fenchel . . . . . . . . . . . . . 271
VII.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
VII.1.2 Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 272
VII.2 Le sous-différentiel d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 273
VII.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
VII.2.2 Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 274
VII.3 La convexification d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Sources 323
Références générales 325
Notice historique 327
Index 331
iv
INTRODUCTION
«Good modern science implies good variational problems »
M.S. Berger (1983)
Le recueil d’exercices et problèmes corrigés que nous proposons ici concerne
les domaines des Mathématiques répertoriées sous les vocables d’Optimisation
et Analyse convexe. L’Optimisation est traitée dans ses aspects suivants : la clé
de voûte que constituent les conditions d’optimalité (chapitres II et III); le rôle
(incontournable) de la dualisation de problèmes (chapitre IV); le monde particu-
lier (et toujours en haut de l’affiche depuis ses débuts) de l’Optimisation linéaire
(chapitre V).L’Analyseconvexe(moderne) n’estpastraitéeentantquetellemais
par l’utilisation qu’on peut en avoir en Optimisation; il s’agit en fait d’une initia-
tion à la manipulation de concepts et de résultats concernant essentiellement : la
projection sur un convexe fermé (au chapitre VI), le calcul sous-différentiel et de
transformées de Legendre-Fenchel (chapitre VII). L’Analyse linéaire et bilinéaire
(ou, plutôt, l’Analyse matricielle) ainsi que le Calcul différentiel interviennent de
manière harmonieuse en Optimisation et Analyse convexe : un chapitre de revi-
sion des bases leur est consacré (chapitre I). Près de 160 exercices et problèmes
sont corrigés, parfois commentés et situés dans un contexte d’utilisation ou de
développement historique, gradués dans leur difficulté par un, deux ou trois ∗ :
∗ Exercices plutôt faciles (applications immédiates d’un résultat du Cours,
vérification d’un savoir-faire de base, etc.);
∗∗ Exercices que le lecteur-étudiant doit pouvoir aborder après une bonne
compréhension et assimilation du Cours. De difficulté moyenne, ce sont de loin
les plus nombreux;
∗∗∗ Exercices plus difficiles, soit à cause de certains calculs à mener à bien,
soit simplement en raison d’un degré de maturité plus grand que leur résolution
requiert.
Comme tous les exercices de mathématiques, ceux présentés ici ne seront pro-
fitables au lecteur-étudiant que si celui-ci les travaille, un crayon à la main, sans
Optimisation et analyse convexe
regarder la correction dans un premier temps. Qu’il garde à l’esprit ce proverbe
chinois :
« J’entends et j’oublie, (cours oral)
je vois et je retiens, (étude du cours)
je fais et je comprends » . (exercices)
Le cadre de travail choisi est volontairement simple (celui des espaces de di-
mension finie), et nous avons voulu insister sur les idées et mécanismes de base
davantage quesurles généralisations possibles oules techniques particulières àtel
ou tel contexte. Les problèmes dits variationnels requièrent dans leur traitement
une intervention plus grande de la Topologie et de l’Analyse fonctionnelle, à com-
mencer par le cadre – fondamental – des espaces de Hilbert; ils seront abordés
dans un prochain recueil.
Les connaissances mathématiques pour tirer profit des exercices et problèmes
du recueil présent sont maintenues minimales, celles normalement acquises après
une formation scientifique à Bac+2 ou Bac+3 (suivant les cas).
Chaque chapitre débute par des rappels de résultats essentiels, ce qui ne doit
pas empêcher le lecteur-étudiant d’aller consulter les références indiquées à la
fin du livre. L’approche retenue est celle d’une progression en spirale plutôt que
linéaire au sens strict : ainsi, par exemple, la fonction A ∈ M (R) (cid:4)−→ ln(détA)
n
est d’abord considérée pour un calcul de différentielles, puis pour sa convexité,
puis plus tard en raison de son rôle comme fonction-barrière dans des problèmes
d’optimisation matricielle.
Pour ce qui est de l’enseignement, les aspects de l’Optimisation et Analyse
convexe traités en exercices ici trouvent leur place dans les formations de niveau
deuxième cycle universitaire (modules généralistes ou professionnalisés) et dans
la formation mathématique des ingénieurs, sur une durée d’un semestre environ;
la connaissance de ces aspects est un préalable à des formations plus en aval, en
optimisation numérique par exemple.
La plupart des exercices et problèmes proposés, sinon tous, ont été posés en
séances d’exercices ou examens à l’Université Paul Sabatier de Toulouse.
Je voudrais remercier les anciens étudiants ou jeunes collègues qui ont bien
voulu relire une première version de ce document et y relever une multitude de
petitesfautes(ilenrestesûrement...), parmieux:D.Mallard,M.Torki,Y.Lucet,
C. Imbert et J. Benoist. Enfin je ne voudrais pas oublier A. Andrei pour la part
primordiale qui a été la sienne dans la saisie informatique de l’ouvrage.
Toulouse, 1989–1997
J.-B. Hiriart-Urruty
vi
Introduction
Depuissapublicationilyadixans(enmars1998),cetouvrageasubilesvicis-
situdes d’un document de formation destiné à un public (d’étudiants en sciences)
en nette diminution. Il a été traduit en russe par des collègues de Kiev (Ukraine)
en 2004, mais la version française originelle n’est plus disponible depuis 2006.
Ainsi, pour répondre à une demande de collègues et étudiants, un nouveau tirage
a été envisagé. Je remercie les éditions EDP Sciences, notamment mon collègue
D. Guin (directeur de la collection Enseignement Sup – Mathématiques), d’avoir
accueilli ce projet. Aude Rondepierre a donné un coup de main pour reprendre
les fichiers informatiques anciens; qu’elle soit remerciée de sa bonne volonté et
efficacité.
Toulouse, printemps 2009
J.-B. Hiriart-Urruty
vii