Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen.. Theorie, Verfahren und Anwendungen

321 Pages·2009·2.65 MB·German

by  Fredi Tröltzsch

Fredi Tröltzsch
Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen
Fredi Tröltzsch
Optimale Steuerung
partieller
Differentialgleichungen
Theorie, Verfahren und Anwendungen
2., überarbeitete Auflage
STUDIUM
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Prof. Dr. Fredi Tröltzsch
Technische Universität Berlin
Institut für Mathematik
Straße des 17. Juni 136
10623 Berlin
E-Mail: [email protected]
1. Auflage 2005
2., überarbeitete Auflage 2009
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Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Nastassja Vanselow
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Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0885-1
v
Vorwort
DiemathematischeOptimierungvonVorg¨angen,diedurchpartielleDifferentialgleichun-
gen modelliert werden, hat in den letzten Jahren einen beachtlichen Aufschwung ge-
nommen.DieVerfu¨gbarkeitimmerbessererComputererm¨oglichteneueinteressanteAn-
wendungen dieses Gebietes in der Praxis, etwa in Str¨omungsmechanik, Mikroelektronik,
Kristallzu¨chtung, Gef¨aßchirurgie oder Herzmedizin, um nur einige Beispiele zu nennen.
ImZusammenhang damitistdasInteresse vonNumerikernundOptimierernanderVer-
wendung ihrer Methodenin der Optimalsteuerung von partiellen Differentialgleichungen
deutlich gestiegen und es gibt mehr Nachfrage von Studenten und Doktoranden der Ma-
thematik nach einer Einfu¨hrung in Grundideen der zugeh¨origen Theorie.
Heute existiert eine Reihe von Monographien zu verschiedenen Aspekten der optimalen
Steuerung von partiellen Differentialgleichungen, insbesondere das bekannte Standard-
werk von J.L. Lions [144], dem fu¨r Aufgaben mit linearen Gleichungen und konvexen
Zielfunktionalenkaumetwashinzuzufu¨genist.DasInteresse amSkriptmeiner Vorlesun-
gen zur optimalen Steuerung an den technischen Universit¨aten in Chemnitz und Berlin
zeigte jedoch den Bedarf an einer Einfu¨hrung in die Thematik in deutscher Sprache, die
auch Aspekte der nichtlinearen Optimierung im Funktionenraum beru¨cksichtigt.
Das vorliegende Buch soll diesem Anliegen entsprechen und den Leser bef¨ahigen, grund-
legende Probleme bzw. Begriffe wie die Existenz von L¨osungen g¨angiger linearer und
semilinearer partieller Differentialgleichungen, Existenz optimaler Steuerungen, notwen-
dige Optimalit¨atsbedingungen und adjungierte Gleichung, hinreichende Optimalit¨atsbe-
dingungen zweiter Ordnung sowie die Konzeption einfacher numerischer Verfahren zu
verstehen. Dabei sind generell Schranken an die Steuerfunktionen zugelassen und teil-
weiseauchRestriktionenandenZustanddesbetrachtetenSystemsvorgegeben.Dassind
die Schwerpunkte des Buchs. Weitere wichtige Fragestellungen wie Steuerbarkeit, Rege-
lung und Riccati-Gleichungen, Diskretisierung und Fehlerabsch¨atzungen oder Hamilton-
Bellman-Jacobi-Theorie h¨atten den beabsichtigten Rahmen u¨berschritten.
Der erste Teil behandelt konvexe Aufgaben mit quadratischem Zielfunktional und linea-
ren elliptischen bzw. parabolischen Gleichungen und damit Resultate, die lange bekannt
sind und umfassender in [144] dargestellt wurden. Zur U¨berleitung auf Probleme mit
semilinearen Gleichungen sind aber diese Aufgaben am besten geeignet. Es werden auch
einigeBegriffederFunktionalanalysis sowiederTheorielinearerelliptischerundparabo-
lischer partieller Differentialgleichungen zusammengestellt, um Lesern das Verst¨andnis
zuerleichtern,diekaumVorkenntnisseauf diesenGebietenhaben.DenSchwerpunkt der
Darstellung bilden nichtkonvexe Aufgaben mit semilinearen Gleichungen. Sie erfordern
Methoden aus Analysis, Optimierung und Numerik, die bisher vorrangig in Originalar-
beiten zu finden sind. Dazu geh¨oren insbesondere grundlegende Resultate von E. Casas
sowie von J.-P. Raymond u¨ber die Beschr¨anktheit und Stetigkeit von L¨osungen semili-
nearer partieller Differentialgleichungen.
Das Buchkonzentriert sich imWesentlichen auf dieAnalysisder Probleme, obwohl auch
numerische Verfahren angesprochen werden. Numerische Methoden k¨onnten sicher ein
weiteresBuchfu¨llen.DieDarstellungbeschr¨anktsichaufkurzeEinfu¨hrungeninentspre-
chendeGrundideen,umdemLesereineVorstellungdavonzugeben,wiemandieTheorie
vom Grundsatz her numerisch umsetzen kann. Großer Wert wird auf das Herausarbei-
ten versteckter mathematischer Schwierigkeiten gelegt, die man erfahrungsgem¨aß leicht
u¨bersieht.
vi
DergesamteStoffistfu¨reinenvierstu¨ndigeneinsemestrigenKurszuumfangreich,sodass
man Teile ausw¨ahlen muss. Eine zu empfehlende Variante besteht im Durcharbeiten der
gesamten elliptischen Theorie (linear-quadratisch und nichtlinear) bei Verzicht auf den
parabolischen Teil. Eine solche Vorlesung k¨onnte sich auf die Abschnitte 1.2–1.4, 2.3–
2.10 und 2.12 zur linear-quadratischen sowie 4.1–4.6, 4.8–4.10 zur nichtlinearen Theorie
konzentrieren.DieKapitelzuelliptischenProblemenben¨otigenkeineResultateausdenen
zu parabolischen Aufgaben.
Alternativ kann man sich auf linear-quadratische elliptische und parabolische Aufgaben
beschr¨anken und die Abschnitte 3.3–3.7 zur linear-quadratischen parabolischen Theo-
rie hinzufu¨gen. Bei hinreichenden Vorkenntnissen zu Funktionalanalysis und partiellen
Differentialgleichungenistabereingr¨oßererUmfangzuschaffen.MiteinemSterngekenn-
zeichneteAbschnittesindfu¨rdasVerst¨andnisdernachfolgendenKapitelnichtunbedingt
erforderlich. Sie k¨onnen daher bei Bedarf ausgelassen werden. Der Leser findet eine Rei-
he von Formeln eingerahmt. Das betrifft besonders wichtige Aussagen sowie die fu¨r den
jeweiligen Abschnitt maßgebende partielle Differentialgleichung.
Die Arbeit am Buch fand das Interesse und die Unterstu¨tzung vieler Fachkollegen. Dazu
geh¨oren die Herren M. Hinze, P. Maaß sowie L. v. Wolfersdorf, die verschiedene Kapitel
durchgesehen und zum Teil mit ihren Studenten bzw. Doktoranden behandelt haben.
Herr W. Alt hat mir mit Hinweisen zur typographischen Gestaltung geholfen und den
ersten Anstoß zum Buch gab Herr T. Grund mit einer in LATEX geschriebenen Vor-
lesungsmitschrift. Meine Berliner Kollegen C. Meyer, I. Neitzel, U. Pru¨fert, T. Slawig,
D.Wachsmuth undI.Yousept habenschließlich dieEndversionKorrekturgelesen.Allen
Genannten bin ich fu¨r ihre Hilfe sehr dankbar. Außerdem danke ich Frau U. Schmickler-
Hirzebruch und Frau P. Rußkamp vom Vieweg-Verlag fu¨r die sehr angenehme Zusam-
menarbeit bei der Vorbereitung und Umsetzung des Buchprojekts.
Berlin, April 2005
Vorwort zur zweiten Auflage. Neben der Korrektur von Schreibfehlern und Unsau-
berkeitenhabeicheinigePassagenu¨berarbeitetunderg¨anzt.DieAbschnittezumGradi-
entenverfahrensindgeku¨rzt,umderprimal-dualenAktive-Mengen-StrategiemehrRaum
zugeben.DerenDarstellungfu¨hrtjetztbisaufdiezul¨osendenlinearenGleichungssyste-
me.AufWunschmehrererLeserwerdendieverwendetenGreenschenFunktionenmitder
Fouriermethode hergeleitet. Manche Quellen sind detaillierter angegeben und einige ak-
tuelleReferenzenzurnumerischenAnalysiszustandsbeschr¨ankterAufgabenhinzugefu¨gt.
In der Transliteration russischer Namen bevorzuge ich hier die englische Version.
Allen Lesern, die mich mit Hinweisen zu Fehlern und Verbesserungsvorschl¨agen un-
terstu¨tzt haben, danke ich herzlich, insbesondere Roland Griesse, Markus Mu¨ller, Hans
JosefPesch,UwePru¨fert,ArndR¨oschundLotharv.Wolfersdorf.BeiderAktualisierung
der Resultate zu partiellen Differentialgleichungen haben mich Eduardo Casas und Jens
Griepentrogunterstu¨tzt,denenichfu¨r ihreHilfesehr dankbar bin. Besonderer Dankgilt
Ju¨rgenSprekelsfu¨rdiesorgf¨altigeU¨bersetzungdesBuchsinsEnglische.Seinezahlreichen
Anregungen sind auch in die zweite deutsche Auflage eingeflossen.
Berlin, April 2009.
Inhaltsverzeichnis
1 Einfu¨hrung und Beispiele 1
1.1 Was ist optimale Steuerung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Beispiele konvexer Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Optimale station¨are Aufheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Optimale instation¨are Randtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Optimales Schwingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Beispiele nichtkonvexer Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Aufgaben mit semilinearer elliptischer Gleichung . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Probleme mit semilinearer parabolischer Gleichung . . . . . . . . . 7
1.4 Grundkonzepte im endlichdimensionalen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Endlichdimensionale Aufgabe der optimalen Steuerung . . . . . . . 8
1.4.2 Existenz optimaler Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3 Notwendige Optimalit¨atsbedingungen erster Ordnung . . . . . . . 10
1.4.4 Adjungierter Zustand und reduzierter Gradient . . . . . . . . . . . 11
1.4.5 Lagrangefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.6 Diskussion der Variationsungleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.7 Formulierung als Karush-Kuhn-Tucker-System . . . . . . . . . . . 14
2 Linear-quadratische elliptische Probleme 17
2.1 Lineare normierte R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Sobolewr¨aume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Lp-R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Regul¨are Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Schwache Ableitungen und Sobolewr¨aume . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Schwache L¨osungen elliptischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Randbedingung dritter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 Differentialoperator in Divergenzform . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Lineare stetige Operatoren und Funktionale . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2 Schwache Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Existenz optimaler Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.1 Optimale station¨are Temperaturquelle . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.2 Optimale station¨are Randtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.3 Allgemeinere elliptische Gleichungen und Zielfunktionale *. . . . . 43
2.6 Differenzierbarkeit in Banachr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Adjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Notwendige Optimalit¨atsbedingungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . 49
2.8.1 Quadratische Optimierungsaufgabe im Hilbertraum . . . . . . . . 50
2.8.2 Optimale station¨are Temperaturquelle . . . . . . . . . . . . . . . . 51
viii Inhaltsverzeichnis
2.8.3 Station¨are Temperaturquelle und Randbedingung dritter Art . . . 59
2.8.4 Optimale station¨are Randtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.8.5 Ein lineares Optimalsteuerungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9 Konstruktion von Testaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9.1 Bang-Bang-Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.9.2 Verteilte Steuerung und Neumann-Randbedingung . . . . . . . . . 65
2.10 Das formale Lagrangeprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.11 Weitere Beispiele * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.11.1 Differentialoperator in Divergenzform . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.11.2 Optimale station¨are Temperaturquelle mit vorgegebener Außen-
temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.12 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.12.1 Bedingtes Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.12.2 Gradienten-Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.12.3 U¨berfu¨hrung in ein endlichdimensionales quadratisches
Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.12.4 Primal-duale Aktive-Mengen-Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.13 Adjungierter Zustand als Lagrangescher Multiplikator * . . . . . . . . . . 85
2.13.1 Elliptische Gleichungen mit Daten aus V∗ . . . . . . . . . . . . . . 85
2.13.2 Anwendung beim Beweis von Optimalit¨atsbedingungen . . . . . . 86
2.13.3 Adjungierter Zustand als Multiplikator. . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.14 H¨ohere Regularit¨at fu¨r elliptische Aufgaben * . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.14.1 Grenzen des Zustandsraums H1(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.14.2 Sobolew-Slobodetskii-R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.14.3 H¨ohere Regularit¨at von L¨osungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.15 Regularit¨at optimaler Steuerungen * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.16 U¨bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Linear-quadratische parabolische Probleme 95
3.1 Einfu¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Die Fouriermethode im ¨ortlich eindimensionalen Fall . . . . . . . . . . . . 99
3.2.1 Eindimensionale Modellprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.2 Integraldarstellung von L¨osungen – Greensche Funktion . . . . . . 100
3.2.3 Notwendige Optimalit¨atsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.4 Bang-Bang-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3 Schwache L¨osungen in W1,0(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2
3.4 Schwache L¨osungen in W(0,T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.1 Abstrakte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.2 Abstrakte Funktionen und parabolische Gleichungen . . . . . . . . 116
3.4.3 Vektorwertige Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4.4 Zugeh¨origkeit schwacher L¨osungen aus W1,0(Q) zu W(0,T) . . . . 119
2
3.5 Parabolische Optimalsteuerungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.1 Optimale instation¨are Randtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.2 Optimale instation¨are Temperaturquelle . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.6 Notwendige Optimalit¨atsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.6.1 Hilfssatz fu¨r adjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6.2 Optimale instation¨are Randtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.6.3 Optimale instation¨are Temperaturquelle . . . . . . . . . . . . . . . 130
Inhaltsverzeichnis ix
3.6.4 Differentialoperator in Divergenzform * . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.7 Numerische L¨osungstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.7.1 Gradienten-Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.7.2 Aufstellen des reduzierten Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.8 Herleitung der verwendeten Fourierentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . 138
3.9 Parabolische Gleichungen in L2(0,T;V∗) * . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.10 U¨bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4 Steuerung semilinearer elliptischer Gleichungen 145
4.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Semilineare elliptische Modellgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.1 Motivation des weiteren Vorgehens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.2 L¨osungen in H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.3 Stetige L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2.4 Abschw¨achung der Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3 Nemytskii-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.3.1 Stetigkeit von Nemytskii-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.3.2 Differenzierbarkeit von Nemytskii-Operatoren . . . . . . . . . . . . 158
4.3.3 Ableitungen in weiteren Lp-R¨aumen * . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.4 Existenz optimaler Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4.1 Grundvoraussetzungen des Kapitels . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4.2 Verteilte Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.5 Der Steuerungs-Zustands-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.5.1 Verteilte Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.5.2 Randsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.6 Notwendige Optimalit¨atsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.6.1 Verteilte Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.6.2 Randsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.7 Anwendung des formalen Lagrangeprinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.8 Pontrjaginsches Maximumprinzip * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.8.1 Hamiltonfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.8.2 Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.9 Ableitungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.10 Optimalit¨atsbedingungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.10.1 Grundideen hinreichender Optimalit¨atsbedingungen . . . . . . . . 184
4.10.2 Die Zwei-Norm-Diskrepanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.10.3 Verteilte Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.10.4 Randsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.10.5 Beru¨cksichtigung stark aktiver Restriktionen * . . . . . . . . . . . 199
4.10.6 F¨alle ohne Zwei-Norm-Diskrepanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.10.7 Lokale Optimalit¨at in Lr(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.11 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.11.1 Gradienten-Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.11.2 Grundidee des SQP-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.11.3 Das SQP-Verfahren fu¨r elliptische Probleme . . . . . . . . . . . . . 207
4.12 U¨bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
x Inhaltsverzeichnis
5 Steuerung semilinearer parabolischer Gleichungen 211
5.1 Die semilineare parabolische Modellgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.2 Grundvoraussetzungen des Kapitels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.3 Existenz optimaler Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.4 Steuerungs-Zustands-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.5 Notwendige Optimalit¨atsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.5.1 Verteilte Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5.2 Randsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.6 Pontrjaginsches Maximumprinzip * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.7 Optimalit¨atsbedingungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.7.1 Ableitungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.7.2 Verteilte Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.7.3 Randsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.7.4 Ein Fall ohne Zwei-Norm-Diskrepanz . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.8 Testaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.8.1 Testaufgabe mit Steuerungsrestriktionen . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.8.2 Aufgabe mit integraler Zustandsrestriktion * . . . . . . . . . . . . 238
5.9 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.9.1 Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.9.2 Das SQP-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.10 Weitere parabolische Probleme * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.10.1 Phasenfeldmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.10.2 Instation¨are Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.11 U¨bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6 Optimierungsaufgaben im Banachraum 254
6.1 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.1.1 Konvexe Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.1.2 Differenzierbare Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.1.3 Eine semilineare elliptische Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.2 Steuerprobleme mit Zustandsbeschr¨ankungen . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.2.1 Konvexe Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.2.2 Eine nichtkonvexe Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.3 U¨bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7 Erg¨anzungen zu partiellen Differentialgleichungen 277
7.1 Einbettungss¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.2 Elliptische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.2.1 Elliptische Regularit¨at und Stetigkeit von L¨osungen . . . . . . . . 278
7.2.2 Methode von Stampacchia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.2.3 Elliptische Gleichungen mit Maßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.3 Parabolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.3.1 L¨osungen in W(0,T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.3.2 Stetige L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Index 298
Literaturverzeichnis 301