Opgedragen aan mijn ouders, Eddy Wyns & Anita Leys

184 Pages·2017·31.78 MB·English

Opgedragen aan mijn ouders, Eddy Wyns & Anita Leys

Convergence Analysis and Application
of ADI Schemes for Partial Differential
Equations from Financial Mathematics
Proefschrift voorgelegd op 26 juni 2017 tot het behalen van de graad
van Doctor in de Wetenschappen – Wiskunde,
bij de faculteit Wetenschappen aan de Universiteit Antwerpen.
Promotor:
Prof. dr. Karel in ’t Hout
Maarten Wyns
Doctoral committee
Chairman:
Prof. dr. Wim Vanroose (University of Antwerp)
Supervisor:
Prof. dr. Karel in ’t Hout (University of Antwerp)
Other members:
Prof. dr. Ann De Schepper (University of Antwerp)
Prof. dr. ir. Florence Guillaume (University of Antwerp)
Prof. dr. Willem Hundsdorfer (CWI Amsterdam)
Prof. dr. ir. Cornelis W. Oosterlee (CWI Amsterdam)
Prof. dr. Mich`ele Vanmaele (Ghent University)
Original title: Convergence Analysis and Application of ADI Schemes for
Partial Differential Equations from Financial Mathematics
Nederlandse titel: Convergentie-Analyse en Toepassing van ADI Schema’s
voor Parti¨ele Differentiaalvergelijkingen uit de Financi¨ele Wiskunde
Keywords: ADI schemes, Douglas scheme, Modified Craig–Sneyd scheme,
Craig–Sneyd scheme, Hundsdorfer–Verwer scheme, convection-diffusion equa-
tion, mixed spatial derivative, convergence, non-smooth initial data, Dirac
delta, backward Kolmogorov equation, forward Kolmogorov equation, finite
difference methods, finite volume methods, adjoint spatial discretization.
Published and distributed by Maarten Wyns. The research presented in this
thesiswassupportedbytheUniversityResearchFund(BOF)oftheUniversity
of Antwerp and by a PhD fellowship of the Research Foundation–Flanders.
Contact information
(cid:66) Applied Mathematics, Dept. Mathematics & Computer Science
University of Antwerp (CMI), Building G3.07
Middelheimlaan 1, B–2020 Antwerp, Belgium
(cid:84) [phone]
(cid:107) [email protected]
(cid:109) https://www.linkedin.com/in/maarten-wyns-525b3352
Copyright c2017 by Maarten Wyns.
(cid:13)
All rights reserved. No part of the material protected by this copyright notice
may be reproduced or utilized in any form or by any means, electronic or
mechanical, including photocopying, recording, broadcasting or by any other
information storage and retrieval system without written permission from the
copyright owner.
Samenvatting
Convergentie-Analyse en Toepassing van ADI Schema’s voor
Parti¨ele Differentiaalvergelijkingen uit de Financi¨ele Wiskunde
In de huidige internationale financi¨ele markten zijn opties producten die
vaak verhandeld worden. Gevorderde wiskundige modellen worden gebruikt
voor het bepalen van de eerlijke waarde van deze contracten, evenals hun af-
hankelijkheidvanonderliggendevariabelenenparameters. Ditleidttotmeerdi-
mensionaletijdsafhankelijkeparti¨eledifferentiaalvergelijkingen(PDVen). Voor
de meerderheid van deze PDVen is er geen analytische oplossing beschikbaar
en dient men gebruik te maken van numerieke methoden om hun exacte op-
lossing te benaderen. De methode-der-lijnen is een welgekende en veelzijdige
aanpak voor het bepalen van een numerieke oplossing. Hierbij discretiseert
men eerst de plaatsvariabelen, met bvb. eindige differentiemethoden, hetgeen
leidt tot een groot stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen (GDVen). In
eentweedestapwordtditzogenaamdesemidiscreet-systeemnumeriekopgelost
aan de hand van een geschikte impliciete tijdstapmethode. Indien de PDV
meerdimensionaal is, dan kan deze tweede stap erg rekenintensief zijn bij het
gebruik van klassieke impliciete tijdstapmethodes.
In dit proefschrift beschouwen we de convergentie en de toepassing van
vier alternerende richting (Engels: direction) impliciete (ADI) schema’s voor
de numerieke oplossing van semidiscrete tweedimensionale convectie-diffusie-
vergelijkingen. Meer bepaald onderzoeken we het Douglas (Do) schema, het
Craig–Sneyd (CS) schema, het aangepaste (Engels: Modified) Craig–Sneyd
(MCS) schema en het Hundsdorfer–Verwer (HV) schema. ADI schema’s ma-
kengebruikvaneenopsplitsingvanhetsemidiscreet-systeemindeverschillende
plaatsrichtingen. Dit kan zorgen voor een aanzienlijk computationeel voordeel
in iedere tijdstap aangezien het makkelijker is om de suboperatoren achtereen-
volgens impliciet te behandelen, in plaats van de gehele operator in ´e´en keer.
De vier ADI schema’s zijn aangepast aan PDVen met gemengde afgeleiden en
worden vaak gebruikt in de financi¨ele wiskunde. In dit gebied zijn gemengde
plaatsafgeleiden alomtegenwoordig vanwege correlatie tussen de onderliggende
stochastische processen.
Inheteersteinleidendehoofdstukwordendeniet-uniformeCartesischeroos-
ters en de tweede-orde eindige differentieformules voorgesteld die doorheen de
thesisgebruiktwordenvoordeplaatsdiscretisatievantijdsafhankelijkePDVen.
i
ii Samenvatting
InhettweedeinleidendehoofdstukwordendevierADIschema’sge¨ıntroduceerd
en wordt er een overzicht gegeven van de bestaande stabiliteits- en convergen-
tieresultaten. Voor het Do schema leidt dit reeds tot een algemeen eerste-orde
convergentieresultaat.
Het beschouwen van een verstoorde versie van het (M)CS schema, respec-
tievelijk het HV schema, leidt tot een recursie voor de totale discretisatiefout
van de verschillende schema’s. Door de lokale discretisatiefout spitsvondig op
te splitsen, en een lemma van Hundsdorfer toe te passen, bekomen we een
tweede-orde convergentieresultaat voor het (M)CS schema en het HV schema
onder enkele natuurlijke stabiliteits- en gladheidsaannames.
Bij niet-gladde beginfuncties kan toepassing van de ADI schema’s leiden
tot foutieve oscillaties in de numerieke oplossing. We geven een voorbeeld dat
hetpositieveeffectvanRannachertijdstappenillustreert, ditbetekenthetver-
vangen van de eerste N ADI stappen door 2N halve tijdstappen met het
0 0
achterwaartse Euler schema. Voor het uitvoeren van een theoretische analyse
wordt een tweedimensionale convectie-diffusievergelijking beschouwd die voor-
zien is van Dirac-delta begindata. We passen een Fouriertransformatie toe om
aan te tonen dat, als de tijdsdiscretisatie gebeurt met het (M)CS schema, dan
N = 2 een ondergrens is voor N om te verzekeren dat de numerieke oplos-
0 0
singconvergeertnaardeexacteoplossing. Uitgebreidenumeriekeexperimenten
suggereren gelijkaardige resultaten voor het Do schema en het HV schema.
Onze convergentieresultaten verantwoorden het gebruik van de ADI sche-
ma’s in praktische toepassingen. In de laatste hoofdstukken introduceren we
twee methoden voor het kalibreren van stochastische lokale volatiliteitsmo-
dellen (SLV) aan hun onderliggende lokale volatiliteitsmodel (LV). De ADI
schema’s zijn hierbij belangrijk voor de effici¨entie van de kalibratiemetho-
den. De eerste kalibratiemethode is ge¨ınspireerd door een verband tussen de
voorwaartse en achterwaartse Kolmogorov-vergelijking. De plaatsdiscretisatie
van de achterwaartse Kolmogorov-vergelijking wordt gebruikt voor het invoe-
ren van een toegevoegde plaatsdiscretisatie van de voorwaartse Kolmogorov-
vergelijking. Onderenkelevoorwaardenkandezetoegevoegdeplaatsdiscretisa-
tiegebruiktwordenomhetsemidiscreteSLVmodelexacttekalibrerenaanhet
semidiscrete LV model. Om deze kalibratie uit te voeren dient er nog een stel-
sel niet-lineaire GDVen opgelost te worden. We maken gebruik van het MCS
schema voor de tijdsdiscretisatie en behandelen de niet-lineariteit door middel
van een iteratieprocedure. De tweede kalibratieprocedure is gebaseerd op een
nieuwe eindige volume (EV) methode voor de plaatsdiscretisatie van algemene
´e´endimensionale en tweedimensionale voorwaartse Kolmogorov-vergelijkingen.
De EV methode is massabehoudend en kan op een natuurlijke manier omgaan
met de randvoorwaarden. Bovendien is er voor de nieuwe EV methode geen
transformatie van de voorwaartse Kolmogorov vergelijking nodig. Dit vormt
een belangrijk voordeel in vergelijking met bestaande EV methoden. Het ge-
bruik van de EV methode voor de kalibratie van SLV modellen leidt tot een
groot stelsel van niet-lineaire GDVen. Discretisatie in de tijd gebeurt aan
de hand van het HV schema en de niet-lineariteit wordt opnieuw behandeld
meteeniteratieprocedure. Uitgebreidenumeriekeexperimententonenaandat
beide kalibratieprocedures leiden tot een snelle, stabiele, en accurate kalibratie
van SLV modellen aan hun onderliggende LV model.
Summary
Convergence Analysis and Application of ADI Schemes for Partial
Differential Equations from Financial Mathematics
In the contemporary international financial markets option products are
widely traded. Advanced mathematical models are employed for determining
the fair values of these contracts as well as their sensitivities to underlying
variablesandparameters. Thisleadstomultidimensionaltime-dependentpar-
tial differential equations (PDEs). For the majority of these PDEs there is
no analytical solution available and one resorts to numerical methods for their
approximate solution. A well-known and versatile approach to the numerical
solution is given by the method-of-lines. The PDE is then first discretized in
thespatialvariables,e.g.byfinitedifferences,leadingtoalargesystemofordi-
narydifferentialequations(ODEs). Inasecondstepthisso-calledsemidiscrete
systemisnumericallysolvedbyapplyingasuitableimplicittimediscretization
method. If the PDE is multidimensional, then the latter task can be compu-
tationally intensive when classical implicit time stepping methods are used.
In this thesis we consider the convergence and application of four alternat-
ing direction implicit (ADI) time stepping schemes in the numerical solution
of semidiscretized two-dimensional convection-diffusion equations. More pre-
cisely, we consider the Douglas (Do) scheme, the Craig–Sneyd (CS) scheme,
the Modified Craig–Sneyd (MCS) scheme and the Hundsdorfer–Verwer (HV)
scheme. ADI schemes employ a splitting of the semidiscrete PDE operator in
thedifferentspatialdirections. Thiscanleadtoamajorcomputationaladvan-
tageineachtimestepasitturnsoutthattheimplicitnessisoftenmucheasier
todealwithwhenthesuboperatorsarehandledsuccessively,insteadoftreating
the full operator all at once. The four ADI schemes are adapted to mixed spa-
tial derivative terms and widely used in financial mathematics. Mixed spatial
derivatives are prominent in computational finance due to correlation between
the underlying stochastic processes.
Thefirstpreliminarychapterpresentsthenon-uniformCartesiangridsand
secondorderfinitedifferenceschemesthatareusedinthethesisforthespatial
discretization of time-dependent PDEs. The second preliminary chapter intro-
duces the four ADI time stepping schemes under consideration and gives an
overview of their existing stability and consistency results. For the Do scheme
this already leads to a general first order convergence result.
iii
iv Summary
A recursion formula for the total discretization error of the (M)CS scheme,
respectively the HV scheme, has been obtained by considering a perturbed
version of the respective schemes. We perform an ingenious splitting of the
local discretization errors and apply a key lemma from Hundsdorfer to arrive
atasecondorderconvergenceresultforthe(M)CSschemeandtheHVscheme
under natural stability and smoothness assumptions.
If the initial function is non-smooth, then application of the ADI schemes
can lead to spurious erratic behaviour of the numerical solution. A motivating
example illustrates the positive effect of Rannacher time stepping, i.e. replac-
ing the first N ADI time steps by 2N half-time steps of the implicit Euler
0 0
scheme. We consider a model two-dimensional convection-diffusion equation
with Dirac delta initial data to perform a theoretical analysis. Application of
a two-dimensional Fourier transformation leads to the result that, if temporal
discretization is performed with the (M)CS scheme, then N = 2 is a lower
0
bound on N for the Rannacher time stepping in order to ensure convergence
0
of the numerical solution to the exact solution. Based on ample numerical ex-
periments, similar convergence results are conjectured for the Do scheme and
the HV scheme.
Ourconvergenceresultsprovideabasisfortheschemesbeingusedinprac-
tice. Weintroducetwomethodsforthecalibrationofstate-of-the-artstochastic
local volatility (SLV) models to their underlying local volatility (LV) model.
Here, the ADI schemes are important for the efficiency of the calibration algo-
rithms. The first calibration method makes use of a relationship between the
corresponding forward and backward Kolmogorov equation. The spatial dis-
cretization of the backward Kolmogorov equation is used to adopt an adjoint
semidiscretizationfortheforwardKolmogorovequation. Thelatterspatialdis-
cretization allows, under some natural assumptions, to create an exact match
betweenthesemidiscreteLVmodelandthesemidiscreteSLVmodel. Inorderto
performthiscalibration,alargesystemofnon-linearODEsneedstobesolved.
Time stepping is performed with the MCS scheme and an inner iteration is
introduced to handle the non-linearity. For the second calibration procedure,
we propose a new finite volume (FV) method for the spatial discretization of
general one-dimensional and two-dimensional forward Kolmogorov equations.
The FV method is mass-conservative and handles the boundary conditions in
a natural way. Moreover, it does not require a transformation of the forward
Kolmogorovequation, which isamajoradvantageincomparisonwith existing
FV methods. Using the FV spatial discretization for the calibration of SLV
modelsleadstoalargesystemofnon-linearODEs. Timesteppingisperformed
with the HV scheme and, as before, an inner iteration is used to handle the
non-linearity. Ample numerical experiments show that both calibration pro-
cedures lead to a fast, stable and accurate calibration of SLV models to their
underlying LV model.
Dankwoord
Hetschrijvenvanditdankwoordbezorgtmijeendubbelgevoel. Enerzijdsben
ik blij dat het onderzoek volledig is afgerond en dat alle resultaten verwerkt
zijn in dit proefschrift. Anderzijds overvalt mij het besef dat een mooie, leer-
rijke periode van vier jaar bijna ten einde loopt. Graag zou ik iedereen willen
bedanken die dit onderzoek mogelijk heeft gemaakt en die heeft bijgedragen
tot deze fantastische periode. Enkele personen waren hierbij in het bijzonder
heel belangrijk. Hen zou ik dan ook expliciet willen bedanken:
Eerstenvooralzouikmijnoudersenormwillenbedanken. Mamaenpapa,
jullie hebben mijn broer en mij steeds op de eerste plaats gezet, ons alle mo-
gelijke kansen gegeven, ons onvoorwaardelijk gesteund in alles wat we deden
en doen, en nog zoveel meer. Maar bovenal zorgen jullie voor een warme thuis
waarikaltijdgraagnaartoega,zowelingoedealsminderemomenten. Bedankt
om me de capaciteiten en de opvoeding te geven die het mogelijk maakten om
dit proefschrift af te ronden.
Niet enkel ik, maar ook mijn broer Kenneth heeft het geluk gehad bij deze
ouders te mogen opgroeien (en bijgevolg het geluk gehad om mijn broer te
mogen zijn). Kenneth, bedankt om me te helpen als ik weer eens iets niet
begreep op school, om me naar een hoger niveau te brengen omdat ik niet
wou onderdoen voormijngrotebroer, maarvooralom steedsopnieuw klaarte
staan met goede raad. Met andere woorden, bedankt om een broer te zijn die
er mede voor gezorgd heeft dat ik al zo ver ben geraakt.
Misschien is dit ook meteen het gepaste moment om mij eens te excuseren
aanmijnoudersenbroervooruitsprakenals“Ikganietallesgestudeerdkrijgen
tegen morgen.”en “Het examen ging niet zo goed, maar waarschijnlijk ben ik
er wel door.”die jullie vijf jaar moesten trotseren tijdens mijn studies aan de
universiteit.
Daarnaast wil ik graag mijn grootouders en de hele familie bedanken voor
hun steun en interesse in mijn onderzoek gedurende deze vier jaar.
Een zeer speciale vermelding is hier tevens op zijn plaats voor mijn vrien-
din, mijn verloofde, Sarah. Schattie, ondanks het feit dat ik je pas tijdens het
tweede deel van mijn onderzoek leerde kennen, ben je hierbij zeer belangrijk
voormijgeweest. Jezorgtnietalleenvoordeleukemomentenbuitenhetwerk,
je bent er voor me als het even minder gaat, je helpt me bij het maken van
v
vi Dankwoord
moeilijke keuzes, je steunt mij in alles wat ik doe, jij maakt me gelukkig. Je
bent fantastisch en je bent al snel een van de belangrijkste personen in mijn
leven geworden!
Verder zou ik graag mijn vrienden willen bedanken. Jullie zorgden vaak
voor ontspanning tijdens dit onderzoek, en dat kan in sommige gevallen let-
terlijk genomen worden wanneer ik weeral mijn lach niet kon inhouden tijdens
het werk omdat er bepaalde berichten op het scherm verschenen. Bedankt om
regelmatig, al dan niet oprecht ge¨ınteresseerd, te vragen wat het onderwerp
van mijn onderzoek was en hoe het vorderde.
Uiteraard dienen er ook op de Universiteit Antwerpen enkele mensen be-
dankt te worden. Allereerst mijn promotor Karel in ’t Hout, die me zowel
begeleidde voor mijn Masterthesis als voor dit proefschrift. Bedankt om me
in contact te brengen met dit onderwerp en dit onderzoek mogelijk te maken.
Zonderuwasdeprojectaanvraagnooitaanvaardenwasditproefschrifterdus
nooitgekomen. Laterheeftumelatenkennismakenmettoponderzoek(ers)van
over de hele wereld. Deze ervaringen hebben samen met uw uitgebreide kennis
ditonderzoeknaareenhogerniveaugetild. Verderstondualtijdklaarvooreen
gesprek over onderzoek, maar ook over andere onderwerpen zoals sport, reizen
of priv´e zaken. Bedankt om me gedurende deze vijf jaar, na onze eerste af-
spraakvoordeMasterthesis,tevoorzienvaneenruimebagagedieongetwijfeld
nog vaak van pas zal komen in de toekomst.
Daarnaastzouikallecollega’svanhetdepartementWiskunde–Informatica
willenbedanken. Doorhenbeniksteedsmetveelpleziernaarbureaugekomen.
Graagzouikhierbijmijnbureaugenotenexplicietwillenvermelden. Radoslav,
Lynn en Koen, bedankt om M.G.307 met mij te delen en steeds klaar te staan
voor een ontspannende babbel.
Tot slot welgemeende dank aan alle belastingbetalers die al dan niet met
veelpleziereendeelvanhuninkomenafstondenaandeoverheidomditonder-
zoek te financieren.
Maarten Wyns
Antwerpen, 2017
Whakawhetai ki a koutou nui atu!