Operator Theory, Analysis and Mathematical Physics

260 Pages·2007·1.809 MB·English

by  Jan Janas, Pavel Kurasov, Ari Laptev, Sergei Naboko, Günter Stolz

Operator Theory: Advances and Applications
Vol. 174
Editor:
I. Gohberg
Editorial Office: S. T. Kuroda (Tokyo)
School of Mathematical P. Lancaster (Calgary)
Sciences L. E. Lerer (Haifa)
Tel Aviv University B. Mityagin (Columbus)
Ramat Aviv, Israel V. Olshevsky (Storrs)
M. Putinar (Santa Barbara)
L. Rodman (Williamsburg)
Editorial Board:
D. Alpay (Beer-Sheva) J. Rovnyak (Charlottesville)
J. Arazy (Haifa) D. E. Sarason (Berkeley)
A. Atzmon (Tel Aviv) I. M. Spitkovsky (Williamsburg)
J. A. Ball (Blacksburg) S. Treil (Providence)
A. Ben-Artzi (Tel Aviv) H. Upmeier (Marburg)
H. Bercovici (Bloomington) S. M. Verduyn Lunel (Leiden)
A. Böttcher (Chemnitz) D. Voiculescu (Berkeley)
K. Clancey (Athens, USA) D. Xia (Nashville)
L. A. Coburn (Buffalo) D. Yafaev (Rennes)
R. E. Curto (Iowa City)
K. R. Davidson (Waterloo, Ontario) Honorary and Advisory
R. G. Douglas (College Station) Editorial Board:
A. Dijksma (Groningen) C. Foias (Bloomington)
H. Dym (Rehovot) P. R. Halmos (Santa Clara)
P. A. Fuhrmann (Beer Sheva) T. Kailath (Stanford)
B. Gramsch (Mainz) H. Langer (Vienna)
J. A. Helton (La Jolla)
P. D. Lax (New York)
M. A. Kaashoek (Amsterdam)
M. S. Livsic (Beer Sheva)
H. G. Kaper (Argonne)
H. Widom (Santa Cruz)
Subseries: Advances in Michael Demuth
Partial Differential Equations Technische Universität Clausthal
Germany
Subseries editors:
Bert-Wolfgang Schulze Jerome A. Goldstein
Universität Potsdam The University of Memphis, TN
Germany USA
Sergio Albeverio Nobuyuki Tose
Universität Bonn Keio University, Yokohama
Germany Japan
Operator Theory,
Analysis and
Mathematical Physics
Jan Janas
Pavel Kurasov
Ari Laptev
Sergei Naboko
Günter Stolz
Editors
Advances in
Partial
Differential
Equations
Birkhäuser
. .
Basel Boston Berlin
Editors:
Jan Janas Ari Laptev
Institut of Mathematics (cid:39)(cid:72)(cid:83)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:53)(cid:82)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:25)(cid:26)(cid:24)
Polish Academy of Sciences (cid:54)(cid:82)(cid:88)(cid:87)(cid:75)(cid:3)(cid:46)(cid:72)(cid:81)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:38)(cid:68)(cid:80)(cid:83)(cid:88)(cid:86)
ul. Sw. Tomasza 30/7 Imperial College London
31-027 Krakow (cid:54)(cid:58)(cid:26)(cid:3)(cid:21)(cid:36)(cid:61)(cid:3)(cid:47)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:56)(cid:46)
Poland e-mail:[email protected]
e-mail: [email protected]
and
Pavel Kurasov
Department of Mathematics Department of Mathematics
Lund Institute of Technology Royal Institute of Technology
221 00 Lund 100 44 Stockholm
Sweden Sweden
e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]
Sergei Naboko (cid:42)(cid:129)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:82)(cid:79)(cid:93)
Department of Mathematical Physics Department of Mathematics
St. Petersburg State University University of Alabama
Ulyanovskaya 1 (cid:23)(cid:24)(cid:21)(cid:3)(cid:38)(cid:68)(cid:80)(cid:83)(cid:69)(cid:72)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:43)(cid:68)(cid:79)(cid:79)
198904 St. Petersburg (cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:75)(cid:68)(cid:80)(cid:15)(cid:3)(cid:36)(cid:47)(cid:3)(cid:22)(cid:24)(cid:21)(cid:28)(cid:23)(cid:16)(cid:20)(cid:20)(cid:26)(cid:19)
Russia USA
e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]
(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:22)(cid:24)(cid:45)(cid:20)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:24)(cid:51)(cid:19)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:26)(cid:46)(cid:20)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:28)(cid:36)(cid:20)(cid:20)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:28)(cid:36)(cid:20)(cid:21)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:20)(cid:19)(cid:15)(cid:3)
(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:23)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:23)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:23)(cid:27)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:37)(cid:22)(cid:25)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:41)(cid:19)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:27)(cid:20)(cid:57)(cid:28)(cid:28)(cid:15)(cid:3)(cid:27)(cid:21)(cid:39)(cid:20)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:28)(cid:28)(cid:61)(cid:28)(cid:28)
(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:87)(cid:85)(cid:82)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:88)(cid:80)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:29)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:26)(cid:28)(cid:21)(cid:21)(cid:21)(cid:24)(cid:21)
(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:191)(cid:72)(cid:30)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:72)(cid:71)(cid:3)
bibliographic data is available in the Internet at <http://dnb.ddb.de>.
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:16)(cid:28)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:177)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:177)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)
(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)
(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)
(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:85)(cid:82)(cid:191)(cid:79)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:90)(cid:68)(cid:92)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)
(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:69)(cid:68)(cid:81)(cid:78)(cid:86)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:78)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:69)(cid:72)
obtained.
(cid:139)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:26)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:3)(cid:36)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:91)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:43)(cid:16)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
(cid:51)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:14)(cid:37)(cid:88)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:48)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:68)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:70)(cid:76)(cid:71)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:79)(cid:83)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:38)(cid:41)(cid:3)(cid:102)
(cid:38)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:93)(cid:3)(cid:43)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:69)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:19)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:16)(cid:24)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:19)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:22)(cid:24)(cid:16)(cid:22)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:22)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:16)(cid:28)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:22)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:22)(cid:24)(cid:16)(cid:25)
(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:21)(cid:3)(cid:20)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:69)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:75)
Contents
Preface ................................................................... vii
P.A. Cojuhari
Finiteness of Eigenvalues of the Perturbed Dirac Operator ........... 1
M. Combescure
A Mathematical Study of Quantum Revivals
and Quantum Fidelity ............................................... 9
P. Exner, T. Ichinose and S. Kondej
On Relations Between Stable and Zeno Dynamics
in a Leaky Graph Decay Model ...................................... 21
R.L. Frank and R.G. Shterenberg
On the Spectrum of Partially Periodic Operators .................... 35
A.V. Kiselev
Functional Model for Singular Perturbations of
Non-self-adjoint Operators ........................................... 51
J. Michor and G. Teschl
Trace Formulas for Jacobi Operators in Connection with
Scattering Theory for Quasi-Periodic Background .................... 69
A.B. Mikhailova, B.S. Pavlov and V.I. Ryzhii
Dirichlet-to Neumann Techniques for the Plasma-waves
in a Slot-diod ........................................................ 77
M. Nowaczyk
Inverse Spectral Problem for Quantum Graphs
with Rationally Dependent Edges .................................... 105
V. Ryzhov
Functional Model of a Class of Non-selfadjoint Extensions
of Symmetric Operators ............................................. 117
H. Schulz-Baldes
Lyapunov Exponents at Anomalies of SL(2,R)-actions ............... 159
vi Contents
L.O. Silva
Uniform and Smooth Benzaid-Lutz Type Theorems
and Applications to Jacobi Matrices ................................. 173
S. Simonov
An Example of Spectral Phase Transition Phenomenon in a Class
of Jacobi Matrices with Periodically Modulated Weights ............. 187
A. Tikhonov
On Connection Between Factorizations of Weighted
Schur Function and Invariant Subspaces ............................. 205
List of Participants in OTAMP2004 ....................................... 247
Introduction
This volume contains mainly the lectures delivered by the participants of the
International Conference: Operator Theory and its Applications in Mathematical
Physics – OTAMP 2004, held at Mathematical Research and Conference Center
inBedlewonearPoznan.Theideabehindtheselectureswastopresentinteresting
ramificationsofoperatormethodsincurrentresearchofmathematicalphysics.The
topicsoftheseProceedingsareprimarilyconcernedwith:functionalmodelsofnon-
selfadjointoperators,spectralpropertiesofDiracandJacobimatrices,Dirichlet-to-
Neumanntechniques,Lyapunovexponentsmethodsandinversespectralproblems
for quantum graphs.
All papers of the volume contain original material and were refereed by ac-
knowledged experts.
The Editors thank all the referees whose critical remarks helped to improve
the quality of this volume.
The Organizing Committee of the conference would like to thank all session
organizers for taking care about the scientific programm and all participants for
making warm and friendly atmosphere during the meeting.
Weareparticularygratefultotheorganizersof SPECT,withoutwhosefinan-
cial support the OTAMP 2004 would never been so successful. We also acknowl-
edgefinancialsupportofyoungPolishparticipantsbyStefanBanachInternational
MathematicalCenter andthank the staffofthe ConferenceCenteratBedlewofor
their great support which helped to run the conference smoothly.
Finally,wethanktheEditorialBoardandespeciallyProfessorI.Gohbergfor
includingthisvolumeintotheseriesOperatorTheory:AdvancesandApplications
and to Birkha¨user-Verlagfor help in preparation of the volume.
Birmingham – Krakow – Lund August 2006
St. Petersburg – Stockholm The Editors
OperatorTheory:
Advances andApplications,Vol.174,1–7
(cid:2)c 2007Birkh¨auserVerlagBasel/Switzerland
Finiteness of Eigenvalues of
the Perturbed Dirac Operator
Petru A. Cojuhari
Abstract. Finiteness criteria are established for the point spectrum of the
perturbed Dirac operator. The results are obtained by applying the direct
methods of the perturbation theory of linear operators. The particular case
of theHamiltonian of aDirac particle inan electromagnetic field is also con-
sidered.
MathematicsSubjectClassification(2000). Primary 35P05, 47F05; Secondary
47A55, 47A75.
Keywords. Dirac operators, spectral theory, relatively compact perturbation.
1. Introduction
The present paper is concerned with a spectral problem for the perturbed Dirac
operator of the form
(cid:2)n
H = α D +α +Q, (1.1)
k k n+1
k=1
whereD =i ∂ (k =1,...,n),α (k =1,...,n+1)arem×mHermitianmatrices
k ∂xk k
which satisfy the anticommutation relations (or, so-called Clifford’s relations)
α α +α α =2δ (j,k =1,...,n+1), (1.2)
j k k j jk
m=2n2 for n even and m=2n+21 for n odd. Q is considered as a perturbation of
the free Dirac operator
(cid:2)n
H = α D +α (1.3)
0 k k n+1
k=1
andrepresentsthe operatorofmultiplicationby agivenm×m Hermitianmatrix-
valued function Q(x),x ∈ Rn. In accordance with our interests we assume that
the elements q (x) (j,k =1,...,m) of the matrix Q(x) are measurable functions
jk
from the space L∞(Rn). The operators H0 and H are considered in the space
L (Rn;Cm) with their maximal domains of definition. Namely, it is considered
2
2 P.A. Cojuhari
thatthedomainoftheoperatorH istheSobolevspaceW1(Rn;Cm)and,because
0 2
Q is a bounded operator, the perturbed Dirac operator H is defined on the same
domainW1(Rn;Cm)aswell.TheDiracoperatorsH andH areselfadjointonthis
2 0
domain. For the free Dirac operator H is true the following algebraic relations
0
(cid:2)n (cid:2) (cid:2)n
H2 = α2D2+ (α α +α α )D D + (α α +α α )D +α2
0 k k j k k j j k n+1 k k n+1 k n+1
k=1 j(cid:3)=k k=1
(cid:2)n
= D2+E =(−Δ+I)E ,
k m m
k=1
so that
H2 =(−Δ+I)E . (1.4)
0 m
HereΔdenotesthe LaplaceoperatoronRn andE them×midentitymatrix.It
m
follows from (1.4) that the spectrum of the operator H2 covers the interval [1,∞]
0
and, since the spectrum of the operator H is a symmetric set with respect to
0
the origin, it results that its spectrum coincides with the set σ(H) =(−∞,−1]∪
[1,+∞).WenotethatthesymmetryofthespectrumofH canbeshowneasilyby
0
invoking,forinstance,anothermatrixβ whichtogetherwithα (k =1,...,n+1)
k
the anticommutation conditions (1.2) are satisfied. Then
(H +λ)β =−β(H −λ)
0 0
for each scalar λ, and so the property of the symmetry of σ(H ) becomes to be
0
clear. The unperturbed operator H has no eigenvalues (in fact the spectrum of
0
H isonlyabsolutelycontinuous).Iftheentriesofthematrix-valuedfunctionQ(x)
0
vanish at the infinite, the continuous spectrum of the perturbed Dirac operator
H coincides with σ(H ) and the perturbation Q can provoke a non-trivial point
0
spectrum. Our problem is to study the point spectrum of the perturbed Dirac
operator H. This problem has been studied by many researchers in connection
with various problems (note that the most of the results were concerned with the
case n = 3 and m = 4). A good deal of background material on the development
and perspectives of the problem can be found in [1], [2], [3], [5], [7], [10], [12],
[13], [14]. Apart from the already mentioned works, we refer to the [15] and the
references given therein for a partial list.
In this paper, we give conditions on Q(x) under which the point spectrum
of H (if any) has ±1 as the only possible accumulation points. Specifically, we
assume that Q(x) satisfies the following assumption.
(A) Q(x)=[q (x)], x∈Rn, is an m×m Hermitian matrix-valued function
jk
the entries of which are elements from the space L∞(Rn) and
lim |x|q (x)=0 (j,k =1,...,m).
jk
|x|→∞
The main results are obtained by applying the abstract results from [6] (see
also its refinement results made in [9]). Below, we cite the corresponding result.
Finiteness of Eigenvalues of the Perturbed Dirac Operator 3
LetHbeaHilbertspace.DenotebyB(H)thespaceofallboundedoperators
onHandbyB∞(H)thesubspaceofB(H)consistingofallcompactoperatorsinH.
The domainandthe rangeofanoperatorA aredenotedby Dom(A) andRan(A),
respectively.
Theorem 1.1. [9] Let A and B be symmetric operators in a space H and let the
operator A has no eigenvalues on a closed interval Λ of the real axis. Suppose that
there exists an operator-valued function T(λ) defined on the interval Λ having the
properties that
(i) T(λ)∈B∞(H) (λ∈Λ),
(ii) T(λ) is continuous on Λ in the uniform norm topology, and
(iii) for each λ∈Λ and for each u∈Dom(B) such that Bu∈Ran(A−λI) there
holds the following inequality
(cid:5)(A−λI)−1Bu(cid:5)≤(cid:5)T(λ)u(cid:5). (1.5)
Then the point spectrum of the perturbed operator A+B on the interval Λ
consists only of finite number of eigenvalues of finity multiplicity.
Remark 1.2. The assertion of Theorem 1.1 remains true if in place of (1.5) it is
required the following one
(cid:2)N
(cid:5)(A−λI)−1Bu(cid:5)≤ (cid:5)T (λ)u(cid:5), (1.6)
k
k=1
where the operator-valued functions T (λ) (k =1,...,N) satisfy the conditions (i)
k
and (ii).
As we already mentioned we will apply Theorem 1.1 to the study of the
problemofthediscretenessofthesetofeigenvaluesoftheperturbedDiracoperator
H. The main results are presented in the next section.
2. Main results
Let H be the Dirac operator defined by (1.1) in which the matrix-valuedfunction
satisfiestheassumption(A).TheunperturbedDiracoperatorH representsama-
0
trixdifferentialoperator(ofthedimensionm×m)oforder1.Thesymboloftheop-
eratorH isamatrix-valuedfunctionwhichwedenotebyh (ξ),ξ ∈Rn.Notethat
0 0
by applying the Fourier transformation to the elements of the space L (Rn;Cm)
2
theoperatorH istransformed(inthemomentumspace)intoamultiplicationop-
0
erator by the matrix h (ξ). The Fourier transformation is defined by the formula
0 (cid:3)
1
uˆ(ξ)=(Fu)(ξ)= u(x)ei<x,ξ>dx (u∈L (Rn))
(2π)n2 2
inwhich<x,ξ >(cid:4)de(cid:4)signatesthescalarproductoftheelementsx,ξ ∈Rn(hereand
in what follows : ). The corresponding norm in Rn (or Cm) will be denoted
Rn
as usually by | . |. The operator norm of m×m matrices corresponding to the
norm |.| in Cm will be denoted by |.|, as well.