Operations Research: Ein Kurzlehr- und Übungsbuch PDF
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Werner Dinkelbach Operations Research- Ein Kurzlehr- und Ubungsbuch Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest Professor Dr. Werner Oinkelbach Fachbereich Wirtschaftswissenschaft Universitiit des Saarlandes 1m Stadtwald 0-6600 Saarbriicken 11, FRG ISBN-13: 978-3-540-54926-0 e-ISBN-13: 978-3-642-77162-0 DOl: 10.1007/978-3-642-77162-0 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdruckes, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Ta bell en, der Funksendungen, der Mikroverfilmung oder der Vervielfliltigung auf anderen We gen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfliltigung dieses Werkes odervon Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechts gesetzes der Bundesrepublik Deutschland yom 9. September 1965 in der Fassung yom 24. Juni 1985 zuliissig. Sie ist grundsatziich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992 Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1992 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, da13 solche Na men im Sinne der Warenzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wa ren und daher von jederrnann benutzt werden diirfien. Druck: Weihert-Druck GmbH, Darmstadt Bindearbeiten: J. Schiiffer GmbH u. Co. KG., Griinstadt 214217130-543210 -Gedruckt auf siiurefreiem Papier VORWORT Mit diesem Buch werden Anregungen in Form von Ubungsaufgaben zur Einiibung einiger grund legender Verfahren des Operations Research (OR) angeboten. Zwar enthalten die Lehrbiicher des Operations Research auch zahlreiche Ubungsbeispiele, die jedoch vorwiegend den Charakter von Demonstrationsbeispielen haben; sie sind im allgemeinen relativ klein und vermeiden hiiufig die fUr das volle Verstiindnis eines Verfahrens oft wichtigen Sonderfiille. Die hier vorgestellten Ubungs aufgaben, die zum gro13ten Teil aus Klausuraufgaben hervorgegangen sind, weisen einen wesentlich gro13eren Umfang als Demonstrationsbeispiele auf, sie konnen nicht beiliiufig gelesen werden, sie verlangen durchgearbeitet bzw. nachgearbeitet zu werden und stellen letztendlich ein Angebot an alle dar, die sich mit den Grundziigen des Operations Research vertiefend vertraut machen wollen, sei es in der Absicht, ein Examen bestehen zu wollen, oder sei es mit dem Ziel, sich ein Fundament zu schaffen, urn sich darauf aufbauend in Spezialgebiete des Operations Research einzuarbeiten. Obwohl den Schwerpunkt dieser Schrift die Ubungsaufgaben darstellen (Ubungsbuch), konnte auf eine kurze Darstellung der theoretischen Grundlagen der in den einzelnen Kapiteln behandelten Teilaspekte des Operations Research nicht verzichtet werden, denn es lassen sich zwar Optimie rungsaufgaben in einem gewissen Rahmen manuell durch mehr oder weniger auswendig gelernte Verfahren oder mittels zur VerfUgung stehender Software auf einem Computer numerisch lOsen. Wer jedoch die Leistungsfiihigkeit dieser Verfahren, ihre praktischen Moglichkeiten und Beschriinkungen kennenlernen mochte, wer optimale Losungen von Optimierungsaufgaben etwa anhand von Sensi tivitiitsanalysen interpretieren mochte, aber eben auch wer selbst eine Software zur numerischen Losung von Optimierungsaufgaben erstellen mochte, der kann auf ein theoretisches Fundament nicht verzichten. In diesem Sinne bieten die Grundlagenabschnitte der einzelnen Kapitel knapp ge haltene Einblicke in die Theorie der jeweiligen Thematik (Kurzlehrbuch). Diese Schrift ersetzt somit weder ein umfassendes Lehrbuch des Operations Research noch den Besuch einer OR-Vorlesungj wohl aber ergiinzt sie beides. Aus der skizzierten Zielsetzung dieser Schrift ergeben sich folgende Konsequenzen fUr den Aufbau und den Inhalt des Buches: • Es erfolgt eine strenge Trennung zwischen den einzelnen Grundlagenabschnitten (Kurzlehr buch) und den jeweils relativ umfangreichen Ubungsabschnitten (Ubungsbuch). • Die in den Grundlagenabschnitten zitierten Siitze werden nicht bewiesen. In den Ubungsauf gaben finden sich hiiufig indirekte Bezugnahmen und Veranschaulichungen wichtiger Siitze aus dem jeweiligen Themenkreis. • Es werden zum einen nur wenige Verfahren vorgestellt, wobei nicht auf die neuesten und vielleicht "effizientesten", sondern aufbewiihrte und relativ eillfache Verfahren zuriickgegriffell wird. • Das Buch verzichtet sowohl auf historische Anmerkungen wie auch auf kOllkrete Anwendullgs hinweise. • Es werden keine Origillalarbeiten, sofern dies iiberhaupt moglich ist, zitiert, sondern nach jedem Grundlagenabschnitt findet der Leser eine Literaturauswahl mit bewiihrten einfUhren den, aber auch weiterfiihrenden Schriften, wobei dort, wo es angebracht erschien, auf konkret angesprochene Kapitel oder Abschnitte verwiesen wird. vi Das Buch wendet sich an: • Studierende des Grundstudiums der Wirtschaftswissenschaft, die im Rahmen einer Einfiih rungsveranstaltung in das Operations Research ein erganzendes Ubungsbuch suchen. Dieser Leserkreis kann sich auf die Aufgabenteile a) beschranken, die durchweg ohne vertiefte Kennt nisse des Stoffes losbar sind. • Studierende des Hauptstudiums der Wirtschaftswissenschaft, die Operations Research als Wahlfach wahlen und nach etwas anspruchsvolleren Ubungsaufgaben Ausschau halten. Fiir sie sind die Aufgabenteile b) . .. gedacht. • Studierende anderer Studiengange, z.B. Mathematik und Informatik, die Operations Research . als Nebenfach wahlen. • Hochschullehrer des Operations Research, die die hier vorgestellten Ubungsaufgaben nicht nur in ihren Ubungsveranstaltungen besprechen konnen, sondern die -diese dariiber hinaus auch als Grundlage fiir Anregungen zu weiteren Varianten und Erganzungen, d.h. zu einer aktiven Mitarbeit ihrer Zuhorer, einsetzen konnen. Mathematische Kenntnisse werden in dem Mafie vorausgesetzt, wie diese iiblicherweise im Grund studiurn der Wirtschaftswissenschaft oder der Informatik an deutschen Hochschulen vermittelt werden. Dabei handelt es sich im wesentlichen urn die Anfange der Differentialrechnung und der linearen Algebra. Alle Ubungsaufgaben eines Kapitels konnen grundsatzlich unabhangig voneinander bearbeitet wer den. Die einzelnen Kapitel bauen hingegen insofern aufeinander auf, als in spateren Kapiteln auf Inhalte vorhergehender Kapitel zuriickgegriffen wird. Dies gilt insbesondere fiir die lineare Pro grammierung, in die im 1. Kapitel eingefiihrt wird und die in allen iibrigen Kapiteln in Teilaspekten immer wieder zur Anwendung kommt. Die einzelnen Ubungsaufgaben sind durch Schliisselworter gekennzeichnet, mit denen auf die jeweils behandelten Aspekte hingewiesen wird. Um die einzelnen Ubungsaufgaben nicht nur mit einer Nummer zu kennzeichnen, weisen alle Ubungsaufgaben im Inhaltsverzeichnis ein Kennwort - im Sinne eines Etiketts - auf, um Ubungsaufgaben besser und schneller identifizieren zu konnen. Fiir die konstruktive Mitarbeit und Beratung bei einzelnen Teilaspekten mochte ich mich bei Herrn Dipl.-Kfm. Andreas Kleine, Herrn Dipl.-Inform. Thomas Latz, Frau Dipl.-Kfm. Andrea Piro, Herrn Dipl.-Kfm. Markus Riess und Herrn Dipl.-Inform. Bernd Serf sehr herzlich bedanken. Mein ganz besonderer Dank gilt Herrn Dipl.-Kfm. Michael Linke, mit dem ich den ganzen Text in sehr frucht barer Weise diskutieren konnte und der diesen dariiber hinaus mit grofiem Engagement in eine druckfahige Vorlage iibertragen hat. Dem Springer-Verlag mochte ich filr die Annahme des Manu skriptes und die verlegerische Betreuung vielmals danken. Saarbriicken, im September 1991 Werner Dinkelbach Inhaltsverzeichnis Vorwort ............................................................ : ................. v Verzeichnis einiger Symbole und Abkiirzungen .................................. xi o Operations Research aus entscheidungstheoretischer Sicht Entscheidungsmodelle als Grundlage des Operations Research .............. 1 Verfahren zur numerischen Lasung von Entscheidungsmodellen ............ 3 Operations Research - Versuch einer Definition ............. r-•••••••••••••••• 4 1 Lineare Programmierung 1.0 Grundlagen der linearen Programmierung Vorbemerkungen ................................................................. 6 Definitionen und Satze .......................................................... 6 Simplex-Verfahren .............................................................. 11 Dualitatsaussagen .............................................................. 17 Inverse und erweiterte inverse Basismatrix .................................. 19 Sensitivitatsanalysen ........................................................... 22 Literaturauswahl. ............................................................... 24 t.l Ubungen Ubungsaufgabe 1.1 (Spezielles Maximumproblem) ............................... 25 Ubungsaufgabe 1.2 (Zweiparametrische Sensitivitatsanalyse) .................... 34 Ubungsaufgabe 1.3 (Zusatzliche Nebenbedingung, Extremalstrahl) ............... 40 Ubungsaufgabe 1.4 (Mehrfachlasungen, erweiterte inverse Basismatrix) .......... 45 Ubungsaufgabe 1.5 (Sensitivitatsanalysen bei Mehrfachlosungen) ................ 51 Ubungsaufgabe 1.6 (Komplementarer Schlupf) .................................. 57 2 Parametrische lineare Programmierung und lineare Vektorop timierung 2.01 Grundlagen der parametrischen linearen Programmierung Vorbemerkungen ............................................................... 64 Definitionen und Satze ......................................................... 64 Verfahren ........................................................................ 66 Literaturauswahl. ............................................................... 68 2.02 Grundlagen der linearen Vektoroptimierung viii Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen ............................................................... 69 De:6.nitionen und Satze ......................................................... 69 Literaturauswahl ................................................................ 70 2.1 Ubungen Ubungsaufgabe 2.1 (Parameter in Zielfunktion) ................................. 71 Ubungsaufgabe 2.2 (Parameter in Zielfunktion und Begrenzungsvektor I) ........ 76 Ubungsaufgabe 2.3 (Parameter in Zielfunktion und Begrenzungsvektor II) ....... 83 Ubungsaufgabe 2.4 (Zwei Parameter in Zielfunktion) ............................ 90 Ubungsaufgabe 2.5 (Lineares Vektoroptimierungsmodell) ........................ 95 Ubungsaufgabe 2.6 (Zwei Parameter in Zielfunktion und Begrenzungsvektor) ... 102 3 Ganzzahlige lineare Programmierung 3.0 Grundlagen Vorbemerkungen .............................................................. 110 De:6.nitionen .................................................................... 110 Nichtkonvexe Alternativenmengen ........................................... 111 Branch and Bound-Verfahren ................................................ 112 Literaturauswahl .............................................................. 116 3.1 Ubungen Ubungsaufgabe 3.1 (LAND/DOIG-Verfahren) ................................. 117 Ubungsaufgabe 3.2 (DAKIN-Verfahren) ........................................ 126 Ubungsaufgabe 3.3 (Nichtkonvexer Zulassigkeitsbereich) ....................... 133 Ubungsaufgabe 3.4 (Diskrete Variablen) ....................................... 139 Ubungsaufgabe 3.5 (Mehrfachlosungen) ........................................ 145 Ubungsaufgabe 3.6 (Logische Nebenbedingungen) .............................. 151 4 Nichtlineare Programmierung 4.0 Grundlagen Vorbemerkungen .............................................................. 160 De:6.nitionen und Satze ........................................................ 160 Gradienten-Verfahren ......................................................... 164 Literaturauswahl .............................................................. 164 4.1 Ubungen Ubungsaufgabe 4.1 (Graphische Losung) ....................................... 166 Ubungsaufgabe 4.2 (KUHN/TUCKER-Bedingungen) .......................... 172 Ubungsaufgabe 4.3 (Sensitivitiitsanalyse) ...................................... 179 InbaItsverzeicbnis ix Ubungsaufgabe 4.4 (Erwartungswert-Varianz-Modell) .......................... 187 Ubungsaufgabe 4.5 (Nichtlineares Vektoroptimierungsmodell) .................. 195 Ubungsaufgabe 4.6 (Nichtlineare Nutzenfunktionen) ........................... 203 5 Graphentheorie und N etzplantechnik 5.01 Grundlagen der Graphentheorie Vorbemerkungen .............................................................. 210 Definitionen .................................................................... 210 Topologische Knotensortierung .............................................. 212 Bestimmung optimaler Wege in Netzwerken .................. :.: ........... 213 Literaturauswahl .............................................................. 214 5.02 Grundlagen der Netzplantechnik Vorbemerkungen .............................................................. 215 Definitionen .................................................................... 215 CPM-Zeitplanung ............................................................. 216 MPM-Zeitplanung ............................................................. 218 Literaturauswahl .............................................................. 220 5.1 Ubungen Ubungsaufgabe 5.1 (CPM) .................................................... 221 Ubungsaufgabe 5.2 (CPM, parametrische Sensitivitatsanalyse) ................. 229 Ubungsaufgabe 5.3 (CPM, MPM) ............................................. 236 Ubungsaufgabe 5.4 (MPM) .................................................... 241 Ubungsaufgabe 5.5 (Netzwerk, MPM) ......................................... 248 Ubungsaufgabe 5.6 (MPM, Aufbau Jerusalems) ................................ 253 6 '1ransportmodelle 6.0 Grundlagen Vorbemerkungen .............................................................. 262 Definitionen und Sitze ........................................................ 262 Verfahren ...................................................................... 264 Praktische Hinweise ........................................................... 266 Literaturauswahl .............................................................. 268 6.1 Ubungen Ubungsaufgabe 6.1 (Matrix-Minimum-Verfahren) .............................. 269 Ubungsaufgabe 6.2 (Fixe Kosten) ............ : ................................. 278 Ubungsaufgabe 6.3 (Umladeproblem) .......................................... 283 x Inhaltsverzeichnis Ubungsaufgabe 6.4 (Sensitivitatsanalyse) ...................................... 291 Ubungsaufgabe 6.5 (Lineares Programm) ...................................... 295 Ubungsaufgabe 6.6 (Produktionsplanung) ..................: ................... 299 Literaturverzeichnis .............................................................. 307 Index ............................................................................... 311 Verzeichnis einiger Symbole und Abkiirzungen definiert als ungefahr gleich C Teilmenge (sowohl echte Teilmenge als auch Gleichheit) E Element aus o leere Menge Menge der reellen Zahlen Menge der nichtnegativen reellen Zahlen Menge der nichtnegativen N -dimensionalen Vektoren Menge der natiirlichen Zahlen Menge der natiirlichen Zahlen vereinigt mit {O} N-faches kartesisches Produkt der Menge {O, I} lal Absolutbetrag von a E R lbJ gro/3te ganze Zahl kleiner oder gleich b E R fcl kleinste ganze Zahl grofier oder gleich c E R Transformation eines Vektors: (x!, X2)T := ( Xl ) , X2 Detenninante der Matrix C max (min) Man maximiere (man minimiere) GE Geldeinheit ( en) KE Kapazitatseinheit( en) ME Mengeneinheit( en) NE Nutzeneinheit( en) ZE Zeiteinheit( en)
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