Opérades de Koszul et homologie des algèbres en caractéristique positive [PhD thesis]

92 Pages·2010·1.47 MB·French

by  Eric Hoffbeck

No ORDRE : 40310
E´cole doctorale r´egionale Sciences Pour l’Ing´enieur Lille Nord–de–France
Universit´e Lille 1 Sciences et Technologies
Op´erades de Koszul et homologie des
alg`ebres en caract´eristique positive
`
THESE
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 8 septembre 2010
pour l’obtention du
Doctorat de l’universit´e Lille 1
(sp´ecialit´e math´ematiques pures)
par
Eric Hoffbeck
Composition du jury
Rapporteurs : Mikhail Kapranov Yale University
Birgit Richter Universit¨at Hamburg
Examinateurs : David Chataur Universit´e Lille 1
Benoit Fresse (directeur de th`ese) Universit´e Lille 1
Bernhard Keller Universit´e Paris 7
Muriel Livernet Universit´e Paris 13
Daniel Tanr´e Universit´e Lille 1
Laboratoire Paul Painlev´e
Mis en page avec la classe thloria.
Remerciements
Jetiensàexprimermaprofondereconnaissanceàmondirecteurdethèse,BenoitFresse.Ilasuguider
mon travail lors de mes stages de master et surtout lors de cette thèse. Nos discussions mathématiques
ont été le principal moteur de mes avancées, ses conseils et son optimisme me permettant toujours de me
remettre à l’ouvrage. Je n’oublierai pas non plus tous ces moments passés au Café Culture, à parler de
mathématiques, mais aussi d’autres choses (comme le vélo ou la course à pied). Merci Benoit.
JesuistrèsreconnaissantenversBirgitRichteretMikhailKapranovd’avoiracceptéd’êtrerapporteurs
demathèse,malgrélatâchequecelareprésente.JeremercieégalementMurielLivernetpoursaprésence
dans mon jury et ses nombreuses remarques sur mon manuscrit. Un grand merci également à David
Chataur et Daniel Tanré, dont j’ai eu la chance de suivre les cours en Master 2, et qui comptent donc
parmi ceux qui ont su me faire aimer la topologie algébrique. Je remercie également Bernhard Keller qui
me fait l’honneur de faire partie de mon jury.
Je n’oublie pas Jean-Louis Loday et Bruno Vallette, qui avaient encadré mon stage de Licence et
m’avaient fait découvrir le monde des opérades. Merci à Joan Millès, pour son soutien dans nos parcours
simultanés et quasiment parallèles.
Jetiensaussiàremerciertouteslespersonnesquisesontintéresséesàmontravail,quim’ontdonnéla
possibilité d’exposer mes travaux dans un séminaire ou une conférence. Je suis également reconnaissant
envers les membres du GDR Topologie et tous ceux que j’ai pu rencontrer aux diverses conférences
auxquelles j’ai assisté.
MerciégalementauxmembresetaupersonneladministratifettechniquedulaboratoirePaulPainlevé
et de l’UFR de mathématiques, pour les conditions de travail dont j’ai pu bénéficier pendant ces trois
années.JetiensparticulièrementàremercierPierrePortal,pourquij’aieulachanced’enseigner,etquia
sumetransmettresapassiondel’enseignement.J’aiunepenséetouteparticulièrepourleCIESetl’école
doctorale SPI.
Un grand merci aussi à mes camarades thésards ou anciens thésards que j’ai eu la chance de côtoyer
à Lille, leur présence a souvent été d’un grand secours. Je n’oublie pas mes amis strasbourgeois, toujours
prêts à m’accompagner (ou me faire venir) prendre une Meteor ou un Flamby lors de mes retours en
Alsace, et qui ont su me changer les idées. Je remercie tout particulièrement mes amis qui ont su trouver
les bons mots dans mes moments de doute, et qui m’ont montré l’exemple, ils se reconnaitront. Merci
aussi à tous les autres, la liste serait trop longue si je voulais tous les citer.
Je tiens également à remercier Alexis, pour m’avoir fait découvrir Steenwerck, et les trois frères
Gryson,dontl’accompagnementlorsdes100kmaétédesplusappréciables.Merciàeuxpouravoirégayé
ces longues heures de marche ou de course, pour leurs conseils et leur soutien dans l’effort. Je compte
bien revenir et terminer, dès l’an prochain j’espère.
Pour finir, je voudrais remercier ma famille qui m’a tant apporté.
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Avant-propos
Cette thèse se compose de quatre parties :
1. une introduction aux thèmes étudiés dans la thèse, suivie d’un résumé des travaux présentés dans
les parties suivantes,
2. l’article A Poincaré-Birkhoff-Witt criterion for Koszul operads, manuscripta mathematica 131
(2010), pp. 87-110,
3. l’article Gamma-homology of algebras over an operad, Algebraic & Geometric Topology 10 (2010),
pp. 1781-1806,
4. la prépublication Obstruction theory for algebras over an operad.
La première partie est en français alors que les trois chapitres suivants sont en anglais. Chaque partie est
suivie de sa propre bibliographie.
Un bref résumé de la thèse (en français et en anglais) précède l’introduction détaillée.
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Table des matières
Résumé 9
Abstract 11
Chapitre 1 : Introduction 13
1.1 Brève introduction aux opérades et à la dualité de Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Historique et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Résumé de l’article 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Résumé de l’article 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Résumé de l’article 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chapitre 2 : A Poincaré-Birkhoff-Witt criterion for Koszul operads
manuscripta mathematica 131 (2010), pp. 87-110 33
2.1 Bar construction and Koszul duality for operads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 The language of trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 The Poincaré-Birkhoff-Witt criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Proof of the Poincaré-Birkhoff-Witt criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Result on the dual of a Poincaré-Birkhoff-Witt operad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Case of non-symmetric operads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Chapitre 3 : Gamma-homology of algebras over an operad
Algebraic & Geometric Topology 10 (2010), pp. 1747-1780 53
3.1 Model categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Gamma-homology of P-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Explicit complex à la Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Chapitre 4 : Obstruction theory for algebras over an operad 73
4.1 Recollections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Realizations of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3 Homotopies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
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Table des matières
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Résumé
Cette thèse s’inscrit dans l’étude des catégories d’algèbres associées aux opérades. On développe des
outilsd’algèbrehomologiqueetuneméthodegénéraledeclassification(àhomotopieprès)desmorphismes
entre algèbres sur une opérade.
La dualité de Koszul des opérades, introduite par V. Ginzburg et M. Kapranov, permet de construire
desthéorieshomologiquesappropriéespourdescatégoriesd’algèbresassociéesàcertainesbonnesopérades
– les opérades de Koszul. On donne dans la première partie de cette thèse un critère effectif pour qu’une
opérade soit de Koszul : on montre qu’une opérade, linéairement engendrée par une base, est de Koszul
dès lors que l’on peut ordonner sa base de façon compatible avec la structure de composition opéradique
– on parle alors d’opérade de Poincaré-Birkhoff-Witt.
LathéorieoriginaledeGinzburg-Kapranovs’appliqueencaractéristiquenulleseulement.Onconstruit
une théorie homologique adaptée - la Gamma-homologie - pour l’étude des catégories d’algèbres diffé-
rentielles graduées associées à une opérade de Koszul en toute caractéristique. Cette théorie généralise la
Gamma-homologiedéfinieparA.RobinsonetS.Whitehousepourlacatégoriedesalgèbrescommutatives.
OnmontrequelaGamma-homologieopéradiquecontientl’obstructionàlaréalisationdemorphismes
entre algèbres sur une opérade, ainsi que l’obstruction à la réalisation d’homotopies entre morphismes,
et donne de la sorte un outil général pour classifier les morphismes entre algèbres sur une opérade.
Mots clés : Opérades, algèbres, dualité de Koszul, théories homologiques, théories d’obstruction.
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Résumé
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