Operaciones Aritméticas B´asicas con Circuitos Cu´anticos

81 Pages·2014·0.76 MB·Spanish

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
ESCUELA TE´CNICA SUPERIOR
INGENIEROS DE TELECOMUNICACIO´N
T F M
RABAJO IN DE ASTER
MASTER UNIVERSITARIO EN INVESTIGACIO´N
EN TECNOLOG´IAS DE LA INFORMACIO´N Y LAS COMUNICACIONES
Operaciones Aritme´ticas Ba´sicas con Circuitos
Cua´nticos
Autor:
Da. Lidia Ruiz Pe´rez
Tutor:
Dr. D. Juan Carlos Garc´ıa Escart´ın
Valladolid, 5 de septiembre de 2014
Operaciones Aritme´ticas Ba´sicas con Cir-
T´ITULO:
cuitos Cua´nticos
Da. Lidia Ruiz Pe´rez
AUTOR:
Dr. D. Juan Carlos Garc´ıa Escart´ın
TUTOR:
Teor´ıa de la Sen˜al y Comunicaciones e In-
DEPARTAMENTO:
genier´ıa Telema´tica
Tribunal
Dr. D. Alonso Alonso Alonso.
PRESIDENTE:
Dr. D. Ce´sar Palencia de Lara.
VOCAL:
Dr. D. Juan Ignacio Asensio Pe´rez.
SECRETARIO:
10 de septiembre de 2014
FECHA:
CALIFICACIO´N:
Resumen del TFM
Los ordenadores que aprovechan las leyes de la Meca´nica Cua´ntica son capaces de
realizardeformaeficientetareasinabordablesparaunordenadorcla´sicocomo,porejem-
plo, la factorizacio´n de nu´meros. Ciertas operaciones de uso frecuente, como resolver
sistemas de ecuaciones lineales, aunque son eficientes en ordenadores cla´sicos, se pue-
den resolver en menos tiempo con circuitos cua´nticos. En este trabajo se estudiara´n las
posibles mejoras de eficiencia en el ca´lculo de operaciones aritme´ticas ba´sicas. En parti-
cular, se estudiara´ un sumador cua´ntico y un multiplicador que operan trabajando con la
transformadacua´nticadeFourier.
Palabras clave
Computacio´ncua´ntica,sumador,multiplicador,transformadacua´nticadeFourier.
Abstract
Computers that take advantage of Quantum Mechanics are capable of doing tasks
that are unapproachable for a classical computer in an efficient manner as, for example,
number factoring. Common operations, like solving systems of linear equations, can be
solved efficiently using a classical computer, but could be solve in less time making use
ofquantumcircuits.Inthisworksomeimprovementsintheefficiencyofbasicarithmetic
operationswillbestudied.Inparticularwewillworkonaquantumadderandamultiplier
thatmakesuseofthequantumFouriertransform.
III
Keywords
Quantumcomputation,adder,multiplier,quantumFouriertransform.
IV
Agradecimientos
Quisieraagradeceramitutor,JuanCarlos,yamifamiliasuinfinitapacienciaconmigo
durantelaelaboracio´ndeesteTFM.
´
Indice general
1. Introduccio´n 1
1.1. Motivacio´nyObjetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Metodolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. EstructuradelTrabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. ConocimientosPrevios. 7
2.1. UnidadesdeInformacio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Mu´ltiplesqubits.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Operaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1. Puertascua´nticasqueactu´ansobreunqubit. . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2. Puertascua´nticasqueactu´ansobremu´ltiplesqubits. . . . . . . . . 15
2.3.3. Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. TransformadaCua´nticadeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. OperacionesAritme´ticas 25
3.1. CircuitosCua´nticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1. SumadorCua´ntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. SumadoresconQFT 29
4.1. ElSumadorQFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.1. BloqueQFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.2. Bloquesumador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2. SumadorCua´nticodema´sdedosNu´meros. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3. SumaAritme´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1. Sumamo´duloN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4. Extensio´ndelesquema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.1. Ejemplodesumaconllevada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
V
4.4.2. Nu´merodepuertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5. MediaySumaPonderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.6. Representacio´ndeNu´merosconSigno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. MultiplicadorQFT 51
5.1. Multiplicacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2. EsquemaPropuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3. BloqueSumador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4. Nu´merodePuertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6. Conclusiones 69
6.1. Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2. L´ıneasFuturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
´
Indice de figuras
1.1. Sumadorcla´sico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. ContextodelTFMyobjetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1. MatricesdePaulisobreunqubit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. TransformadadeHadamardsobreelestadoα 0 +β 1 . . . . . . . . . . 14
| (cid:105) | (cid:105)
2.3. Puertaderotacio´ndefaseactuandosobreα 0 +β 1 . . . . . . . . . . . 14
| (cid:105) | (cid:105)
2.4. PuertaUcontrolada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. PuertacNOT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6. PuertaUqueactu´asobretresqubits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7. PuertaToffoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8. TransformadaCua´nticadeFourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1. Sumadorcla´sico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Puertacua´ntica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Sumadora+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4. Sumadora+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5. Sumador[VBE96]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6. Sumadora+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7. Sumadora+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1. SumadorQFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2. TransformadaCua´nticadeFourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3. Sumadedosqubits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
VI
´INDICEDEFIGURAS VII
4.4. Sumadordek nu´meros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5. Sumaempleandoelesquema[Dra00]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6. TransformadaCua´nticadeFourierde 0a ...a . . . . . . . . . . . . . 40
1 n
| (cid:105)
4.7. Sumaconllevada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.8. Representacio´ngra´ficadelasumaconllevada. . . . . . . . . . . . . . . 42
4.9. MediadeM nu´meros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.10. Representacio´nenlaesferadenu´merospositivosynegativos. . . . . . . 48
5.1. MultiplicadorQFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2. Bloquesumadorba´sico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3. Multiplicadordedosnu´merosaybden = 2bits. . . . . . . . . . . . . 63
5.4. Nu´mero de puertas empleadas por el multiplicador modular QFT y el
multiplicadorpropuestoen[VBE96]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
VIII ´INDICEDEFIGURAS
Cap´ıtulo 1
Introduccio´n
1.1. Motivacio´n y Objetivos
Un ordenador cua´ntico es una ma´quina es una ma´quina f´ısica que trabaja con esta-
dos de entrada que representan una superposicio´n coherente de posibles entradas y las
transforma en los correspondientes estados de salida que representan una superposicio´n
coherente de resultados [VBE96]. Como vemos, la funcio´n de los ordenadores cua´nticos
no difiere demasiado de la funcio´n de los ordenadores cla´sicos. Sin embargo, existe una
diferenciaentreambosordenadores,yesquelosordenadorescua´nticosinvocanintr´ınsica-
mentefeno´menosmeca´nico-cua´nticos[BCDP96]paraoperarsobrelosdatosdeentrada.
Esta caracter´ıstica de los ordenadores cua´nticos tiene entre sus consecuencias que
el proceso de computacio´n, es decir, la aplicacio´n sobre los estados de entrada de una
serie de operaciones unitarias, afecta de manera simulta´nea a todos los elementos que
componen la superposicio´n, lo que permite paralelizar el procesamiento de datos aunque
se cuente con una u´nica pieza de hardware cua´ntico [VBE96]. Esta capacidad de operar
sobre todos los elementos de la superposicio´n al mismo tiempo podr´ıa proporcionar, en
algunos casos, mayor velocidad de computacio´n con respecto a los ordenadores cla´sicos,
as´ıcomolaposibilidadderesolverproblemasqueenprincipiosonimposiblesderesolver
conunordenadorcla´sico.Deah´ınacepartedelintere´sporlacomputacio´ncua´ntica.
Losordenadorescua´nticostrabajanconunidadesdeinformacio´nllamadasqubits.Los
qubits el ana´logo cua´ntico al bit cla´sico, pero con alguna diferencia, pues los qubits son
sistemascua´nticosquecuentancondosestadosaccesiblesperoque,adema´spuedenexis-
tirenunasuperposicio´ndeambosestados[DiV95],mientrasquelosbitscla´sicossepue-
denencontraroenelestado0oenelestado1,peronoenunasuperposicio´ndeambos.
Sobre los qubits se pueden realizar operaciones, tal y como sucede con los bits cla´si-
cos. Sin embargo, las operaciones que se apliquen sobre los qubits deben ser operacio-
nes unitarias y reversibles, pues deben respetar las leyes de la meca´nica cua´ntica, como
explicaremos en el cap´ıtulo 2. Esta restriccio´n conlleva que algunas de las operaciones
lo´gicas que se realizan en computacio´n cla´sica no puedan reproducirse de forma directa
en computacio´n cua´ntica, como es el caso de la operacio´n lo´gica AND o la operacio´n
OR: estas puertas son irreversibles, pues leer un 1 a la salida no proporciona suficiente
1
2 Motivacio´nyObjetivos
informacio´n para conocer la entrada, que podr´ıa ser cualquiera de los pares (0,1), (1,0)
o (1,1) [VBE96]. Sin embargo, haciendo uso de las operaciones unitarias adecuadas, es
decir,delalo´gicacua´ntica,sepuededefinirunaoperacio´nopuertacua´nticaquede´ como
resultadolaoperacio´nAND[DiV95].
Puestoquenotodaslasoperacionesqueserealizanencomputacio´ncla´sicasepueden
reproducir de forma directa en computacio´n cua´ntica es necesario definir la aritme´tica
cua´ntica. Por ejemplo, en una operacio´n sencilla como puede ser la suma el algoritmo
cla´sicoquelaimplementanosepuedetrasladardeformadirectaaunalgoritmocua´ntico.
Estoesdebidoaquelasumaseimplementamediantelasoperacioneslo´gicasANDyOR,
quesonirreversibles,porloquenosonoperacionespermitidasencomputacio´ncua´ntica.
Figura1.1:Sumadorcla´sico.
Enestesentidosehanrealizadonumerosostrabajosqueproponencircuitoscua´nticos
que realizan la suma de dos nu´meros, representados por su expansio´n binaria de n bits.
Por ejemplo, en [BCDP96] se proponen varios circuitos cua´nticos para realizar la facto-
rizacio´n cua´ntica que incluyen un sumador, un sumador mo´dulo N y un multiplicador
mo´dulo N entre otros, con N = 2n. En [VBE96] se propone un sumador cua´ntico que
emula el esquema cla´sico pero haciendo uso de la lo´gica cua´ntica. Otras aproximaciones
implementanesquemasconte´cnicasdeacarreoalmacenado,comoen[Gos98]y[Zal98].
Todosellosesta´ninspiradosenlosesquemascla´sicosyrequierenalmenos3nqubitspara
sumardosnu´merosdenbits[Dra00].
En [Dra00] se propone un sumador cua´ntico que no se basa en el esquema cla´sico.
Este esquema hace uso de la transformada cua´ntica de Fourier o QFT. Haciendo uso de
este algoritmo, los nu´meros con los que se desea operar se codifican como desfases entre
los elementos que componen el registro. De esta manera transforma a en F(a) y luego lo
haceevolucionaraF(a+b).RealizandolaQFTinversaserecuperaelresultadodesumar
a y b. Este circuito utiliza 2n qubits para sumar dos nu´meros de n bits. Este circuito se
utilizaen[Bea02]paraimplementarelalgoritmodeShorparalafactorizacio´ncua´ntica.
SinembargoelsumadorQFT,talycomoesta´ definidoen[Dra00],enrealidadrealiza
lasumamo´duloN.AlhacerlaQFT−1 deF(a+b)recuperara´ obiena+bsia+b N
≤