Table Of Content

О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА И.С.Фещенко Аннотация. В работе изучаются необходимые и достаточные условия для того, чтобы сумма подпространств H1,...,Hn(n > 2) гильбертова пространства H бы- лаподпространством,атакжеразличныесвойстваn-окподпространствсзамкнутой 2 суммой. 1 0 2 n a 1. Введение J 4 Изучение систем L = (V;V ,...,V ) n подпространств V ,...,V линейного простран- 1 1 n 1 n ства V, в частности, описание неразложимых четвёрок подпространств V (с точно- ] стью до эквивалентности), описание неразложимых представлений в пространстве V A конечных частично упорядоченных множеств и т.д. являются классическими задача- F ми алгебры (см., например, библиографию в [28]). . h Пусть H —комплексное гильбертово пространство, а H , 1 6 i 6 n—набор его t i a подпространств. Изучение системы подпространств S = (H;H ,...,H ) гильберто- m 1 n ва пространства H (или, что тоже самое, наборов соответствующих ортопроекторов [ P ,...,P ) является важной задачей функционального анализа, которой посвящены 1 n 1 многочисленные публикации (см. например [28] и библиографию там). v 6 Пусть H —комплексное гильбертово пространство, H ,...,H —набор его подпро- 1 n 2 странств. Если dimH < , то сумма H + ... + H замкнута в H. В бесконечно- 0 ∞ 1 n мерном гильбертовом пространстве это утверждение, вообще говоря, неверно (да- 3 . же при n = 2 сумма H + H может не быть замкнутой). Поэтому естественной 1 1 2 0 есть задача про нахождение необходимых и достаточных условий (или только до- 2 статочных), при которых H + ... + H есть подпространством H (см. например 1 1 n : [17, 8, 6, 22, 3, 7, 18, 21, 11, 12, 24, 29]). v Системы подпространств с замкнутой суммой имеют многочисленные приложения: i X к построению статистических оценок (см. например [2]), к задачам квадратичного r a программирования ([21]), томографии ([18], [24]), паралельным вычислениям ([3]), алгоритмам для решения выпуклых задач существования (см. [1] и библиографию там), изучению сходимости произведений ортопроекторов (итерационного процесса) (см. [5];[15] и библиографию там), методам Шварца (численные методы, которые применяются, например, для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных (методы разбиения области)) (см. [16] и библиографию там), в подразделе 4.2 показана связь задачи про замкнутость суммы подпространств со свойством обратного наилучшего приближения системы подпространств (inverse best 1 2 И.С.Фещенко approximation property), которое имеет приложения к периодическим проекционным алгоритмам, гармоническому анализу, интегральным уравнениям, вейвлетам (см. [7]). Вразделах 2-5приведены необходимые идостаточныеусловия для того,чтобысум- ма подпространств H ,...,H гильбертова пространства H была подпространством, 1 n а также различные свойства n-ок подпространств с замкнутой суммой. Особое вни- мание уделено линейно независимым системам подпространств (см. раздел 4). В разделе 2 изучается задача о замкнутости суммы пары подпространств. Основ- нымрабочиминструментомявляетсяспектральнаятеоремадляпарыортопроекторов («представление» П. Халмоша для пары подпространств). В разделе 3 показано, как задача про замкнутость суммы n подпространств сво- дится к задаче про замкнутость суммы пары подпространств. Используя критерии замкнутости суммы пары подпространств, мы получаем критерии замкнутости сум- мы n подпространств. Вразделе 4 изучаются линейно независимые системы подпространств. В частности, доказано, что произвольная система n подпространств может быть «уменьшена» до линейно независимой системы подпространств с сохранением суммы подпространств (см. теоремы 4.2, 4.3). В разделе 5 изучается более общий объект чем система подпространств—система образов линейных непрерывных операторов. Такой подход позволяет получить новые критерии замкнутости суммы n подпространств, изучить некоторые свойства сумм n-ок подпространств H. Автор искренне признателен своему научному руководителю Ю.С.Самойленко, а также В.И.Рабановичу, А.В.Стрельцу за полезные советы и обсуждения результатов, приведённых в работе. Автор выражает благодарность С.Ф.Коляде за помощь при работе с литературой. Обозначения. В данной работе мы рассматриваем комплексные гильбертовы про- странства, которые, как правило, мы обозначаем буквами H,M,K. Отметим, что мы не накладываем дополнительных условий на размерность гильбертова пространства. Для гильбертова пространства H I —единичный оператор в H (или просто I, ес- H ли понятно, о каком гильбертовом пространстве идет речь); если A : H H —ли- → нейный непрерывный оператор, то σ(A) обозначает спектр оператора A. Некоторые ортогональные разложения гильбертовых пространств, рассмотреные в работе, могут содержать нулевые компоненты. Спектр оператора, определённого на такой компо- ненте, считаем равным пустому множеству. 2. Замкнутость суммы пары подпространств Задаче о замкнутости суммы пары подпространств посвящены многочисленные публикации (см. например [6, 8, 11, 12, 17, 21, 22]), некоторые критерии замкнуто- сти суммы пары подпространств уже стали математическим фольклором. Для получения критериев замкнутости суммы пары подпространств мы будем ис- пользоватьспектральнуютеоремудляпарыортопроекторов(«представление»П.Халмоша для пары подпространств). Многочисленные применения спектральной теоремы для О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 3 пары ортопроекторов содержатся в [4, 14]. Критерии замкнутости суммы пары под- пространств, сформулированые в терминах обобщённых обратных операторов Мура- Пенроуза, содержатся в [6]. Отметим, что задача про замкнутость суммы пары подпространств в некотором смысле является базовой—в разделе 3 мы покажем, как задача про замкнутость сум- мыnподпространствсводитсякзадачепрозамкнутостьсуммыпарыподпространств. 2.1. Спектральная теорема для пары ортопроекторов. Пусть H —комплексное гильбертово пространство, H и H —подпространства H. Будем говорить, что они 1 2 находятся в общем положении (по Халмошу) (см. [14]), если H H = H H⊥ = H⊥ H = H⊥ H⊥ = 0. 1 ∩ 2 1 ∩ 2 1 ∩ 2 1 ∩ 2 Теорема 2.1. [14] Пусть H и H —подпространства H, которые находятся в об- 1 2 щем положении, P ,P —соответствующие ортопроекторы. Тогда найдутся гиль- 1 2 бертово пространство K и ограниченный самосопряженный оператор a : K K, → 0 a = a∗ I , ker(a) = ker(I a) = 0 такие, что H = K K, а блочные K K ≤ ≤ − ⊕ разложения P и P имеют вид 1 2 I 0 a a(I a) P = K ,P = K − . 1 0 0 2 a(I a) I a (cid:18) (cid:19) (cid:18) K − p K − (cid:19) Наоборот, каждому такому операторpу a соответствуют определенные выше ор- топроекторы P и P на подпространства H и H гильбертова пространства H = 1 2 1 2 K K, которые находятся в общем положении. ⊕ Пусть теперь H и H —произвольные подпространства H. Тогда можем записать: 1 2 (2.1) H = (H H ) (H H⊥) (H⊥ H ) (H⊥ H⊥) H, 1 ∩ 2 ⊕ 1 ∩ 2 ⊕ 1 ∩ 2 ⊕ 1 ∩ 2 ⊕ (2.2) H = (H H ) (H H⊥) 0 0 H , e 1 1 ∩ 2 ⊕ 1 ∩ 2 ⊕ ⊕ ⊕ 1 (2.3) H = (H H ) 0 (H⊥ H ) 0 He , 2 1 ∩ 2 ⊕ ⊕ 1 ∩ 2 ⊕ ⊕ 2 где H ,H —подпространства H, которые находятся в общем положении. Непосред- 1 2 e ственно из теоремы 2.1 получаем следующую теорему. e e e Теорема 2.2. (спектральная теорема для пары ортопроекторов) Пусть H и H — 1 2 подпространства H,P ,P —соответствующиеортопроекторы. Тогданайдетсягиль- 1 2 бертово пространство K и ограниченный самосопряженный оператор a : K K, → 0 a = a∗ I , ker(a) = ker(I a) = 0 такие, что K K ≤ ≤ − (2.4) H = (H H ) (H H⊥) (H⊥ H ) (H⊥ H⊥) (K K), 1 ∩ 2 ⊕ 1 ∩ 2 ⊕ 1 ∩ 2 ⊕ 1 ∩ 2 ⊕ ⊕ а блочные разложения P и P имеют вид 1 2 I 0 (2.5) P1 = IH1∩H2 ⊕IH1∩H2⊥ ⊕0H1⊥∩H2 ⊕0H1⊥∩H2⊥ ⊕ 0K 0 , (cid:18) (cid:19) 4 И.С.Фещенко a a(I a) (2.6) P2 = IH1∩H2 ⊕0H1∩H2⊥ ⊕IH1⊥∩H2 ⊕0H1⊥∩H2⊥ ⊕ a(I a) I K −a . (cid:18) K − p K − (cid:19) Используяспектральноепредставлениесамосопряжpенного оператора aввидеспек- трального интеграла по разложению единицы E ( ) в K на (0,1), имеем: a · 1 0 P = I I 0 0 I , 1 H1∩H2 ⊕ H1∩H2⊥ ⊕ H1⊥∩H2 ⊕ H1⊥∩H2⊥ ⊕ 0 0 ⊗ K (cid:18) (cid:19) x x(1 x) P2 = IH1∩H2 ⊕0H1∩H2⊥ ⊕IH1⊥∩H2 ⊕0H1⊥∩H2⊥ ⊕ x(1 x) 1 −x ⊗dEa(x), Z(0,1)(cid:18) − p − (cid:19) где интеграл сходится равномерно. p Это представление для пары подпространств позволяет провести аналогию с дву- мерным случаем (dimK = 1). Действительно, существует и единственный само- сопряженный оператор Θ : K K, 0 6 Θ 6 πI , ker(Θ) = ker(πI Θ) = 0 → 2 K 2 K − (угловой оператор пары подпространств) такой, что a = cos2Θ, I a = sin2Θ. K − Тогда ортопроекторы имеют вид: I 0 P1 = IH1∩H2 ⊕IH1∩H2⊥ ⊕0H1⊥∩H2 ⊕0H1⊥∩H2⊥ ⊕ 0K 0 , (cid:18) (cid:19) cos2Θ cosΘsinΘ P = I 0 I 0 . 2 H1∩H2 ⊕ H1∩H2⊥ ⊕ H1⊥∩H2 ⊕ H1⊥∩H2⊥ ⊕ cosΘsinΘ sin2Θ (cid:18) (cid:19) Далеевразделе2мыбудемиспользоватьобозначениятеоремы2.2,атакже(2.1),(2.2),(2.3). 2.2. Классические критерии замкнутости суммы пары подпространств как следствия спектральной теоремы для пары ортопроекторов. В этом подраз- деле собраны критерии замкнутости суммы пары подпространств, которые были по- лучены многими авторами и относятся к математическому фольклору. Наша цель— показать, что применяя спектральную теорему для пары ортопроекторов, эти крите- рии доказываются несложно и единообразно. Утверждение 2.1. Следующие условия равносильны: (1) H +H замкнуто, 1 2 (2) 1 / σ(a), ∈ (3) σ(P P ) (1 ε,1) = ∅ для некоторого ε > 0, 1 2 ∩ − (4) P P P < 1, k 1 2 − H1∩H2k (5) H⊥ +H⊥ замкнуто, 1 2 (6) Im((I P )P ) замкнуто, 1 2 − (7) Im(I P P ) замкнуто. 1 2 − Доказательство. 1. Сумма H + H замкнута тогда и только тогда, когда H + H 1 2 1 2 замкнуто в H = K K. Поскольку H = (x,0), x K , H = (√ax,√I ax), x 1 2 ⊕ { ∈ } { − ∈ K , то H + H = (x,√I ay), x,y K . Так как ker(I a) = 0, то He + He 1 2 1 2 } { − ∈ } − плотно в K eK, и замкнуто тогда и eтолько тогда, когда Ime√I a = K. Это условие ⊕ − e e e e О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 5 равносильно обратимости I a. Таким образом, H + H замкнуто тогда и только 1 2 − тогда, когда 1 / σ(a). ∈ a a(I a) 2. Поскольку P1P2 = I ⊕0⊕0⊕0⊕ 0 0− , то σ(P1P2) совпадает с σ(a) (cid:18) p (cid:19) с точностью до точек 0,1. Предположим, что 1 / σ(a). Тогда для некоторого ε > 0 ∈ σ(a) [0,1 ε],а поэтому σ(P P ) (1 ε,1) = ∅. Наоборот,пусть σ(P P ) (1 ε,1) = 1 2 1 2 ⊂ − ∩ − ∩ − ∅ для некоторого ε > 0. Тогда σ(a) (1 ε,1) = ∅. Поскольку ker(I a) = 0 и ∩ − − изолированная точка спектра самосопряженного оператора является его собственным значением, то 1 / σ(a). ∈ a 0 3. Ясно, что P P P P = 0 0 0 0 . Используя равенство A 2 = 1 2 1− H1∩H2 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ 0 0 k k (cid:18) (cid:19) AA∗ , получим k k P P P 2 = P P P P = a . k 1 2 − H1∩H2k k 1 2 1 − H1∩H2k k k Поэтому 1 / σ(a) тогда и только тогда, когда P P P < 1. ∈ k 1 2 − H1∩H2k 4.Изформул(2.5),(2.6)следует, чтоσ((I P )(I P ))совпадаетсσ(a) сточностью 1 2 − − до точек 0,1. Поэтому σ((I P )(I P )) совпадает с σ(P P ) с точностью до точек 1 2 1 2 − − 0,1. Отсюда следует нужное утверждение. 5. Из формул (2.5), (2.6) следует, что Im((I P )P ) = 0 0 H⊥ H 0 (0 Im√I a). − 1 2 ⊕ ⊕ 1 ∩ 2 ⊕ ⊕ ⊕ − Поэтому Im((I P )P ) замкнуто тогда и только тогда, когда Im√I a замкнуто. 1 2 − − Последнее равносильно 1 / σ(a). ∈ 6. Обозначим P ,P ортопроекторы на H ,H . Im(I P P ) замкнут тогда и только 1 2 1 2 1 2 − тогда, когда Im(I P P ) замкнут. Поскольку 1 2 − e e e e Im(I P P ) = ((I a)y a(I a)z,z), y,z K , 1 2 e−e { − − − ∈ } последнее условие равносильно замкнутостиpIm(I a), т.е. 1 / σ(a). (cid:3) e e − ∈ Пример 2.1. Пусть 0 = τ < τ < ... < τ < τ = 1, а P ,P удовлетворяют 0 1 n n+1 1 2 равенству n+1(P P P τ P ) = 0 k=0 1 2 1 − k 1 Поскольку блочные разложения P ,P имеют вид (2.5), (2.6), то 1 2 Q a τI 0 P P P τP = (1 τ)I τI 0 0 − . 1 2 1 − 1 − ⊕− ⊕ ⊕ ⊕ 0 0 (cid:18) (cid:19) Поэтому n+1(a τ I) = 0,т.е. σ(a) τ ,...,τ (напомним,что ker(a) = ker(I a) = k=0 − k ⊂ { 1 n} − 0). Поэтому H +H —подпространство. 1 2 Q Дадим условие замкнутости суммы пары подпространств в терминах угла (по Фри- дрихсу) между ними. Определение 2.1. (см. [11]) Углом γ = γ(H ,H ), 0 6 γ 6 π/2, между подпростран- 1 2 ствами H ,H назовём угол, определённый равенством 1 2 cosγ = sup (x,y) , x H (H H ), x = 1, y H (H H ), y = 1 . 1 1 2 2 1 2 {| | ∈ ⊖ ∩ k k ∈ ⊖ ∩ k k } 6 И.С.Фещенко Если H H или H H , то полагаем cosγ = 0, т.е. γ = π/2. 1 2 2 1 ⊂ ⊂ Пусть x = (0,x ,0,0,z ,0) H (H H ), тогда x 2 = x 2 + z 2 = 1. Далее, 2 1 1 1 2 2 1 ∈ ⊖ ∩ k k k k k k пусть y = (0,0,x ,0,√az ,√1 az ) H (H H ), тогда y 2 = x 2 + z 2 = 3 2 2 2 1 2 3 2 − ∈ ⊖ ∩ k k k k k k 1. Тут векторы записаны покомпонентно относительно ортогонального разложения H (2.4). Тогда (x,y) = (z ,√az ). Отсюда легко получаем cosγ = a . Выше мы 1 2 k k доказали, что H +H замкнуто тогда и только тогда, когда a < 1. Таким образом, 1 2 k k p мы доказали следующее утверждение. Утверждение 2.2. H +H замкнуто тогда и только тогда, когда γ(H ,H ) > 0. 1 2 1 2 Замечание 1. ВтерминахугловогооператораΘ(см.теорему2.2)уголγ = min λ, λ { ∈ σ(Θ) . } Следующее утверждение касается линейно независимых пар подпространств, т.е. таких, что H H = 0. 1 2 ∩ Утверждение 2.3. Следующие утверждения эквивалентны: (1) H H = 0 и H +H замкнуто, 1 2 1 2 ∩ (2) P P < 1, 1 2 k k (3) существует ε > 0, такое, что (x,y) 6 1 ε для произвольных x H , y 1 | | − ∈ ∈ H , x = y = 1, 2 k k k k (4) существует ε > 0, такое, что x + y 2 > ε( x 2 + y 2) для произвольных k k k k k k x H ,y H , 1 2 ∈ ∈ (5) существует ε > 0, такие, что (I P )x > ε x для произвольного x H . 1 2 k − k k k ∈ Доказательство. Равносильность (1),(2),(3) следует из утверждений 2.1, 2.2. (3) (4). ⇔ Пусть выполнено (3). Тогда для произвольных x H ,y H имеем: x + y 2 = 1 2 ∈ ∈ k k x 2 + y 2+2Re(x,y) > ε( x 2 + y 2). k k k k k k k k Пусть выполнено (4). Рассмотрим произвольные x H ,y H , x = y = 1. Для 1 2 ∈ ∈ k k k k произвольных комплексных t ,t имеем: t x + t y 2 > ε( t 2 + t 2), т.е. эрмитова 1 2 1 2 1 2 k k | | | | 1 ε (x,y) матрица − неотрицательно определена. Поэтому (x,y) 6 1 ε. (y,x) 1 ε | | − (cid:18) − (cid:19) (1) (5). ⇔ Пусть выполнено (1). Тогда в ортогональном разложении H (2.4) компонента H 1 ∩ H отсутствует. Пусть x = (0,y,0,√az,√I az) H , тогда x 2 = y 2 + z 2. 2 2 − ∈ k k k k k k Поскольку (I P )x = (0,y,0,0,√I az), то (I P )x 2 = y 2 + ((I a)z,z). Так 1 1 − − k − k k k − как 1 / σ(a), то для некоторого ε > 0 I a > ε2I, а тогда (I P )x > ε x . 1 ∈ − k − k k k Пусть выполнено (5). Очевидно, H H = 0. Из предыдущих рассуждений I a > 1 2 ∩ − ε2I, откуда 1 / σ(a). (cid:3) ∈ Следующее утверждение доказано в [18] для подпространств пространства Фреше. Мы приведём простое доказательство с помощью спектральной теоремы для пары ортопроекторов. Обозначим S (H) множество компактных операторов в H. ∞ О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 7 Утверждение 2.4. Если P P компактный, то H +H замкнуто и P = P +P 1 2 1 2 H1+H2 1 2 (mod S (H)). ∞ Доказательство. Поскольку P P компактный, то dim(H H ) < и a S (H). 1 2 1 2 ∞ ∞ ∈ Поскольку ker(I a) = 0, то 1 / σ(a), а поэтому сумма H +H замкнута. Имеем: 1 2 − ∈ T I +a a(I a) P1 +P2 = 2IH1∩H2 ⊕IH1∩H2⊥ ⊕IH1⊥∩H2 ⊕0H1⊥∩H2⊥ ⊕ a(KI a) I K −a , (cid:18) K − p K − (cid:19) I 0 PH1+H2 = IH1∩H2 ⊕IH1∩H2⊥ ⊕IH1⊥∩H2 ⊕0H1⊥∩H2⊥ ⊕ 0Kp IK . (cid:18) (cid:19) Поэтому P = P +P (mod S (H)). (cid:3) H1+H2 1 2 ∞ 2.3. Условие замкнутости H + H в терминах свойств функций от P ,P . 1 2 1 2 Пусть f (x),f (x),f (x),f (x)—непрерывные на [0,1] комплекснозначные функции. 1 2 3 4 Определим оператор (2.7) b = P f (P P P )+P f (P P P )+P P f (P P P )+P P f (P P P ). 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 1 4 1 2 1 Замечание 2. Алгебра, порожденная ортопроекторами P ,P имеет вид (P ,P ) = 1 2 1 2 A b , где f ,f ,f ,f пробегают множество полиномов. 1 2 3 4 { } Сужения оператораbнакомпонентыортогональногоразложения H (2.4)обозначим b ,b ,b ,b ,b.Спектрσ(b)являетсяобъединениемспектровоператоровb ,b ,b ,b ,b. 1,1 1,0 0,1 0,0 1,1 1,0 0,1 0,0 На компоненте H H P = P = I, а поэтому b = (f (1)+f (1)+f (1)+f (1))I. 1 2 1 2 1,1 1 2 3 4 ∩ НакомпонентеHe H⊥ P = I,P = 0,а поэтомуb = f (0)I.НакомпонентеH⊥ H e 1∩ 2 1 2 1,0 1 1 2 P = 0,P = I,апоэтомуb = f (0)I.Накомпоненте H⊥ H⊥ P = P = 0,а поэтому 1 2 0,1 2 1 2 1 2 T b = 0. Рассмотрим компоненту K K. Сужения ортопроекторов P ,P на K K 0,0 1 2 ⊕ T ⊕ равны I 0 a a(I a) P = ,P = − , 1 0 0 2 a(I a) I a (cid:18) (cid:19) (cid:18) − p − (cid:19) а поэтому e e p a a(I a) a 0 P1P2 = 0 0− ,P2P1 = a(I a) 0 (cid:18) p (cid:19) (cid:18) − (cid:19) и e e e e p a 0 a2 a a(I a) P P P = = aP , P P P = − = aP . 1 2 1 0 0 1 2 1 2 a a(I a) a(I a) 2 (cid:18) (cid:19) (cid:18) − p − (cid:19) e e e e e e e p a 0 e Тут умножение на a означает умножение на оператор . Для непрерывной на 0 a (cid:18) (cid:19) [0,1] комплекснозначной функции f(x) имеем: P f(P P P ) = f(a)P , P f(P P P ) = f(a)P . 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 e e e e e e e e e e 8 И.С.Фещенко Поэтому b = f (a)P +f (a)P +f (a)P P +f (a)P P = 1 1 2 2 3 1 2 4 2 1 f (a)+af (a)+af (a)+af (a) a(I a)(f (a)+f (a)) e= 1 e 2 e 3 e e4 e e− 2 3 a(I a)(f (a)+f (a)) (I a)f (a). (cid:18) − 2 4 p − 2 (cid:19) Определим функцииpT(x) = f (x)+f (x)+x(f (x)+f (x)) иD(x) = (1 x)(f (x)f (x) 1 2 3 4 1 2 − − xf (x)f (x)), x [0,1]. У операторной матрицы 2 2, задающей b, компоненты комму- 3 4 ∈ × тируют, её операторный след (сумма диагональных элементов) равен T(a), а опера- торный определитель D(a). Оператор λI b не обратим тогдаeи только тогда, когда − операторный определитель операторной матрицы 2 2, задающей λI b, не обратим × − (см. [29], задача 55). Этот операторный опрeеделитель равен λ2I λT(a)+D(a). По- − скольку функции T(x),D(x) непрерывны, по теореме об отображение спеeктра σ(λ2I − λT(a)+D(a)) = λ2 T(x)λ+D(x), x σ(a) . Таким образом, σ(b)—множество ре- { − ∈ } шений уравнения λ2 T(x)λ+D(x) = 0, когда x пробегает σ(a). − Сумма H +H замкнута тогда и только тогда, когда 1 / σ(a).eТеперь мы готовы 1 2 ∈ сформулироватькритерийзамкнутостиH +H втерминахспектраb(напомним,чтоb 1 2 заданформулой (2.7)).Определим функцию F(x) = f (x)f (x) xf (x)f (x), x [0,1]. 1 2 3 4 − ∈ Утверждение 2.5. Пусть функция F(x) не обращается в 0 на [0,1). Тогда: (1) сумма H + H замкнута тогда и только тогда, когда существует ε > 0, 1 2 такое, что σ(b) ( z C, z < ε 0 ) = ∅; ∩ { ∈ | | }\{ } (2) пусть дополнительно f (1) + f (1) + f (1) + f (1) = 0; сумма H + H = H 1 2 3 4 1 2 6 тогда и только тогда, когда оператор b обратим. Доказательство. Докажем (1). Предположим, 1 / σ(a). Тогда существует m > 0, для которого D(x) > m , x 1 1 ∈ | | ∈ σ(a). Существует m , такое, что для произвольного x σ(a) T(x) 6 m . Отсюда 2 2 ∈ | | легко следует существование искомого ε > 0. Предположим, 1 σ(a). Поскольку изолированная точка спектра самосопряженно- ∈ го оператора есть его собственным значением и ker(I a) = 0, то существует последо- − вательность x σ(a), j > 1, сходящаяся к 1, причём для всех j > 1 x < 1. Теперь из j j ∈ теоремы о непрерывной зависимости корней полинома от его коеффициентов следует существование последовательности λ σ(b) σ(b), сходящейся к 0, причём для всех j ∈ ⊂ j > 1 λ = 0. j 6 Докажем (2). e Пусть H +H = H. Тогда H⊥ H⊥ = 0. Спектры σ(b ) = f (1)+f (1)+f (1)+ 1 2 1 ∩ 2 1,1 1 2 3 f (1) = 0, σ(b ) = f (0) = 0, σ(b ) = f (0) = 0 (тут равенства написаны при условии, 4 1,0 1 0,1 2 6 6 6 что соответствующий спектр непустой). Поскольку 1 / σ(a), то 0 / σ(b). Поэтому b ∈ ∈ обратим. Пусть b обратим. Тогда Im(b) = H. Из определения b следует, что Im(eb) H +H . 1 2 ⊂ Поэтому H +H = H. (cid:3) 1 2 О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 9 Пример 2.2. Пусть f (x) = f (x) = 1,f (x) = f (x) = 0. Тогда оператор b = P +P 1 2 3 4 1 2 неотрицателен. Сумма H +H замкнута тогда итолько тогда,когда существует ε > 0, 1 2 такое, что σ(P + P ) (0,ε) = ∅. Сумма H + H = H тогда и только тогда, когда 1 2 1 2 ∩ существует ε > 0, такое, что P +P > εI. 1 2 Пример 2.3. Пусть f = τ ,f = τ ,f = f = 0, где τ ,τ —действительные числа, 1 1 2 2 3 4 1 2 отличные от 0. Используя выражение для спектра τ P +τ P , условие замкнутости 1 1 2 2 H + H можно сформулировать точнее, чем в утверждении 2.5: сумма H + H — 1 2 1 2 подпространство тогда и только тогда, когда существует ε > 0 такое, что: (1) если τ > 0,τ > 0 то σ(τ P +τ P ) (0,ε) = ∅ 1 2 1 1 2 2 ∩ (2) если τ < 0,τ < 0 то σ(τ P +τ P ) ( ε,0) = ∅ 1 2 1 1 2 2 ∩ − (3) если τ ,τ имеют разный знак и τ +τ > 0 то σ(τ P +τ P ) ( ε,0) = ∅ 1 2 1 2 1 1 2 2 ∩ − (4) если τ ,τ имеют разный знак и τ +τ 6 0 то σ(τ P +τ P ) (0,ε) = ∅. 1 2 1 2 1 1 2 2 ∩ Утверждение 2.6. Пусть функция F(x) не обращается в 0 на [0,1). H + H за- 1 2 мкнуто тогда и только тогда, когда Im(b) замкнут. Доказательство. Im(b) замкнут тогда и только тогда, когда Im(b) замкнут. Из тео- ремы Дугласа (см. [9], а также раздел 5.1 данной работы) следует, что Im(b) = Im(b(b)∗)1/2. Поэтому Im(b) является подпространством тогда и тeолько тогда, когда для некоторого ε > 0 σ(b(b)∗) (0,ε) = ∅. e ∩ 1e. eПусть H + H —подпространство, т.е. 1 / σ(a). Тогда оператор b обратим, а 1 2 ∈ поэтому Im(b) = H. ee 2. Пусть теперь H +H не является подпространством, т.е. 1 σ(a).eСуществует 1 2 ∈ последователeьносeть x σ(a), x 1, причём x < 1, k > 1. Операторный определи- k k k ∈ → тель блочной 2 2 матрицы, задающей b(b)∗ равен D (a), где D (x) = (1 x)2 F(x) 2, 1 1 × − | | а её операторный след равен T (a) для некоторой (её явный вид нам не нужен) непре- 1 рывной на [0,1] функции T (x). Спектрeоeператора b(b)∗ есть множество решений λ 1 уравнения λ2 T (x)λ + D (x) = 0, когда x пробегает σ(a). Теперь из теоремы про 1 1 − непрерывную зависимость корней полинома от его коeеeффициентов следует существо- вание последовательности λ σ(b(b)∗), сходящейся к 0, причём для всех j > 1 λ = 0. j j ∈ 6 Поэтому Im(b)—не подпространство. (cid:3) ee Утверждение 2.7. Предположим, что Im(b) = H + H . Тогда H + H —подпро- 1 2 1 2 e странство. e e e Доказательство. Пусть Im(b) = H +H . Из теоремы Дугласа (см.[9], а также раздел 1 2 5.1 данной работы) следует, что существует ε > 0, такое, что b(b)∗ > ε(P +P ). Для 1 2 x [0,1] определим следующeие (2e 2)e-матрицы: ∈ × ee e e f (x)+xf (x)+xf (x)+xf (x) x(1 x)(f (x)+f (x)) b(x) = 1 2 3 4 − 2 3 x(1 x)(f (x)+f (x)) (1 x)f (x). (cid:18) − 2 4 p − 2 (cid:19) и e p 1 0 x x(1 x) P (x) = ,P (x) = − . 1 0 0 2 x(1 x) 1 x (cid:18) (cid:19) (cid:18) − p − (cid:19) e e p 10 И.С.Фещенко Тогда для каждого x σ(a) b(x)(b(x))∗ > ε(P (x)+P (x)), а поэтому det(b(x)(b(x))∗) > 1 2 ∈ ε2det(P (x)+P (x)). Поэтому (1 x)2 F(x) 2 > ε2(1 x), т.е. (1 x) F(x) 2 > ε2 для 1 2 − | | − − | | всякого x σ(a) 1 . Поэтоeму 1e/ σ(a), чтeо означeает замкнутость H +e H .e (cid:3) 1 2 ∈ \{ } ∈ e e Следствие 2.1. Если Im(b) = H +H , то H +H —подпространство. 1 2 1 2 Следствие 2.2. Пусть F(x) не обращается в 0 на [0,1) и H H = 0. Сумма 1 2 ∩ H +H —подпространство тогда и только тогда, когда Im(b) = H +H . 1 2 1 2 Следствие 2.3. Пусть F(x) не обращается в 0 на [0,1) и f (1)+f (1)+f (1)+f (1) = 1 2 3 4 6 0. Сумма H +H —подпространство тогда и только тогда, когда Im(b) = H +H . 1 2 1 2 Следствие 2.4. Пусть F(x) не обращается в 0 на [0,1). Сумма H +H —подпро- 1 2 странство тогда и только тогда, когда Im(b) (H +H ) (H H )⊥. 1 2 1 2 ⊃ ∩ В дальнейшем нам понадобится свойство «почти» симмеTтричности σ(b). Из полу- ченых формул для σ(b) следует следующее утверждение. Утверждение 2.8. Пусть функция f (x) + f (x) + x(f (x) + f (x)) = c, x [0,1]. 1 2 3 4 ∈ Тогда σ(b) «почти» симметричен относительно точки c/2: если λ σ(b) и λ / ∈ ∈ 0,f (0),f (0),c , то (c λ) σ(b). 1 2 { } − ∈ 3. Сведение задачи про замкнутость суммы n подпространств к задаче про замкнутость суммы пары подпространств 3.1. Пусть H ,...,H —подпространства гильбертова пространства H, P ,...,P — 1 n 1 n соответствующие ортопроекторы. Введём в рассмотрение гильбертово пространство X = H ... H. Определим в ⊕ ⊕ n нём подпространства ∆ = (x,...,x), x H , а также подпространство H = H 1 { ∈ } | {z } ⊕ ... H . Соответствующие ортопроекторы имеют вид n ⊕ 1I ... 1I e n H n H P = .............. , P = diag(P ,...,P ). ∆ 1I ... 1I  He 1 n n H n H   Поскольку n ∆⊥ = (x ,...,x ), x H, 1 6 k 6 n, x = 0 1 n k k { ∈ } k=1 X то n ∆⊥ +H = (x ,...,x ), x H +...+H . 1 n k 1 n { ∈ } k=1 X Отсюда вытекает следуюeщее утверждение: Утверждение 3.1. n H замкнуто тогда и только тогда, когда ∆⊥+H замкну- k=1 k то. n H = H тогда и только тогда, когда ∆⊥ +H = X. k=1 k P e P e