Table Of Content

1 Р.Р. Салимов (Институт математики НАН Украины), Е.А. Севостьянов, А.А. Маркиш (Житомирский государственный университет имени И. Франко) Р.Р. Салiмов (Iнститут математики НАН України), Є.О. Севостьянов, А.О. Маркиш (Житомирський державний унiверситет iменi I. Франко) 7 R.R. Salimov (Institute of Mathematics of NAS of Ukraine), 1 0 E.A. Sevost’yanov, A.A. Markysh (Zhytomyr Ivan Franko State University) 2 Об оценке искажения расстояния снизу для одного класса отображений n a J Изучаетсяповедениеодногоподклассаотображенийсконечнымискажениемвокрест- 4 ности начала координат. При определённых условиях на характеристику квазикон- 2 формности установлена оценка искажения расстояния снизу для таких отображений. ] V Про оцiнку спотворення вiдстанi знизу для одного класу вiдображень C Вивчається поведiнка одного пiдкласу вiдображень зi скiнченним спотворенням у . h t околi початку координат. За певних умов на характеристику квазiконформностi вста- a m новлено оцiнку спотворення вiдстанi знизу для таких вiдображень. [ On lower estimate of distortion of a distance for one class of mappings 2 v A behavior of one class of mappings with finite distortion at a neighborhood of the origin 5 is investigated. There is proved a lower estimate of distortion of a distance under mappings 7 1 mentioned above. 6 0 . 1 0 7 1 : v i X r a 2 1. Введение. Основные определения и терминология могут быть найдены в моно- графиях [1], [2] и статье [3]. Отметим, что в сравнительной недавней статье первых двух авторов [4] установлена некоторая оценка искажения расстояния, доказанная в случае квазиконформных отображений К. Икома [5]. Некоторые близкие результаты по этому поводу могут быть найдены также в работах [6] и [7]. В частности, в по- следних двух работах речь идёт об отображениях с неограниченной характеристикой относительно p-модуля, где n − 1 < p 6 n, что шире обычно рассматриваемого «кон- формного» случая p = n. В данной заметке рассматривается несколько иной случай, когда p > n. Как будет показано ниже, в этой ситуации мы имеем дело с оценкой соответствующей величины снизу, что существенно отличает её от вышеупомянутого случая n − 1 < p 6 n. Причиной указанного отличия является иное поведение ёмко- сти при рассматриваемом ограничении её показателя (см. неравенство (8.8) в [8]). В случае ограниченной p-характеристики гомеоморфизмы упомянутого класса исследо- вались Ф. Герингом [9]. Напомним определения. Здесь и далее D – область в Rn, n > 2, m – мера Лебега в Rn, отображение f : D → Rn, x = (x ,...,x ), f(x) = (f (x),...,f (x)), предполагается 1 n 1 n непрерывным. Напомним, что семейством кривых Γ подразумевается некоторый фик- сированный набор кривых γ, а f(Γ) = {f ◦γ|γ ∈ Γ}. Следующие определения могут быть найдены, напр., в [10, разд. 1–6, гл. I]. Всюду далее A(x ,r ,r ) = {x ∈ Rn : r < |x−x | < r },S(x ,r) = {x ∈ Rn : |x−x | = r}, 0 1 2 1 0 2 0 0 B(x ,r) = {x ∈ Rn : |x−x | < r}, Bn := B(0,1), Sn−1 := S(0,1), 0 0 Ω – объём единичного шара Bn в Rn, а ω – площадь единичной сферы Sn−1 в Rn. n n−1 Для произвольных множеств E, F ⊂ Rn := Rn ∪ {∞} через Γ(E,F,D) в дальнейшем обозначается семейство всевозможных кривых γ : [a,b] → Rn, соединяющих E и F в D (т.е., γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a,b)). Борелева функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства Γ кривых γ в Rn, если ρ(x) |dx| > 1 для γ всех кривых γ ∈ Γ. В этом случае мы пишем: ρ ∈ admΓ. ПусRть p > 1, тогда p – модулем семейства кривых Γ называется величина M (Γ) = inf ρp(x) dm(x). p ρ∈admΓ D Пусть x ∈ D, r = dist(x ,∂D), Q : D → [0,∞] – некоторая заданнаяRизмеримая по 0 0 0 Лебегу функция. Обозначим через S := S(x ,r ), где 0 < r < r < ∞. Предположим, i 0 i 1 2 что отображение f удовлетворяет для каждых 0 < r < r < r = dist(x ,∂D) условию 1 2 0 0 M (f (Γ(S , S , A))) 6 Q(x)·ηp(|x−x |)dm(x), p 1 2 0 Z A выполненному для произвольной измеримой по Лебегу функции η : (r ,r ) → [0,∞] 1 2 r2 такой, что η(r)dr > 1, где A = A(x ,r ,r ) – сферическое кольцо с центром в точке x 0 1 2 0 r1 радиусов rRиr .Тогда будемговорить,чтоf являетсякольцевым (p,Q)-отображением 1 2 в точкеx ∈ D.Внастоящейработенамиустанавливаетсясправедливостьследующего 0 результата. 3 Теорема 1. Пусть n > 2, n < p < ∞, f : Bn → Bn – открытое дискретное коль- цевое (p,Q)-отображение и f(0) = 0. Предположим, что Q : Bn → [0, ∞] – локально интегрируемая функция в Bn, удовлетворяющая условию 1 Q = liminf Q(x)dm(x) > 0. (1) 0 ε→0 Ωn ·εn Z B(0,ε) Тогда имеет место оценка: |f(x)| 1 limsup > c Qn−p , |x| 0 0 x→0 где c – некоторая положительная постоянная, зависящая только от размерности про- 0 странства n и p. 2. Вспомогательные результаты. Оценка верхнего предела одной функции. Следуя работе [11, раздел 5], пару E = (A,C), где A ⊂ Rn – открытое множество и C – непустое компактное множество, содержащееся в A, называем конденсатором в Rn. Говорят также, что конденсатор E = (A,C) лежит в области D, если A ⊂ D. Очевидно, что если f : D → Rn – непрерывное открытое отображение и E = (A,C) – конденсатор в D, то f(E) := (f(A),f(C)) также является конденсатором в f(D). ОбозначимчерезC (A)множествовсехнепрерывных функцийu : A → R1 скомпакт- 0 ным носителем, W (E) = W (A,C) – семейство неотрицательных функций u : A → R1 0 0 таких, что 1) u ∈ C (A), 2) u(x) > 1 для x ∈ C и 3) u принадлежит классу ACL. Также 0 n 2 1/2 обозначим |∇u| = ∂u . При p > 1 величину ∂xi (cid:18)i=1 (cid:19) (cid:16) (cid:17) P cap E = cap (A,C) = inf |∇u|pdm(x) p p u∈W0(E) Z A называют p-ёмкостью конденсатора E. При n < p < ∞ p−1 p p−n p−n p−n 1−p cappE = capp(A,C) > nΩnn p−1 (m(A))n(p−1) −(m(C))n(p−1) , (2) (cid:18) (cid:19) (cid:16) (cid:17) где Ω - объем единичного шара в Rn, см., напр., [8, неравенство (8.7)]. n Пусть Q : D → [0,∞] – измеримая по Лебегу функция. Тогда положим 1 q (r) = Q(x)dHn−1, x0 ω rn−1 n−1 Z S(x0,r) где Hn−1 – (n−1)-мерная мера Хаусдорфа. Следующая лемма при p ∈ (1,n] доказана в [4, лемма 1]. В случае произвольного p > 1 её доказательство дословно повторяет рассуждения, относящиеся к случаю p ∈ (1,n], и потому опускается. Лемма 1. Пусть n > 2, p > 1, Q : D → [0,∞] – заданная измеримая по Лебегу функция, f : D → Rn – открытое дискретное кольцевое (p,Q)-отображение в точке 4 x ∈ D и E – конденсатор вида E = B(x ,r ),B(x ,r ) , 0 < r < r < dist(x ,∂D). 0 0 2 0 1 1 2 0 Полагаем (cid:16) (cid:17) r2 dr I = I(x ,r ,r ) = . (3) 0 1 2 rZ1 rnp−−11qxp0−11(r) Тогда для конденсатора f(E) = f (B(x ,r )),f B(x ,r ) выполнено соотношение 0 2 0 1 (cid:16) (cid:16) (cid:17)(cid:17) ω cap f(E) 6 n−1 . (4) p Ip−1 Аналог следующей леммы доказан в [4, лемма 5]. Лемма 2. Пусть f : Bn → Bn, n > 2, – открытое отображение, удовлетворяющее условию f(0) = 0. Предположим, что существует функция R : [0,1] → [0,∞), такая что m(f(B(0,r))) > Ω Rn(r). (5) n Тогда |f(x)| limsup > 1. R(|x|) x→0 Доказательство. Полагаем max|f(x)| = L (r). Покажем, что f |x|=r f (B(0,r)) ⊂ B(0,L (r)) (6) f прикаждомr ∈ (0,1).Дляэтогозафиксируем r ∈ (0,1)иобозначимM := sup |y|. 0 y∈f(B(0,r0)) По определению точной верхней грани, найдётся последовательность y ∈ f(B(0,r )), k 0 y → M при k → ∞. Тогда y = f(x ), x ∈ B(0,r ). Так как B(0,r ) – компакт в Bn, k k k k 0 0 мы можем считать, что при некотором x ∈ B(0,r ) выполнено условие x → x при 0 0 k 0 k → ∞. Поскольку f – непрерывное отображение в Bn, то f(x ) → f(x ) при k → ∞, k 0 так что f(x ) = y . Таким образом, y ∈ f(B(0,r )). Значит, 0 0 0 0 M := max |y| = |y |, y ∈ f(B(0,r )). (7) 0 0 0 y∈f(B(0,r0)) Заметим, что в силу открытости отображения f случай y ∈ f(B(0,r )) невозможен. В 0 0 самом деле, если бы y ∈ f(B(0,r )), то тогда y входило бы во множество f(B(0,r )) 0 0 0 0 вместе с некоторой своей окрестностью B(y ,δ), кроме того, y 6= 0 ввиду открытости 0 0 отображения f. Представим y в виде: y = |y | · y0 . Тогда вектор y := (|y | + δ/2) · 0 0 0 |y0| 0 0 y0 имеет модуль больший, чем y и всё ещё лежит в f(B(0,r )). Однако, последнее |y0| 0 0 противоречит определению y . Полученное противоречие указываетeна то, что y 6∈ 0 0 f(B(0,r )) и, значит, y ∈ ∂f(B(0,r )). В частности, отсюда следует, что 0 0 0 |f(x)| < M ∀x ∈ B(0,r ). (8) 0 Поскольку y ∈ ∂f(B(0,r )), в силу открытости отображения f имеем: y ∈ f(S(0,r )). 0 0 0 0 5 Итак, y = f(x ), где x ∈ S(0,r ). В таком случае, ввиду соотношений (7) и (8) для 0 0 0 0 всякого x ∈ B(0,r ) мы получим, что 0 |f(x)| < M = |y | = |f(x )| 6 sup |f(x)| = L (r ), 0 0 f 0 x∈S(0,r0) так что f(x) ∈ B(0,L (r )). Включение (6) установлено. f 0 Из соотношения (6), учитывая условие f(0) = 0, имеем Ω Ln(r) > m(f(B(0,r))) и, n f следовательно, 1 m(f(B(0,r))) n L (r) > . (9) f Ω (cid:18) n (cid:19) Таким образом, учитывая неравенства (5) и (9), получаем 1 |f(x)| L (r) m(f(B(0,r))) n 1 limsup = limsup f > limsup · > 1. R(|x|) R(r) Ω R(r) x→0 r→0 r→0 (cid:18) n (cid:19) Лемма 2 доказана. ✷ 3. Доказательство основного результата. Доказательство теоремы 1. Рассмот- рим кольцо A = A(0,ε ,ε ), 0 < ε < ε < 1. Пусть E – конденсатор вида E = 1 2 1 2 B(0,ε ),B(0,ε ) . Положим 2 1 (cid:16) (cid:17) 1 η (r) = , 0 Irnp−−11qxp0−11(r) где I – величина, определённая в (3). Согласно [12, лемма 2.2]) ω n−1 = Q(x)·ηp(|x−x |) dm(x) 6 Q(x)·ηp(|x−x |) dm(x) (10) Ip−1 0 0 0 Z Z A A для фиксированной измеримой функции Q : Rn → [0,∞] такой, что q (r) 6= ∞ для п.в. x0 r2 r > 0, и любой функции η : (r ,r ) → [0,∞] такой, что η(r)dr = 1. Ввиду леммы 1 и 1 2 r1 соотношения (10) неравенство R cap f(E) 6 Q(x)·ηp(|x−x |)dm(x) (11) p 0 Z A будет выполнено для произвольной измеримой по Лебегу функции η : (ε ,ε ) → [0,∞] 1 2 ε2 такой, что η(r)dr > 1. Заметим, что функция ε1 R 1 , t ∈ (ε ,ε ) η(t) = ε2−ε1 1 2 0, t ∈ R\(ε ,ε ) ( 1 2 ε2 удовлетворяет последнему условию η(r)dr > 1, поэтому, согласно (11) мы получим, что ε1 R 1 cap f(B(0,ε )),f(B(0,ε )) 6 Q(x) dm(x) . p 2 1 (ε −ε )p 2 1 (cid:16) (cid:17) A(0,Zε1,ε2) 6 Далее, выбирая ε = ε и ε = 2ε, получим 1 2 1 cap f(B(0,2ε)),f(B(0,ε)) 6 Q(x)dm(x). (12) p εp Z (cid:16) (cid:17) A(0,ε,2ε) С другой стороны, в силу неравенства (2) при каждом фиксированном ε > r > 0 мы имеем оценку: cap f(B(0,2ε)),f(B(0,ε)) > cap f(B(0,2ε)),f(B(0,r)) > p p (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) p−1 p p−n p−n p−n 1−p > nΩnn (m(f(B(0,2ε))))n(p−1) −(m(f(B(0,r))))n(p−1) . (13) p−1 (cid:18) (cid:19) (cid:16) (cid:17) Соотношение (13) имеет место при любом r ∈ (0,ε), поэтому можно перейти к пределу при r → 0. В таком случае, мы получим: n−p cap f(B(0,2ε)),f(B(0,ε)) > c·(m(f(B(0,2ε)))) n , (14) p (cid:16) (cid:17) где c := n1/(1−p)Ω p/(n(1−p)) ·(p−1)/(p−n). Комбинируя (12) и (14), мы получаем, что n n n−p m(f(B(0,2ε)) 1 > c Q(x)dm(x) , (15) 2Ω εn 1 2nΩ ·εn  n n Z B(0,2ε)     где c - положительная постоянная зависящая только от n и p. 1 Положим L (ε) = max|f(x)|. Используя соотношение (9), мы получим, что f |x|=ε 1 |f(x)| L (2ε) m(f(B(0,2ε)) n limsup = limsup f > limsup . (16) |x| 2ε Ω (2ε)n x→0 ε→0 ε→0 (cid:18) n (cid:19) Наконец, комбинируя (15) и (16), имеем: 1 n−p |f(x)| 1 1 limsup > c limsup Q(x)dm(x) = c ·Qn−p , |x| 0 2nΩ ·εn  0 0 x→0 ε→0 n Z B(0,2ε)     где c > 0 – некоторая постоянная, зависящая только от n и p. Теорема доказана. ✷ 0 Ещё одно утверждение может быть получено в случае, если Q ∈ Lα (Bn). loc Теорема 2. Пусть n > 2, n < p < ∞, f : Bn → Bn – открытое дискретное коль- цевое (p,Q)-отображение и f(0) = 0. Предположим, что Q : Bn → [0, ∞] – локально интегрируемая функция в Bn в степени α > 1. Пусть K ⊂ Bn – произвольный компакт, удовлетворяющий условию 0 ∈ IntK. Тогда имеет место оценка: |f(x)| limsup > C > 0, x→0 |x|1+α(pn−n) где C – некоторая положительная постоянная, зависящая только от размерности про- странства n, p, α и компакта K. 7 Доказательство. Выберем произвольным образом компакт K ⊂ Bn, удовлетворяю- щий условию 0 ∈ IntK. Поскольку Q ∈ Lα (Bn), найдётся постоянная C = C(K) < ∞ loc такая, что Qα(x)dm(x) 6 C(K). Повторяя теперь рассуждения, проведённые при K доказательсRтве теоремы 1, мы вновь получаем соотношения (12) и (14). Кроме того, по- сколькуповыборукомпактаK точка0являетсяего внутреннейточкой,придостаточно малых ε > 0 кольцо A(0,ε,2ε) лежит в K. Оценим теперь интеграл справа в (12) сверху, используя неравенство Гёльдера с показателями α и α′ = α > 1, 1/α + 1/α′ = 1. Учитывая сказанное выше, будем α−1 иметь: 1/α Q(x)dm(x) 6  Qα(x)dm(x) ·(2Ω1n/nε)n(αα−1) 6 C1(K)·εnαα−n , Z Z A(0,ε,2ε) K   где C = C (K) – некоторая новая постоянная, зависящая только от функции Q, ком- 1 1 пакта K, n и степени α. Применяя (12) и (14), мы будем иметь: (m(f(B(0,2ε)))1/n > C ·ε(nαα−n−p)·n−1p = C ·εnαα−n−n−αpαp = C ·ε1+α(pn−n) , (17) 2 2 2 где C – некоторая положительная постоянная, зависящая только от функции Q, ком- 2 пакта K, n и степени α. Из (17) вытекает, что (m(f(B(0,2ε)))1/n > C > 0. (18) 1+ n 2 ε α(p−n) Полагая L (ε) = max|f(x)| и используя соотношения (9) и (18), мы получим, что f |x|=ε |f(x)| L (2ε) (m(f(B(0,2ε))))1/n limsup = limsup f > limsup > x→0 |x|1+α(pn−n) ε→0 (2ε)1+α(pn−n) ε→0 (2ε)1+α(pn−n) > C /21+α(pn−n) . (19) 2 Полагая C := C /21+α(pn−n), получаем необходимое заключение. ✷ 2 Список литературы [1] Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. – New York: Springer Science + Business Media, LLC, 2009. [2] Gutlyanskii V.Ya., RyazanovV.I., Srebro U., Yakubov E.TheBeltramiEquation:AGeometric Approach. – New York etc.: Springer, 2012. [3] Севостьянов Е.А.Онекоторых свойствах обобщённых квазиизометрий снеограниченной характеристикой // Укр. матем. ж. – 2011. – Т. 63, № 3. – С. 385–398. [4] Салимов Р.Р. и Севостьянов Е.А. Аналоги леммы Икома-Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой // Укр. матем. ж. – 2011. – 63, № 10. – С. 1368–1380. 8 [5] Ikoma K. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space // Nagoya Math. J. – 1965. – 25. – P. 175–203. [6] Салимов Р.Р. О кольцевых Q-отображениях относительно неконформного модуля // Дальневост. матем. журн. – 2014. – 14, №2. – С.257—269. [7] Салимов Р.Р. и Севостьянов Е.А.Онекоторых свойствах пространственных обобщенных квазиизометрий // Математические заметки, Математические заметки, 16 с. (принята к публикации). [8] Maz’ya V., Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev spaces // Contemp. Math. – 2003. – 338. – P. 307—340. [9] Gehring F. Lipschitz mappings and p-capacity of rings in n-space // Ann. of Math. Stud. – 1971. – 66. – P. 175–193. [10] Vaïsa¨la¨ J. Lectures on n–Dimensional Quasiconformal Mappings. – Lecture Notes in Math. 229, Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971. [11] Martio O., Rickman S., Vaïsa¨la¨ J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 1969. – 448. – P. 1–40. [12] Салимов Р.Р. Об оценке меры образа шара // Сиб. матем. журн. – 2012. – 53, № 4. – С. 920–930. КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ Руслан Радикович Салимов Институт математики НАН Украины ул. Терещенковская, д. 3 г. Киев-4, Украина, 01 601 тел. +38 095 630 85 92 (моб.), e-mail: [email protected] Евгений Александрович Севостьянов, Антонина Александровна Маркиш Житомирский государственный университет им. И. Франко ул. Большая Бердичевская, 40 г. Житомир, Украина, 10 008 тел. +38 066 959 50 34 (моб.), e-mail: [email protected], [email protected]