On-line Arithmetic Algorithms for Efficient Implementation

196 Pages·2012·0.84 MB·English

University of California
Los Angeles
On-line Arithmetic Algorithms
for E(cid:14)cient Implementation
A dissertation
submitted in partial satisfaction
of the requirements for the degree
Doctor of Philosophy in Computer Science
by
Paul Kang-Guo Tu
1990
Copyright (cid:13)c 1990 by Paul Kang-Guo Tu
All Rights Reserved
The dissertation of Paul Kang-Guo Tu is approved.
Kirby A. Baker
Han K. Huang
David Rennels
Toma(cid:19)s Lang
Milo(cid:20)s D. Ercegovac, Committee Chair
University of California, Los Angeles
1990
ii
To Tanping and my parents
iii
iv
Table of Contents
1 Introduction 1
1.1 Motivations and objectives : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
1.2 Overview of on-line arithmetic : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3
1.3 Normalization of (cid:13)oating-point numbers : : : : : : : : : : : : : : : 5
1.4 Review of related works : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
1.5 Outline of the dissertation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
2 Theoretical background of on-line arithmetic algorithms 11
2.1 The general approach for the derivation of on-line algorithms : : : : 13
2.2 Timing of on-line computations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22
2.3 General structure of on-line algorithms : : : : : : : : : : : : : : : : 24
2.3.1 Operand processing : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26
2.3.2 The on-line recurrence evaluation : : : : : : : : : : : : : : : 27
2.3.3 The digit selection function : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28
2.4 System parameters : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28
2.5 On-line algorithms for sequences of arithmetic operations : : : : : : 29
2.6 Radix-r on-line algorithms for the basic arithmetic operations : : : 31
2.6.1 On-line (cid:13)oating-point addition algorithm : : : : : : : : : : : 31
2.6.2 On-line (cid:13)oating-point multiplication algorithm : : : : : : : : 34
2.6.3 On-line (cid:13)oating-point division algorithm : : : : : : : : : : : 38
2.6.4 On-line (cid:13)oating-point square root algorithm : : : : : : : : : 44
2.6.5 Remarks : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47
3 On-line algorithms for sequences of arithmetic operations 51
3.1 Exponent calculation of on-line algorithms : : : : : : : : : : : : : : 54
v
3.2 Considerations for the on-line recurrence expression : : : : : : : : : 55
3.3 Generalization of the output digit selection : : : : : : : : : : : : : : 59
3.4 Development of multi-operation on-line algorithms : : : : : : : : : : 61
3.5 Development of composite on-line algorithms : : : : : : : : : : : : : 65
4 Gate array implementation of on-line algorithms 67
4.1 Organization of an on-line arithmetic unit : : : : : : : : : : : : : : 68
4.2 Design of functional components : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69
4.2.1 Data accumulation and conversion unit : : : : : : : : : : : : 69
4.2.2 Fraction by digit multiplier : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70
4.2.3 Multiple input adder : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73
4.2.4 Carry assimilation adder : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73
4.2.5 Variable delay component : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73
4.2.6 Parallel adder : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74
4.3 Design of radix-2 (cid:13)oating-point on-line division unit : : : : : : : : : 74
4.3.1 The radix-2 on-line division algorithm : : : : : : : : : : : : 74
4.3.2 Functional components of on-line division : : : : : : : : : : 78
4.3.3 Binary level algorithms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79
4.3.4 Pipelining : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82
4.3.5 Organization and design of on-line division unit : : : : : : : 84
4.3.6 Design characteristics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84
4.4 Design of radix-2 (cid:13)oating-point on-line addition unit : : : : : : : : 91
4.4.1 The radix-2 on-line addition algorithm : : : : : : : : : : : : 91
4.4.2 Functional components of on-line addition : : : : : : : : : : 94
4.4.3 Binary level algorithms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94
4.4.4 Design of the on-line addition unit : : : : : : : : : : : : : : 96
4.5 Design of radix-2 (cid:13)oating-point on-line multiplication unit : : : : : 98
4.5.1 The radix-2 multiplication algorithm : : : : : : : : : : : : : 98
4.5.2 Design of on-line multiplication unit : : : : : : : : : : : : : 102
4.6 Design of radix-2 (cid:13)oating-point on-line square root unit : : : : : : : 106
4.6.1 The radix-2 square root algorithm : : : : : : : : : : : : : : : 106
4.6.2 Design of on-line square root unit : : : : : : : : : : : : : : : 107
vi
5 Application of on-line arithmetic algorithms 115
5.1 The singular value decomposition algorithm : : : : : : : : : : : : : 115
5.2 On-line scheme for computing the SVD: the network approach : : : 120
5.2.1 Complexity of the on-line SVD computation : : : : : : : : : 123
5.2.2 Performance of the on-line SVD : : : : : : : : : : : : : : : : 127
5.3 Comparison with conventional schemes : : : : : : : : : : : : : : : : 130
5.4 Concluding remarks : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136
6 Summary and suggestions for future research 139
6.1 Summary : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 139
6.2 Suggestions for future research : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140
Bibliography 141
Appendices 145
A Derivation of the scaled error bound 145
B Parameter relations for multi-operation on-line algorithms 147
B.1 Type 1 computations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147
B.2 Type 2 computations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 149
B.3 Type 3 computations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 152
C Derivation of the selection function for the radix-2 on-line square
root algorithm 157
D Complexity and performance of conventional designs 163
D.1 Conventional addition unit design : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 164
D.2 Conventional multiplication unit design : : : : : : : : : : : : : : : : 164
D.3 Conventional division unit design : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 168
D.4 Conventional square root unit design : : : : : : : : : : : : : : : : : 171
vii
viii
List of Figures
1.1 Execution of an on-line algorithm : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4
1.2 Timing of conventional and on-line arithmetic for sequence of oper-
ations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
2.1 On-line delay : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
2.2 Relative positions of selection intervals : : : : : : : : : : : : : : : : 18
2.3 Comparison points of the digit selection function : : : : : : : : : : : 18
s
x+y
2.4 Computing w = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24
z
2.5 Functional components of an on-line algorithm : : : : : : : : : : : : 25
2.6 Composite on-line algorithm : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30
2.7 On-line square root computation: (cid:12)rst approach : : : : : : : : : : : 48
2.8 On-line square root computation: second approach : : : : : : : : : 49
p
2 2
3.1 Network of on-line algorithms approach for z = x +y : : : : : : 52
p
2 2
3.2 Computing z = x +y as a multi-operation on-line algorithm : : 52
3.3 Exponent calculation: Case 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54
3.4 Exponent calculation: Case 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55
3.5 Exponent calculation: Case 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55
4.1 Modular structure of an on-line arithmetic unit : : : : : : : : : : : 68
4.2 Control scheme for the next digit loading position : : : : : : : : : : 69
4.3 Radix-2 on-the-(cid:13)y conversion bitslice : : : : : : : : : : : : : : : : : 72
4.4 Variable delay unit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75
4.5 Functional components for on-line division : : : : : : : : : : : : : : 78
4.6 Structure of 4-to-2 adder : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81
4.7 Quotient digit selection : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81
4.8 Pipeline scheme for on-line division : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83
ix