On Classifying All Full Factorisations and Multiple-Factorisations of the Finite Almost Simple Groups

59 Pages·1998·0.4 MB·English

JOURNALOFALGEBRA204,129(cid:93)187(cid:14)1998.
ARTICLENO.JA977275
On Classifying All Full Factorisations and
Multiple-Factorisations of the Finite
Almost Simple Groups*
RobertW.Baddeley†
(cid:68)(cid:101)(cid:112)(cid:97)(cid:114)(cid:116)(cid:109)(cid:101)(cid:110)(cid:116)(cid:111)(cid:102)(cid:77)(cid:97)(cid:116)(cid:104)(cid:101)(cid:109)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:99)(cid:115)(cid:97)(cid:110)(cid:100)(cid:67)(cid:111)(cid:109)(cid:112)(cid:117)(cid:116)(cid:101)(cid:114)(cid:83)(cid:99)(cid:105)(cid:101)(cid:110)(cid:99)(cid:101)(cid:44)(cid:85)(cid:110)(cid:105)(cid:168)(cid:101)(cid:114)(cid:115)(cid:105)(cid:116)(cid:121)(cid:111)(cid:102)(cid:76)(cid:101)(cid:105)(cid:99)(cid:101)(cid:115)(cid:116)(cid:101)(cid:114)(cid:44)
(cid:76)(cid:101)(cid:105)(cid:99)(cid:101)(cid:115)(cid:116)(cid:101)(cid:114)(cid:44)(cid:76)(cid:69)(cid:49)(cid:55)(cid:82)(cid:72)(cid:44)(cid:69)(cid:110)(cid:103)(cid:108)(cid:97)(cid:110)(cid:100)
and
CherylE.Praeger‡
(cid:68)(cid:101)(cid:112)(cid:97)(cid:114)(cid:116)(cid:109)(cid:101)(cid:110)(cid:116)(cid:111)(cid:102)(cid:77)(cid:97)(cid:116)(cid:104)(cid:101)(cid:109)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:99)(cid:115)(cid:44)(cid:85)(cid:110)(cid:105)(cid:168)(cid:101)(cid:114)(cid:115)(cid:105)(cid:116)(cid:121)(cid:111)(cid:102)(cid:87)(cid:101)(cid:115)(cid:116)(cid:101)(cid:114)(cid:110)(cid:65)(cid:117)(cid:115)(cid:116)(cid:114)(cid:97)(cid:108)(cid:105)(cid:97)(cid:44)(cid:80)(cid:101)(cid:114)(cid:116)(cid:104)(cid:44)(cid:87)(cid:65)(cid:54)(cid:57)(cid:48)(cid:55)(cid:44)(cid:65)(cid:117)(cid:115)(cid:116)(cid:114)(cid:97)(cid:108)(cid:105)(cid:97)
(cid:67)(cid:111)(cid:109)(cid:109)(cid:117)(cid:110)(cid:105)(cid:99)(cid:97)(cid:116)(cid:101)(cid:100)(cid:98)(cid:121)(cid:74)(cid:97)(cid:110)(cid:83)(cid:97)(cid:120)(cid:108)
ReceivedFebruary18,1997
We present some general results on factorisations of almost simple groups.
Theseresultsareconsequencesoftheclassificationofallmaximalfactorisationsof
almost simple groups (cid:14)due to Liebeck, Saxl, and the second author., and are
needed for applications to the theory of quasiprimitive permutation groups.
(cid:81)1998AcademicPress
1. INTRODUCTION
Throughoutthis paper (cid:71) isafinite groupwithaunique minimalnormal
subgroup (cid:84),and (cid:84) isnon-abelian andsimple.Suchagroup (cid:71) issaidtobe
(cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:111)(cid:115)(cid:116)(cid:115)(cid:105)(cid:109)(cid:112)(cid:108)(cid:101)(cid:119)(cid:105)(cid:116)(cid:104)(cid:115)(cid:111)(cid:99)(cid:108)(cid:101)(cid:84) andis isomorphictoa subgroupofthe automor-
phism groupAut(cid:84) of (cid:84) containing the subgroup Inn(cid:84) of inner automor-
phisms. The group (cid:71) is said to be (cid:102)(cid:97)(cid:99)(cid:116)(cid:111)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101) if (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) for some proper
*ThispaperispartofaresearchprojectfundedbytheAustralianResearchCouncilgrant
ofthesecondauthor.
†E-mail:[email protected].
‡E-mail:[email protected].
129
0021-8693(cid:114)98$25.00
Copyright(cid:81)1998byAcademicPress
Allrightsofreproductioninanyformreserved.
130 BADDELEY AND PRAEGER
subgroups (cid:65), (cid:66) of (cid:71), and the expression (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) is called a (cid:102)(cid:97)(cid:99)(cid:116)(cid:111)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:111)(cid:110)
of (cid:71). For any finite group (cid:72) we let (cid:112)(cid:14)(cid:72). be the set of prime divisors of
(cid:60)(cid:72)(cid:60). A factorisation (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) will be called (cid:102)(cid:117)(cid:108)(cid:108) if
(cid:84)(cid:103)(cid:65), (cid:84)(cid:103)(cid:66), and (cid:112)(cid:14)(cid:84). (cid:58)(cid:112)(cid:14) (cid:65). (cid:108)(cid:112)(cid:14)(cid:66)..
Our first aim in this paper is to classify all full factorisations of almost
simple groups.
THEOREM 1.1. (cid:76)(cid:101)(cid:116) (cid:71) (cid:98)(cid:101) (cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:111)(cid:115)(cid:116) (cid:115)(cid:105)(cid:109)(cid:112)(cid:108)(cid:101) (cid:119)(cid:105)(cid:116)(cid:104) (cid:115)(cid:111)(cid:99)(cid:108)(cid:101) (cid:84). (cid:73)(cid:102) (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) (cid:105)(cid:115) (cid:97) (cid:102)(cid:117)(cid:108)(cid:108)
(cid:102)(cid:97)(cid:99)(cid:116)(cid:111)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:111)(cid:110) (cid:111)(cid:102) (cid:71), (cid:116)(cid:104)(cid:101)(cid:110) (cid:71), (cid:84), (cid:65), (cid:97)(cid:110)(cid:100) (cid:66) (cid:97)(cid:114)(cid:101) (cid:107)(cid:110)(cid:111)(cid:119)(cid:110). (cid:73)(cid:110) (cid:112)(cid:97)(cid:114)(cid:116)(cid:105)(cid:99)(cid:117)(cid:108)(cid:97)(cid:114) (cid:84)(cid:115)
(cid:14)(cid:65)(cid:108)(cid:84).(cid:14)(cid:66)(cid:108)(cid:84). (cid:105)(cid:115) (cid:97) (cid:102)(cid:117)(cid:108)(cid:108) (cid:102)(cid:97)(cid:99)(cid:116)(cid:111)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:111)(cid:110)(cid:111)(cid:102) (cid:84), (cid:97)(cid:110)(cid:100)(cid:97)(cid:108)(cid:108) (cid:112)(cid:111)(cid:115)(cid:115)(cid:105)(cid:98)(cid:105)(cid:108)(cid:105)(cid:116)(cid:105)(cid:101)(cid:115)(cid:102)(cid:111)(cid:114) (cid:116)(cid:104)(cid:101) (cid:116)(cid:117)(cid:112)(cid:108)(cid:101)
(cid:14)(cid:84),(cid:71), (cid:65)(cid:108)(cid:84), (cid:66)(cid:108)(cid:84). (cid:97)(cid:114)(cid:101) (cid:103)(cid:105)(cid:168)(cid:101)(cid:110) (cid:105)(cid:110) (cid:84)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101) (cid:73). (cid:67)(cid:111)(cid:110)(cid:168)(cid:101)(cid:114)(cid:115)(cid:101)(cid:108)(cid:121) (cid:101)(cid:97)(cid:99)(cid:104) (cid:114)(cid:111)(cid:119) (cid:111)(cid:102) (cid:84)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101) (cid:73)
(cid:103)(cid:105)(cid:168)(cid:101)(cid:115) (cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:101) (cid:116)(cid:111) (cid:115)(cid:117)(cid:99)(cid:104) (cid:97)(cid:110) (cid:101)(cid:120)(cid:97)(cid:109)(cid:112)(cid:108)(cid:101).
(cid:14)The superscripts (cid:14)ii.(cid:93)(cid:14)v. on the column labels in Table I refer to the
explanatory Notes for Table I given in Section 2. Also in those Notes the
significance of the last two columns will be explained..
The second focus of this paper is a study of ‘‘multiple-factorisations’’ of
the almost simple groups. The set (cid:77)(cid:77) of subgroups of (cid:71) is said to be a
(cid:109)(cid:117)(cid:108)(cid:116)(cid:105)(cid:112)(cid:108)(cid:101)-(cid:102)(cid:97)(cid:99)(cid:116)(cid:111)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:111)(cid:110)of (cid:71) if (cid:60) (cid:77)(cid:77)(cid:60)(cid:71)3 and if
(cid:84)(cid:103)(cid:65) and (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) forall (cid:65), (cid:66)(cid:103)(cid:77)(cid:77) with (cid:65)(cid:47)(cid:66);
it is a (cid:109)(cid:97)(cid:120)(cid:105)(cid:109)(cid:97)(cid:108) (cid:109)(cid:117)(cid:108)(cid:116)(cid:105)(cid:112)(cid:108)(cid:101)-(cid:102)(cid:97)(cid:99)(cid:116)(cid:111)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:111)(cid:110) (cid:111)(cid:102) (cid:71) if in addition (cid:65) is a maximal
subgroup of (cid:71) for all (cid:65)(cid:103)(cid:77)(cid:77). We are especially interested in multiple-
factorisations (cid:14)either maximal or otherwise. of a more restricted nature,
namely those for which
(cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:14)(cid:66)(cid:108)(cid:67).
whenever (cid:65), (cid:66), (cid:67) are pairwise-distinct elements of (cid:77)(cid:77). A multiple-
factorisation with this additional property will be called a (cid:115)(cid:116)(cid:114)(cid:111)(cid:110)(cid:103) (cid:109)(cid:117)(cid:108)(cid:116)(cid:105)(cid:112)(cid:108)(cid:101)-
(cid:102)(cid:97)(cid:99)(cid:116)(cid:111)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:111)(cid:110)(cid:111)(cid:102) (cid:71). (cid:14)In Lemma 4.3 we give several conditions on a multiple-
factorisation which are equivalent to the multiple-factorisation being
strong.. The second major result of this paper is the classification of all
maximal multiple-factorisations and all strong multiple-factorisations of
the almost simple groups. (cid:14)We note that the classification of the strong
multiple-factorisations depends on that of the maximal multiple-factorisa-
tions..
THEOREM 1.2. (cid:76)(cid:101)(cid:116) (cid:71) (cid:98)(cid:101) (cid:97)(cid:110) (cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:111)(cid:115)(cid:116) (cid:115)(cid:105)(cid:109)(cid:112)(cid:108)(cid:101) (cid:103)(cid:114)(cid:111)(cid:117)(cid:112) (cid:119)(cid:105)(cid:116)(cid:104) (cid:115)(cid:111)(cid:99)(cid:108)(cid:101) (cid:84). (cid:73)(cid:102) (cid:77)(cid:77) (cid:105)(cid:115)
(cid:101)(cid:105)(cid:116)(cid:104)(cid:101)(cid:114) (cid:97) (cid:109)(cid:97)(cid:120)(cid:105)(cid:109)(cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:108)(cid:116)(cid:105)(cid:112)(cid:108)(cid:101)-(cid:102)(cid:97)(cid:99)(cid:116)(cid:111)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:111)(cid:110)(cid:111)(cid:102) (cid:71) (cid:111)(cid:114) (cid:97) (cid:115)(cid:116)(cid:114)(cid:111)(cid:110)(cid:103) (cid:109)(cid:117)(cid:108)(cid:116)(cid:105)(cid:112)(cid:108)(cid:101)-(cid:102)(cid:97)(cid:99)(cid:116)(cid:111)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:111)(cid:110)
(cid:111)(cid:102)(cid:71), (cid:116)(cid:104)(cid:101)(cid:110)(cid:71)(cid:97)(cid:110)(cid:100) (cid:77)(cid:77) (cid:97)(cid:114)(cid:101)(cid:107)(cid:110)(cid:111)(cid:119)(cid:110). (cid:73)(cid:110)(cid:112)(cid:97)(cid:114)(cid:116)(cid:105)(cid:99)(cid:117)(cid:108)(cid:97)(cid:114), (cid:60) (cid:77)(cid:77)(cid:60)(cid:115)3 (cid:111)(cid:114) 4 (cid:105)(cid:102) (cid:77)(cid:77) (cid:105)(cid:115)(cid:109)(cid:97)(cid:120)(cid:105)(cid:109)(cid:97)(cid:108),
(cid:97)(cid:110)(cid:100) (cid:60) (cid:77)(cid:77)(cid:60)(cid:115)3 (cid:105)(cid:102) (cid:77)(cid:77) (cid:105)(cid:115)(cid:115)(cid:116)(cid:114)(cid:111)(cid:110)(cid:103). (cid:77)(cid:111)(cid:114)(cid:101)(cid:111)(cid:168)(cid:101)(cid:114)(cid:97)(cid:108)(cid:108)(cid:112)(cid:111)(cid:115)(cid:115)(cid:105)(cid:98)(cid:105)(cid:108)(cid:105)(cid:116)(cid:105)(cid:101)(cid:115)(cid:102)(cid:111)(cid:114)(cid:116)(cid:104)(cid:101)(cid:112)(cid:97)(cid:105)(cid:114) (cid:14)(cid:71), (cid:77)(cid:77). (cid:97)(cid:114)(cid:101)
(cid:103)(cid:105)(cid:168)(cid:101)(cid:110)(cid:105)(cid:110)(cid:84)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101)(cid:73)(cid:73) (cid:105)(cid:102) (cid:77)(cid:77) (cid:105)(cid:115)(cid:109)(cid:97)(cid:120)(cid:105)(cid:109)(cid:97)(cid:108), (cid:60) (cid:77)(cid:77)(cid:60)(cid:115)3, (cid:97)(cid:110)(cid:100)(cid:84)(cid:47)(cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)(cid:113).; (cid:105)(cid:110)(cid:84)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101)(cid:73)(cid:73)(cid:73) (cid:105)(cid:102)
8
FACTORISATIONS OF ALMOST SIMPLE GROUPS 131
(cid:77)(cid:77) (cid:105)(cid:115) (cid:109)(cid:97)(cid:120)(cid:105)(cid:109)(cid:97)(cid:108), (cid:60) (cid:77)(cid:77)(cid:60)(cid:115)3, (cid:97)(cid:110)(cid:100)(cid:84)(cid:115)(cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)(cid:113).; (cid:105)(cid:110) (cid:84)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101) (cid:73)(cid:86) (cid:105)(cid:102) (cid:77)(cid:77) (cid:105)(cid:115) (cid:109)(cid:97)(cid:120)(cid:105)(cid:109)(cid:97)(cid:108)(cid:97)(cid:110)(cid:100)
8
(cid:60) (cid:77)(cid:77)(cid:60)(cid:115)4; (cid:97)(cid:110)(cid:100) (cid:105)(cid:110) (cid:84)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101) (cid:86) (cid:105)(cid:102) (cid:77)(cid:77) (cid:105)(cid:115) (cid:115)(cid:116)(cid:114)(cid:111)(cid:110)(cid:103). (cid:67)(cid:111)(cid:110)(cid:168)(cid:101)(cid:114)(cid:115)(cid:101)(cid:108)(cid:121) (cid:101)(cid:97)(cid:99)(cid:104) (cid:114)(cid:111)(cid:119) (cid:111)(cid:102) (cid:84)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101)(cid:115) (cid:73)(cid:73)(cid:93)(cid:86)
(cid:103)(cid:105)(cid:168)(cid:101)(cid:115) (cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:101) (cid:116)(cid:111) (cid:115)(cid:117)(cid:99)(cid:104) (cid:97)(cid:110) (cid:101)(cid:120)(cid:97)(cid:109)(cid:112)(cid:108)(cid:101).
(cid:14)Tables I(cid:93)V are given in Section 2 together with some explanatory re-
marks..
These results are needed for applications to the theory of finite
(cid:119) (cid:120)
quasiprimitive permutation groups in 2, 3. In particular, they enable the
explicit description of all quasiprimitive permutation groups that preserve
a homogenousCartesian product (cid:71)(cid:108) but that donot act transitively on the
(cid:108) componentsofthe product.However,wehopethat Theorems1.1and1.2
(cid:119) (cid:120)
may be of general interest and application. Indeed in 4 Baumeister
obtains results similar to Theorem 1.1 in an investigation of primitive
flag-transitive grids. Since the proofs of these results involve long and
delicate arguments, we have decided to present them separately from our
work on quasiprimitive permutation groups.
(cid:119) (cid:120)
Both theorems are essentially consequences of the classification 21,
due to Liebeck, Saxl, and the second author, of all triples (cid:14)(cid:71), (cid:65), (cid:66). such
that (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) and both (cid:65) and (cid:66) are maximal subgroups of (cid:71) not
containing (cid:84). As the latter depends on the classification of finite simple
groups (cid:14)CFSG., we note that the present results also depend on CFSG.
Our methodofproofofboth Theorems1.1and1.2is firstly toreduce to
considering only factorisations (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) in which both (cid:65) and (cid:66) are
maximalsubgroupsof (cid:71) notcontaining (cid:84),andsecondlytoinspectthelists
(cid:119) (cid:120)
of factorisations given in 21 for suitable examples. In the case of Theo-
rem 1.2 this is undoubtedly the correct method. However, in the case of
Theorem 1.1, it is not the best approach, merely the most convenient one.
(cid:119) (cid:120)
Toexplain weneedtosay a little about the techniques employedin 21.If
(cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) then
(cid:60) (cid:60) (cid:60) (cid:60)
(cid:65) (cid:66)
(cid:60)(cid:71)(cid:60)(cid:115)(cid:60)(cid:65)(cid:66)(cid:60)(cid:115) ,
(cid:60)(cid:65)(cid:108)(cid:66)(cid:60)
whence(cid:112)(cid:14)(cid:71).(cid:115)(cid:112)(cid:14)(cid:65).(cid:106)(cid:112)(cid:14)(cid:66).and (cid:60)(cid:71): (cid:65)(cid:60)divides (cid:60)(cid:66)(cid:60).Nowitisanobserv-
able fact that if (cid:112) is a suitably chosen prime divisor of (cid:60)(cid:71)(cid:60) (cid:14)with (cid:71) almost
simple., then up to (cid:71)-conjugacy there are very few maximal subgroups (cid:72)
of (cid:71) with (cid:112)(cid:103)(cid:112)(cid:14)(cid:72).. Thus to classify (cid:14)(cid:71), (cid:65), (cid:66). with (cid:65), (cid:66) both maximal
in (cid:71) and (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66), a suitable prime (cid:112)(cid:103)(cid:112)(cid:14)(cid:71). was chosen which without
(cid:60) (cid:60)
loss of generality was assumed to be a prime divisor of (cid:65); this gave a
limited number of possibilities for (cid:65), and, on exploiting the condition
(cid:60) (cid:60) (cid:60) (cid:60)
(cid:71): (cid:65) divides (cid:66), a similarly limited number of possibilities for (cid:66) given
(cid:65). Each possibility was then inspected in turn.
132 BADDELEY AND PRAEGER
However, the most fundamental information contained in the hypothe-
ses of Theorem 1.1 is not that (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) but that (cid:112)(cid:14)(cid:84).(cid:58)(cid:112)(cid:14)(cid:65).(cid:108)(cid:112)(cid:14)(cid:66)..
Indeed, we feel that the proper approach to proving Theorem 1.1 is firstly
to list all subgroups (cid:65) of (cid:71) satisfying (cid:112)(cid:14)(cid:84).(cid:58)(cid:112)(cid:14)(cid:65)., and then to inspect
this list for possible factorisations. Such a list would also be of general
interest in its ownright.Our reasons fornotproceedingin this fashion are
that compiling such a list would involve more effort than that involved in
our present proof, and more importantly, that such a list is likely to be
superseded by forthcoming results on primedivisorsof maximal subgroups
(cid:119) (cid:120)
of almost simple groups due to Liebeck, Saxl, and the second author 20.
The layout of the paper is as follows. Section 2 contains and explains
various tables listing factorisations of almost simple groups subject to
differing conditions. In particular, Tables I(cid:93)V referred to in the state-
ments of Theorems 1.1 and 1.2 are given there. Sections 3 and 4 contain
the proofs of Theorems 1.1 and 1.2, respectively.
(cid:78)(cid:111)(cid:116)(cid:97)(cid:116)(cid:105)(cid:111)(cid:110)(cid:97)(cid:110)(cid:100) (cid:84)(cid:101)(cid:114)(cid:109)(cid:105)(cid:110)(cid:111)(cid:108)(cid:111)(cid:103)(cid:121)
(cid:119) (cid:120)
We adhere to the notation of 21, particularly with respect to the
notation for the geometric subgroups of classical groups. Note that this
means that our notation for the simple groups differs in some respects
(cid:119) (cid:120)
from that of 8.
We shall use without proof and without reference the elementary facts
(cid:119) (cid:120)
on factorisations as given by Subsection 2.6 of 21. We say that a
factorisation (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) is (cid:109)(cid:97)(cid:120)(cid:105)(cid:109)(cid:97)(cid:108) if both (cid:65) and (cid:66) are maximal subgroups
of (cid:71).
For any group (cid:72), the group of all automorphisms of (cid:72) is denoted
Aut (cid:72), and the group of inner automorphisms Inn (cid:72); the elements of
Aut (cid:72)(cid:95)Inn (cid:72) are known as the (cid:111)(cid:117)(cid:116)(cid:101)(cid:114) automorphisms of (cid:72), and the
quotient Aut (cid:72)(cid:114)Inn (cid:72) is denoted Out (cid:72). In the special case (cid:72)(cid:115)(cid:84) (cid:14)and
so is a non-abelian simple group by assumption. we identify (cid:84) with Inn(cid:84)
and (cid:71) withasubgroupofAut(cid:84) viathe monomorphism(cid:71)(cid:170)Aut(cid:84) given
by
(cid:103)(cid:172)‘‘conjugationby (cid:103)’’ forall (cid:103)(cid:103)(cid:71).
The (cid:115)(cid:111)(cid:99)(cid:108)(cid:101) of a group (cid:72) is the normal subgroup of (cid:72) generated by all
(cid:119) (cid:120)
minimalnormalsubgroupsof (cid:72).Wefollowthe conventions of 8 byusing
(cid:65): (cid:66) to denote a semi-direct product of (cid:65) by (cid:66) with respect to a given
action of (cid:66) on (cid:65). We use (cid:67) , or often just (cid:110), to denote a cyclic subgroup
(cid:110)
of order (cid:110). The identity element of a group (cid:72) is denoted id , or id if no
(cid:72)
confusion arises. The notation (cid:65)(cid:45) (cid:72) is used to denote that (cid:65) is a
max
maximal subgroup of (cid:72).
FACTORISATIONS OF ALMOST SIMPLE GROUPS 133
(cid:119) (cid:120)
As noted above, we depend heavily on the results of 21: these results
are giveninthe formoftables, andtoavoidconfusionweshall use ‘‘L(cid:109) of
(cid:119) (cid:120)
TAB. (cid:110)’’to refer to line (cid:109) ofTable (cid:110) of 21,whereas ‘‘line (cid:109) ofTable (cid:110)’’
shall henceforth always refer to the present paper.
The authors thank Martin Liebeck and Jan Saxl for their helpful
comments on a previous version of this paper.
2. THE RESULT TABLES
Here we give various tables of factorisations of almost simple groups.
The first five are the result tables for Theorems 1.1 and 1.2. Several
explanatorynotesaccompanyeachtable; thecolumnheaderinatable may
have a superscript referring the reader to those notes particularly pertain-
ing to that column.
(cid:78)(cid:111)(cid:116)(cid:101)(cid:115) (cid:111)(cid:110) (cid:84)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101) (cid:73). (cid:14)i. The table lists all tuples (cid:14)(cid:84),(cid:71), (cid:65)(cid:108)(cid:84), (cid:66)(cid:108)(cid:84).
such that
(cid:84)(cid:115)(cid:14) (cid:65)(cid:108)(cid:84).(cid:14)(cid:66)(cid:108)(cid:84). and (cid:112)(cid:14)(cid:84). (cid:115)(cid:112)(cid:14) (cid:65)(cid:108)(cid:84). (cid:108)(cid:112)(cid:14)(cid:66)(cid:108)(cid:84).
(cid:14)2.A.
TABLE I
FullFactorisationsofAlmostSimpleGroups
Line (cid:84) (cid:71)(cid:14)v. (cid:65)(cid:108)(cid:84)(cid:14)iv. (cid:66)(cid:108)(cid:84)(cid:14)iv. (cid:108),(cid:109)(cid:14)ii. Case(cid:14)iii.
1 (cid:65) (cid:65) (cid:70)(cid:71)(cid:70)(cid:83) (cid:65) (cid:14)(cid:65)(cid:108)(cid:84).(cid:97) 1,2 1
6 6 6 5
2 (cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:14)(cid:65)(cid:108)(cid:84).(cid:97) 1,0 2
12 12 11
3 (cid:84)(cid:70)(cid:71)(cid:70)(cid:84).2 (cid:77) (cid:76) (cid:14)11. 1,1 3
11 2
4 (cid:80)(cid:83)(cid:112)(cid:14)(cid:113)., (cid:84)(cid:70)(cid:71)(cid:70)(cid:80)(cid:71)(cid:83)(cid:112)(cid:14)(cid:113). (cid:83)(cid:112) (cid:14)(cid:113)2..2 (cid:14)(cid:65)(cid:108)(cid:84).(cid:97)or 2,? 4
4 4 2
(cid:113)(cid:71)4 (cid:14)(cid:14)(cid:65)(cid:108)(cid:84).(cid:57).(cid:97)
andeven
5 (cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)(cid:113)., (cid:84)(cid:70)(cid:71)(cid:70)(cid:80)(cid:71)(cid:79)(cid:113)(cid:14)(cid:113). (cid:86) (cid:14)(cid:113). (cid:14)(cid:65)(cid:108)(cid:84).(cid:97) 1,? 5
8 8 7
(cid:113)(cid:41)2
6 (cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)2. (cid:84)(cid:70)(cid:71)(cid:70)(cid:84).2 (cid:14)(cid:80)(cid:83)(cid:112)(cid:14)2..(cid:97) (cid:65) , (cid:65) ,(cid:83) ,(cid:83) 5,11 6(cid:14)(cid:97).
8 6 7 8 7 8
or(cid:80)(cid:83)(cid:112)(cid:14)2.
6
7 (cid:80)(cid:83)(cid:112)(cid:14)2. (cid:65) , (cid:65) ,26:(cid:65) 5,10 6(cid:14)(cid:98).
6 7 8 7
or26:(cid:65)
8
8 (cid:65) (cid:65) ,(cid:83) or(cid:80)(cid:83)(cid:112)(cid:14)2. 3,7 6(cid:14)(cid:99).
9 8 8 6
9 (cid:80)(cid:83)(cid:112)(cid:14)2. (cid:65) ,(cid:83) or (cid:65) 3,8 6(cid:14)(cid:99).
6 7 7 8
10 (cid:65) 26:(cid:65) , (cid:65) or26:(cid:65) 4,8 6(cid:14)(cid:100).
9 7 8 8
134 BADDELEY AND PRAEGER
and such that there exist subgroups (cid:65), (cid:66) of (cid:71), with (cid:65)(cid:108)(cid:84), (cid:66)(cid:108)(cid:84) as
given, satisfying (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66). Note that for any subgroup (cid:67) of (cid:71),
(cid:67)(cid:108)(cid:84)(cid:70)(cid:67)(cid:70)(cid:78) (cid:14)(cid:67)(cid:108)(cid:84)..
(cid:71)
Furthermore, if (cid:84)(cid:115)(cid:14)(cid:65)(cid:108)(cid:84).(cid:14)(cid:66)(cid:108)(cid:84)., then we have (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) if and only
if (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) where denotes reduction modulo (cid:84) (cid:14)that is, (cid:65)(cid:115)(cid:65)(cid:84)(cid:114)(cid:84),
etc...Thus a list of all possible (cid:65), (cid:66) with (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) can easily be recovered
from knowledge of (cid:84), (cid:71), (cid:65)(cid:108)(cid:84), and (cid:66)(cid:108)(cid:84).
(cid:14)ii. Suppose that (cid:14)(cid:84),(cid:71), (cid:65), (cid:66). satisfies (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66). Then it is easy to see
that
(cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:120)(cid:66)(cid:121)(cid:115)(cid:66)(cid:65) forall (cid:120), (cid:121)(cid:103)(cid:71),
and
(cid:71)(cid:115)(cid:115)(cid:65)(cid:115)(cid:66)(cid:115) forall (cid:115)(cid:103)Aut(cid:84).
We say that the tuples (cid:14)(cid:84),(cid:71), (cid:65), (cid:66). and (cid:14)(cid:84),(cid:71) , (cid:65) , (cid:66) . are equivalent if
0 0 0
there exist (cid:115)(cid:103)Aut(cid:84) and (cid:120), (cid:121)(cid:103)(cid:71) such that
(cid:71)(cid:115)(cid:71)(cid:115) and (cid:20) (cid:65), (cid:66)4 (cid:115)(cid:20) (cid:65)(cid:115)(cid:120), (cid:66)(cid:115)(cid:121)4;
0 0 0
the tuples listed by Table I are determined only up to this notion of
equivalence. To assist the reader we have given the numbers (cid:108), (cid:109) of
equivalence classes of tuples (cid:14)(cid:84),(cid:71), (cid:65), (cid:66). with (cid:71)(cid:115)(cid:84), (cid:71)(cid:41)(cid:84) respectively
that correspond to each line of the table. An entry of ? indicates that (cid:109)
depends in a nontrivial way on Out(cid:84). We note that tuples corresponding
to different lines of the table are not equivalent.
(cid:14)iii. The proof of Theorem 1.1 in Section 3 considers a number of
cases distinguished by (cid:84) andby the maximal overgroupsof (cid:65)(cid:108)(cid:84), (cid:66)(cid:108)(cid:84)
in (cid:84). The final column indicates the case to which the relevant line
corresponds.
(cid:14)iv. In the table (cid:97)denotes a ‘‘suitably chosen’’ outer automorphismof
(cid:84). Here ‘‘suitably chosen’’ means any outer automorphism of (cid:84) for
(cid:84)(cid:115)(cid:77) , one not in (cid:83) for (cid:84)(cid:115)(cid:65) , one not in (cid:80)(cid:71)(cid:83)(cid:112) (cid:14)(cid:113). for (cid:84)(cid:115)(cid:80)(cid:83)(cid:112) (cid:14)(cid:113).
12 6 6 4 4
with (cid:113) even, and any triality for (cid:84)(cid:115)(cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)(cid:113).. (cid:14)A triality of (cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)(cid:113). is an
8 8
outer automorphism of order 3 inducing a symmetry of the Dynkin
diagram..
(cid:14)v. Wheneverarange ofpossibilities for (cid:71) isgiventhen (cid:71) maybeany
group in that range unless (cid:84)(cid:115)(cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)(cid:113). and (cid:113) is odd; in this instance
8
(cid:84)(cid:70)(cid:71)(cid:70)(cid:80)(cid:71)(cid:79)(cid:113)(cid:14)(cid:113). (cid:40)(cid:84).(cid:14)(cid:83) (cid:88)(cid:83) (cid:61)(cid:101).,
8 2 2
FACTORISATIONS OF ALMOST SIMPLE GROUPS 135
where (cid:113)(cid:115)(cid:112)(cid:101) for some prime (cid:112), and if denotes the quotient map on
Aut(cid:84) with kernel (cid:84)(cid:61)(cid:101)(cid:70)(cid:80)(cid:71)(cid:79)(cid:113)(cid:14)(cid:113)., then (cid:71) is any group in this range
8
provided (cid:71)(cid:92)(cid:67) ; groups (cid:71) with (cid:71)(cid:40)(cid:67) do not give factorisations.
4 4
(cid:14)vi. Suppose that (cid:71)(cid:115)(cid:65)(cid:66) is a full factorisation of (cid:71) such that
(cid:112)(cid:14)(cid:71). (cid:115)(cid:112)(cid:14) (cid:65). (cid:115)(cid:112)(cid:14)(cid:66).. (cid:14)2.B.
Then the tuple is certainly listed in Table I by Theorem 1.1. On the other
hand, not all the tuples so listed satisfy (cid:14)2.B.. Indeed, if (cid:84) is of Lie type
defined over a field (cid:70) where (cid:113)(cid:115)(cid:112)(cid:101) such that Out(cid:84) involves a cyclic
(cid:113)
groupof order (cid:101) correspondingto the field automorphismsof (cid:84),then it is
(cid:60) (cid:60)
not always the case that all prime divisors of (cid:101) are divisors of (cid:84). In such
circumstances (cid:112)(cid:14)(cid:84).(cid:109)(cid:112)(cid:14)Aut(cid:84). and a little care is needed when reading
off those tuples that do satisfy (cid:14)2.B..
(cid:78)(cid:111)(cid:116)(cid:101)(cid:115) (cid:111)(cid:110) (cid:84)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101)(cid:115) (cid:73)(cid:73)(cid:93)(cid:86). (cid:14)i. For reasons analogous to those given in
note (cid:14)ii. for Table I, we say that the pairs (cid:14)(cid:71), (cid:77)(cid:77). and (cid:14)(cid:71) , (cid:77)(cid:77) . are
0 0
(cid:72)-(cid:101)(cid:113)(cid:117)(cid:105)(cid:168)(cid:97)(cid:108)(cid:101)(cid:110)(cid:116), where (cid:72) is any subgroup of Aut(cid:84), if there exists (cid:115)(cid:103)(cid:72)
such that (cid:71)(cid:115)(cid:71)(cid:115)and
0
(cid:20) (cid:65)(cid:71): (cid:65)(cid:103)(cid:77)(cid:77)4 (cid:115)(cid:20)(cid:14) (cid:65)(cid:115).(cid:71): (cid:65)(cid:103)(cid:77)(cid:77) 4,
0
where (cid:65)(cid:71)(cid:115)(cid:20)(cid:65)(cid:103): (cid:103)(cid:103)(cid:71)4 isthe (cid:71)-conjugacyclass containing (cid:65).InTables
II(cid:93)V we list only one representative from any Aut(cid:84)-equivalence class.
Thus Theorem 1.2 should more correctly assert that (cid:116)(cid:104)(cid:101) (cid:112)(cid:97)(cid:105)(cid:114) (cid:14)(cid:71), (cid:77)(cid:77). (cid:105)(cid:115)
Aut(cid:84)-(cid:101)(cid:113)(cid:117)(cid:105)(cid:168)(cid:97)(cid:108)(cid:101)(cid:110)(cid:116) (cid:116)(cid:111) (cid:111)(cid:110)(cid:101) (cid:108)(cid:105)(cid:115)(cid:116)(cid:101)(cid:100) (cid:105)(cid:110) (cid:84)(cid:97)(cid:98)(cid:108)(cid:101)(cid:115) II(cid:93)V.
(cid:14)ii. Tables II and III list all possibilities for the pair (cid:14)(cid:71), (cid:77)(cid:77). such that
(cid:77)(cid:77) is a maximal multiple-factorisation with (cid:60) (cid:77)(cid:77)(cid:60)(cid:115)3, (cid:77)(cid:77)(cid:115)(cid:20)(cid:65), (cid:66),(cid:67)4. More
precisely, they list all possibilities for the tuple
(cid:14)(cid:84),(cid:71), (cid:65)(cid:108)(cid:84), (cid:66)(cid:108)(cid:84),(cid:67)(cid:108)(cid:84).;
given that (cid:65), (cid:66), (cid:67) are maximal subgroups of (cid:71) not containing (cid:84), the
corresponding pair (cid:14)(cid:71), (cid:77)(cid:77)(cid:115)(cid:20)(cid:65), (cid:66),(cid:67)4. is determined uniquely as
(cid:14)(cid:71),(cid:20)(cid:78) (cid:14) (cid:65)(cid:108)(cid:84)., (cid:78) (cid:14)(cid:66)(cid:108)(cid:84)., (cid:78) (cid:14)(cid:67)(cid:108)(cid:84).4..
(cid:71) (cid:71) (cid:71)
Similarly Table IV lists all possibilities for the pair (cid:14)(cid:71), (cid:77)(cid:77). such that (cid:77)(cid:77) is
a maximal multiple-factorisation with (cid:60) (cid:77)(cid:77)(cid:60)(cid:115)4, (cid:77)(cid:77)(cid:115)(cid:20)(cid:65), (cid:66),(cid:67), (cid:68)4; all pos-
sibilities for the tuple (cid:14)(cid:84),(cid:71), (cid:65), (cid:66),(cid:67), (cid:68). are listed. Also Table V lists all
possibilities forthe pair(cid:14)(cid:71), (cid:77)(cid:77).such that (cid:77)(cid:77) isastrongmultiple-factorisa-
tion with (cid:60) (cid:77)(cid:77)(cid:60)(cid:115)3, (cid:77)(cid:77)(cid:115)(cid:20)(cid:65), (cid:66),(cid:67)4; all possibilities for the tuple (cid:14)(cid:84),(cid:71),
(cid:65), (cid:66),(cid:67). are listed.
In the last case, namely that in which (cid:77)(cid:77)(cid:115)(cid:20)(cid:65), (cid:66),(cid:67)4 is strong, we note
that in all lines of Table V we have
(cid:65)(cid:115)(cid:78) (cid:14) (cid:65)(cid:108)(cid:84)., (cid:66)(cid:115)(cid:78) (cid:14)(cid:66)(cid:108)(cid:84)., and (cid:67)(cid:115)(cid:78) (cid:14)(cid:67)(cid:108)(cid:84).,
(cid:71) (cid:71) (cid:71)
136 BADDELEY AND PRAEGER
2 2
Notes (cid:103)(cid:95)Aut(cid:84)Inn(cid:84) (cid:115)(cid:113)2,(cid:98)prime(cid:115)(cid:41)(cid:97)(cid:98)(cid:109)2 (cid:115)(cid:113)4,(cid:98)prime(cid:115)and(cid:97)(cid:98)(cid:109)(cid:115)(cid:115)(cid:113)4,(cid:97)1(cid:115)(cid:115)and(cid:109)(cid:98)(cid:115)(cid:115)(cid:113)16,(cid:97)1(cid:115)(cid:115)and(cid:109)(cid:98)(cid:115)(cid:115)(cid:113)2,(cid:109)3(cid:115)(cid:115)(cid:113)4,(cid:109)3
(cid:97)
(cid:60)(cid:14)iv.(cid:88) (cid:41)2;(cid:115)2
(cid:84): 1 111122 1 (cid:109)(cid:109)1 1 1 1 2 2
ut ifif
A 12
. (cid:60) (cid:21)
(cid:113)
(cid:113)(cid:86)(cid:14)(cid:80)8 (cid:14)iv.(cid:88) Aut(cid:84) Aut(cid:84)Aut(cid:84)Aut(cid:84)Aut(cid:84)(cid:84)(cid:84) (cid:84) (cid:71) Aut(cid:84) Aut(cid:84) (cid:84) (cid:71) (cid:84) (cid:84)
(cid:47)
D
d(cid:84) (cid:14)v.(cid:67) m. 5,67,68,69,64,66,6 6,1 3,1 4,1 2,2 2,2 6,3 4,3
n (cid:65) h 1 1 2 2
a T
3
(cid:115) D
(cid:60)(cid:77)(cid:77) (cid:14)v.(cid:67) m. 5,67,68,69,60,61,6 0,1 1,1 3,1 4,1 0,1 1,1 2,3 3,3
(cid:66) h 11 1 1 1 1 1 1 2 2
(cid:60) T
h
wit D
IIximal (cid:14)v.(cid:65)(cid:66) Thm. 3,6 5,6 6,1 2,2 2,2 6,2
Ea
LM
B (cid:84)
TA(cid:77)m1.2:(cid:77) (cid:108)(cid:14)ii.(cid:67)(cid:84) (cid:88)(cid:108).(cid:83)32 (cid:14).(cid:76)112(cid:61)2(cid:83)524:(cid:68)12(cid:61)(cid:65)(cid:83)43(cid:77):210(cid:77):(cid:83)93 (cid:113)(cid:14).(cid:79)(cid:113)2(cid:109) (cid:114)12(cid:14).(cid:83)(cid:112)(cid:113)4 (cid:113)(cid:14).(cid:79)26(cid:113)(cid:14).(cid:79)46 (cid:14).(cid:83)(cid:112)26(cid:83)9
e (cid:83)
r (cid:14)
o
eforThe (cid:108)(cid:14)ii.(cid:66)(cid:84) (cid:14).(cid:80)(cid:83)(cid:76)52 (cid:97)(cid:77)11 (cid:14).(cid:76)112 (cid:121)(cid:14).(cid:79)(cid:113)2(cid:109) (cid:121)(cid:14).(cid:79)26(cid:121)(cid:14).(cid:79)46 (cid:14).(cid:71)32
bl
a
ResultT (cid:108)(cid:14)ii.(cid:65)(cid:84) (cid:65)5 (cid:77)11 (cid:98)(cid:14).(cid:112)(cid:113).(cid:98)2(cid:97) (cid:14).(cid:71)22(cid:14).(cid:71)42 (cid:113)(cid:78)1
e (cid:83)
h
T
(cid:71) (cid:65),(cid:83)66 (cid:77)12 (cid:84) (cid:71)(cid:14).(cid:83)(cid:112)(cid:113)2(cid:109) (cid:14).(cid:83)(cid:112)26(cid:71)(cid:14).(cid:80)(cid:83)(cid:112)46 (cid:84)
(cid:80)
.2
2,
(cid:84) (cid:65)6 (cid:77)12 (cid:14).(cid:113),2(cid:109)(cid:71)2and(cid:47).(cid:14)(cid:109),(cid:113) (cid:86)(cid:14).(cid:80)37
(cid:83)(cid:112) (cid:109)(cid:14)
(cid:80)
e
n
Li 1 234567 8 9 10 11 12 13 14 15
FACTORISATIONS OF ALMOST SIMPLE GROUPS 137
otes (cid:47)2,3 odd quare (cid:115)2 (cid:115)2 (cid:115)3 (cid:115)4 (cid:115)2 (cid:115)3 (cid:115)2 (cid:115)4 (cid:115)2
N (cid:113) s (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113) (cid:113)
(cid:113) (cid:113)
(cid:60)(cid:14)iv.(cid:88)
(cid:84): 2(cid:100) 23(cid:100) 23(cid:100) 23(cid:100) 12 23(cid:100) 3 3 12 3 6(cid:100) 6 24 6 6 6
ut
A
(cid:60)
:
(cid:97) : : : : : : : : : : :
(cid:113)(cid:86)(cid:14).(cid:113)8 (cid:14)iv.(cid:88) (cid:26)(cid:70),(cid:114),(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:114)(cid:119)(cid:26)(cid:70),(cid:114)(cid:114)(cid:119) (cid:84) (cid:84) (cid:70) (cid:84)
(cid:80)
(cid:115)(cid:84) (cid:14)v.(cid:67) 1 2 3 4 5 6 8 11 12 16 3 8 12 8 4 10
d (cid:65)
n
a
3
(cid:115) (cid:14)v.(cid:67) 1 2 3 4 5 6 8 11 12 16 7 9 13 10 17 9
(cid:60)(cid:77)(cid:77) (cid:66)
(cid:60)h
wit (cid:14)v.(cid:66) 1 2 3 7
al (cid:65)
Im
IIxi
TABLE(cid:77)1.2:(cid:77)Ma (cid:108)(cid:14)ii.(cid:67)(cid:84) (cid:78)1 (cid:80)1(cid:121)(cid:78)2(cid:113)(cid:78)2 (cid:78)3(cid:121)(cid:114)(cid:86)12(cid:14).(cid:113)8 (cid:65)9(cid:121)(cid:86)22(cid:14).2.24(cid:113)(cid:86)(cid:14).28(cid:121)(cid:86)22(cid:14).4.24(cid:121)(cid:97)2(cid:14).(cid:78)2(cid:97)2(cid:14).(cid:65)9(cid:113)(cid:86)(cid:14).28(cid:97)2(cid:14).(cid:65)9(cid:113)(cid:97)2(cid:14).(cid:78)2(cid:97)2(cid:14).(cid:65)9
m
e
Theor (cid:108)(cid:14)ii.(cid:84) (cid:97)2(cid:78)1 (cid:97)(cid:80)1 (cid:121)(cid:97).(cid:78)2 (cid:97)(cid:80)1
or (cid:66) (cid:14)
f
e
ultTabl (cid:108)(cid:14)ii.(cid:84) (cid:97)(cid:78)1 (cid:78)1 (cid:121)(cid:78)2
es (cid:65)
R
e
h :
T (cid:119)
(cid:70) (cid:114)(cid:114)
(cid:70) (cid:70),
(cid:26)
(cid:71) (cid:71) (cid:84) (cid:70) (cid:70) (cid:84) (cid:70) (cid:84)
(cid:70) (cid:71)
(cid:84) (cid:70)
(cid:84)
.
(cid:113)
(cid:14)
(cid:84) (cid:113)8
(cid:86)
(cid:80)
e
n
Li 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
138 BADDELEY AND PRAEGER
TABLE IV
TheResultTableforTheorem1.2: (cid:77)(cid:77) Maximalwith(cid:60) (cid:77)(cid:77)(cid:60)(cid:115)4
Line (cid:84) (cid:71) (cid:65)(cid:14)ii. (cid:66)(cid:14)ii. (cid:67)(cid:14)ii. (cid:68)(cid:14)ii. (cid:88)(cid:14)iv. (cid:60)Aut(cid:84): (cid:88)(cid:60)(cid:14)iv.
1 (cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)3. (cid:84) (cid:86)(cid:113)(cid:14)2. (cid:78)(cid:97) (cid:78)(cid:97)2 (cid:78) (cid:26)(cid:84),(cid:114) ,(cid:97): 4
8 8 1 1 1 (cid:119)
2 (cid:80) (cid:26)(cid:84),(cid:114) : 12
1 (cid:119)
and in fact (cid:65), (cid:66), (cid:67) are, as subgroups of (cid:71), maximal subject to not
containing (cid:84). Thus the tuple (cid:14)(cid:84),(cid:71), (cid:65), (cid:66),(cid:67). is uniquely determined by
knowledgeof (cid:84), (cid:71), (cid:65)(cid:108)(cid:84), (cid:66)(cid:108)(cid:84),and (cid:67)(cid:108)(cid:84),even though this doesnot
follow from elementary considerations.
(cid:14)iii. We make various conventions on our notation for subgroups of (cid:71)
so that the pair (cid:14)(cid:71), (cid:77)(cid:77). listed by each line of the tables is uniquely
determined up to (cid:84)-equivalence, or equivalently, so that all subgroups of
(cid:71) are uniquely determined up to (cid:84)-conjugacy. These conventions agree
with those adopted in (cid:119)21(cid:120)(cid:125)for example, in line 1 of Table V, (cid:83) denotes
5
an intransitive subgroup of (cid:83) isomorphic to (cid:83) , while (cid:80)(cid:71)(cid:76) (cid:14)5. denotes
6 5 2
one that is transitive, and in line 3 of Table V, (cid:80) denotes the stabilizer in
1
(cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)3. of any singular one-dimensional subspace(cid:125)except that we need
8
some extra notation and must impose some extra assumptions when
considering (cid:84)(cid:115)(cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)(cid:113).. We describe these in the following.
8
Let (cid:79)(cid:113)(cid:14)(cid:113). be the group of all (cid:70) -linear maps on an (cid:70) -vector space (cid:86)
8 (cid:113) (cid:113)
withbasis(cid:20)(cid:101) ,...,(cid:101) , (cid:102) ,..., (cid:102) 4thatpreservethenon-degeneratequadratic
1 4 1 4
TABLE V
TheResultTableforTheorem1.2: (cid:77)(cid:77) Strong
Line (cid:84) (cid:71) (cid:65)(cid:14)ii. (cid:66)(cid:14)ii. (cid:67)(cid:14)ii. (cid:88)(cid:14)iv. (cid:60)Aut(cid:84): (cid:88)(cid:60)(cid:14)iv.
1 (cid:65) (cid:83) (cid:83) (cid:80)(cid:71)(cid:76) (cid:14)5. (cid:83) (cid:88)(cid:83) Aut(cid:84) 1
6 6 5 2 3 2
2 (cid:80)(cid:83)(cid:112) (cid:14)2., (cid:84) (cid:83)(cid:112) (cid:14)4..2 (cid:79)(cid:121)(cid:14)2. (cid:79)(cid:113)(cid:14)2. (cid:84) 1
4(cid:97) 2(cid:97) 4(cid:97) 4(cid:97)
(cid:97)(cid:71)2
3 (cid:83)(cid:112)(cid:14)2. (cid:84) (cid:71) (cid:14)2. (cid:79)(cid:121)(cid:14)2. (cid:79)(cid:113)(cid:14)2. (cid:84) 1
6 2 6 6
4 (cid:71) (cid:14)2.(cid:57) (cid:79)(cid:121)(cid:14)2. (cid:79)(cid:113)(cid:14)2. (cid:84) 1
2 6 6
5 (cid:71) (cid:14)2. (cid:79)(cid:121)(cid:14)2.(cid:57) (cid:79)(cid:113)(cid:14)2. (cid:84) 1
2 6 6
6 (cid:71) (cid:14)2. (cid:79)(cid:121)(cid:14)2. (cid:79)(cid:113)(cid:14)2.(cid:57) (cid:84) 1
2 6 6
7 (cid:80)(cid:86)(cid:113)(cid:14)3. (cid:84) (cid:78) (cid:80)(cid:97) (cid:86)(cid:113)(cid:14)2. (cid:84) 24
8 1 1 8
8 (cid:26)(cid:84),(cid:114) :(cid:40)(cid:84).2 (cid:26)(cid:78),(cid:114) : (cid:80)(cid:97) (cid:26)(cid:86)(cid:113)(cid:14)2.,(cid:114) :
(cid:119) 1 (cid:119) 1 8 (cid:119)
9 (cid:26)(cid:84),(cid:114)(cid:114) :(cid:40)(cid:84).2 (cid:26)(cid:78),(cid:114)(cid:114) : (cid:26)(cid:80)(cid:97),(cid:114)(cid:114) : (cid:86)(cid:113)(cid:14)2. (cid:84) 24
(cid:119) 1 (cid:119) 1 (cid:119) 8
10 (cid:26)(cid:84),(cid:114)(cid:97):(cid:40)(cid:84).2 (cid:78) (cid:26)(cid:80)(cid:97),(cid:114)(cid:97): (cid:26)(cid:86)(cid:113)(cid:14)2.,(cid:114)(cid:97): (cid:84) 24
(cid:119) 1 1 (cid:119) 8 (cid:119)
11 (cid:26)(cid:84),(cid:114),(cid:114) :(cid:40)(cid:84).22 (cid:26)(cid:78),(cid:114),(cid:114) : (cid:26)(cid:80)(cid:97),(cid:114)(cid:114) : (cid:26)(cid:86)(cid:113)(cid:14)2.,(cid:114) : (cid:84) 24
(cid:119) 1 (cid:119) 1 (cid:119) 8 (cid:119)