Olympiade-Aufgaben für junge Mathematiker: Mathematische Aufgaben für 10-15jährige

182 Pages·1989·13.52 MB·German

by  Bernd Noack (eds), Herbert Titze (eds)

Olympiade-Aufgaben
fürjunge
Mathematiker
Mathematische Aufgaben
für 10—15jährige
2.,unveränderteAuflage
Herausgegeben von
Bernd Noack
Herbert Titze
_!
Aulis Verlag Deubner & Co KG, Köln
Zeichnungen: Heinrich Linkwitz
CIP-KurztitelaufnahmederDeutschenBibliothek
Olympiade-AufgabenfürjungeMathematiker:
math.Aufgabenfür lO—lSjährige/hrsg.
vonBerndNoack;HerbertTitze. —2.Aufl. — Köln:
Aulis-Verl. Deubner, 1989
ISBN3-7614—0670-3
NE: Noack, Bernd[Hrsg.]
Best.-Nr. 2034
© Volk und WissenVolkseigenerVerlag Berlin/DDR 1982
Lizenzausgabe fürdenAulis Verlag Deubner&Co KG, Köln
2. fürdenAulisVerlagDeubner&CoKGveranstalteteAuflage 1989
Printed in the German Democratic Republic
ISBN 3-7614-0670-3
INHALT
Vorwort
Vorbemerkungen
Aufgaben
" Arithmetik
°.' Gleichungen
!
9’ Ungleichungen
°‘ Logisch—kombinatorische Aufgaben
:
"
5 Geometrie in der Ebene
9‘ Geometrie im Raum
>‘ Geometrische Konstruktionen in der Ebene
Lösungen
Arithmetik 74
P
N Gleichungen
Q Ungleichungen 111
+ Logisch-kombinatorische Aufgaben 116
M Geometrie in der Ebene 130
Q
Geometrie im Raum 157
S
Geometrische Konstruktionen in der Ebene 164
VORWORT
Der vorliegende Band ist für die Hand des Lehrers, insbesondere für die Hand des Leiters
vonArbeitsgemeinschaftenundZirkeln,gedacht, sollaberauchvoninteressiertenSchülern
benutzt werden können. Er schließt an die beiden Bände „Aufgaben mit Lösungen aus
Olympiaden Junger Mathematiker der DDR“, Band 1 und Band2, Volk und Wissen
Volkseigener Verlag Berlin 1972 und 1975, herausgegeben von Prof. Dr. W. ENGEL und
Prof. Dr. U. PIRL, an und dient den gleichen Zielen.
Die hier vorgelegte Auswahl der Aufgaben entstammt den Aufgaben und Lösungen aus
den Olympiaden Junger Mathematiker der DDR der Jahre 1961/62 bis 1980/81 und aus
den Vorolympiaden 1960 und 1961. Es wurden ausschließlich Aufgaben der Klassen-
stufen 5 bis 8 berücksichtigt.
Hinterjeder Aufgabe ist in Klammern angegeben, fürwelche Klasseund fürwelcheWett-
bewerbsstufe sie bestimmt war. Es bedeutet dabei (x/y/z) die x-te Olympiade, y die Olym-
piadeklasse (5, 6, 7, 8; meist identisch mit den entsprechenden Klassen der Oberschulen)
und z die Wettbewerbsstufe.
Der „Olympiade Junger Mathematiker der DDR“ genannte mathematische Schüler-
. wettbewerb, der in unserer Republik alljährlich stattfindet, wird für die Klassen 5 und 6
in zwei Stufen, fürdie Klassen 7 und 8 in drei Stufen durchgeführt. Dieerste Stufe (Schul-
olympiade) findet am Beginn eines jeden Schuljahres statt. An ihr kann jeder Schüler
freiwillig teilnehmen. Die besten Teilnehmer dieser Stufe werden dann zur 2. Stufe, den
Kreisolympiaden, delegiert. Der Termin dieser Veranstaltungen liegt Ende November
einesjeden Jahres, also am Ende des ersten Schuljahresviertels. Für die besten Teilnehmer
derKlassen7bis 12andenKreisolympiadenfindetdannjeweilsAnfangFebruardie3.Stufe,
die Bezirksolympiade, statt. Mit dieser Stufe endet auch für die Schüler der Klassen 7
und 8 der Wettbewerb. Nähere Informationen über Ziel, Bedeutung und Art der Durch-
führung der Olympiaden Junger Mathematiker der DDR sind im Vorwort des Bandes ]
der „Aufgaben mit Lösungen aus den Olympiaden Junger Mathematiker der DDR (Volk
und Wissen Volkseigener Verlag, Berlin 1972, Seite 4 bis 6)“ und im Heft2 der „Mittei-
lungender MathematischenGesellschaftder Deutschen Demokratischen Republik, Berlin,
Jahrgang 1971,“ enthalten.
Aus den Terminen für die einzelnen Stufen und aus der Art der Durchführung, die min-
destens in den Stufen 2 und 3 in Klausurform innerhalb einer begrenzten Arbeitszeit er-
folgt, ergeben sich Rückschlüsse für die Auswahl der Aufgaben. So müssen die Aufgaben
für die erste Stufe so ausgewählt sein, daß sie in der Klasse n lediglich die in der Klasse
n — 1 vermittelten Kenntnisse voraussetzen. Außerdem muß bei allen Aufgaben der
Stufen 2und 3 fürdiezur LösungundNiederschrift der Lösungdurchschnittlich erforder-
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liche Zeit die zeitliche Begrenzung der Klausuren berücksichtigt werden, darfalsoje Auf-
gabenichtmehralsetwa 1 Stundebetragen. UmeineechteAuswahlderbestenTeilnehmer
zu ermöglichen und auch um dem Teilnehmer Anhaltspunkte für seinen Wissensstand
zu geben, sind unter den Aufgabenjeder Wettbewerbsstufeinjeder Klasse Aufgaben ver-
schiedenen Schwierigkeitsgrades enthalten.
Vonden Teilnehmern wird grundsätzlich verlangt, daß sie alle Aussagen, Schlußfolgerun-
gen usw. begründen, wobei die Anforderungen in dieser Hinsicht für Schüler recht hoch
gestellt werden. Andererseits bleibt die Wahl des Lösungsweges und der zur Lösung ver-
wendeten Mittel — soweit nicht im Aufgabentext anderweitige Festlegungen getroffen
sind — dem Schüler frei überlassen. Dabei dürfen ohne Beweis nur solche Lehrsätze ver-
wendet werden, die im Schulunterricht behandelt werden. In allen anderen Fällen ist der
verwendete Satz mindestens im Wortlaut zu zitieren und gegebenenfalls zu beweisen.
Ebenso müssen grundsätzlich alle (in Zeichnungen oder im Text) verwendeten Bezeich-
nungen eindeutig erläutert werden. Da der vorliegende Band auch dem interessierten
SchülerAnregungenfürdieBeschäftigungmitdiesemMaterialgebensoll,sindangegebener
Stelle zu Beginn eines jeden Abschnitts einige Hinweise zur Analyse des Aufgabentextes
sowie zum Finden von Lösungen und zur Frage der Exaktheit und Vollständigkeit der-
artiger Lösungen mit aufgenommen werden. Damit soll dem Leser das Verständnis der in
dem jeweiligen Abschnitt auftretenden Probleme erleichtert werden. Insbesondere wurde
aufsolche Stellen aufmerksam gemacht, an denen entsprechend den Erfahrungen der Ver-
fasser aus langjähriger Tätigkeit im Rahmen der Olympiaden Junger Mathematiker der
DDR häufig Fehler bei der Abfassung von Lösungen zu finden sind.
Selbstverständlich kann im Rahmen einer Sammlung von Aufgaben und Lösungen von
einer vollständigen und umfassenden Behandlung der erwähnten Probleme nicht die Rede
sein. Die Verfasser hoffen aber, dem weniger erfahrenen Leser aufdiese Weise einige Rat-
schläge geben zu können und ihn darüber hinaus zum weiteren systematischen Studium
anzuregen.
Die unterschiedliche Anzahl der Aufgaben in den einzelnen Abschnitten erklärt sich vor
allem daraus, daß die zum Zeitpunkt der jeweiligen Stufe beim Schüler laut Lehrplan
vorhandenen mathematischen Mittel für die jeweiligen Abschnitte sehr unterschiedlich
im Umfang und in der Vielfalt sind.
EineeindeutigeVerteilungderAufgaben aufdieeinzelnenAbschnitteistoftnichtmöglich,
da manche Aufgaben Merkmale mehrerer Abschnitte in sich vereinen und daher auch
in einem anderen Abschnitt hätten aufgenommen werden können. Aus dem gleichen
Grund wurde auch innerhalb der einzelnen Abschnitte auf eine strenge Gliederung ver-
zichtet. Ebenso besagt die Reihenfolge der Aufgaben nichts über ihren Schwierigkeits-
grad.
Die abgedruckten Lösungen tragen gewissermaßen Mustercharakter. Es wurde im all-
gemeinen zu jeder Aufgabe nur eine Lösung ausgewählt, wobei zu berücksichtigen war,
daß sie mit den Mitteln erfolgen muß, die dem Schüler in derjeweiligen Klasse laut Lehr-
planzumZeitpunktderAufgabenstellungzurVerfügungstehen. Daherkonntenoftmanche
mathematisch durchaus „elegante“ Lösungen nicht genommen werden. In einigen Fällen
sind auch Lösungsvarianten aufgenommen werden, wobei es sich meist —— nach Ansicht
der Verfasser — um besonders interessante Lösungsmöglichkeiten handelt. Natürlich
kannmanvomWettbewerbsteilnehmerimallgemeinenkeinederartigen „Musterlösungen“
erwarten, eswirdaberverlangt, daßeinealsvollständigundrichtigzu bewertende Schüler-
lösung bei gleichem Lösungsweg alle wesentlichen Gedankengänge, Schlüsse usw. der
hier veröffentlichten Lösungen enthält.
FürihrewertvollenHinweisebeiderEndredaktiondankenwirHerrnDozentDr.sc.LUDWIG
STAMMLER(Halle), Herrn Studienrat MANFRED MÄTHNER (Cottbus) und HerrnWOLFGANG
THIESS (Parchim).
. ' Die Herausgeber
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VORBEMERKUNGEN
Im folgenden sollen dem Leser einige Hinweise aufdie im Text verwendete Terminologie
bzw. auf verwendete Sätze und bestimmte Schreibweisen gegeben werden, wobei es sich
nicht um strenge Definitionen handelt.
1. Sind A und Bzwei Punkt_e, so bez@hnetABbzw. BA dieStreckemitden Endpunk-
ten A und B, während AB (bzw. BA) die Länge der Strecke bedeutet (wie es in den
Olympiaden Junger Mathematiker üblich ist).
Sind B der Scheitelpunkt eines Winkels, A ein auf dem einen Schenkel und C ein
auf dem anderen Schenkel gelegener Punkt, so bezeichnet <): ABC den Winkel
und <)( ABCdieGrößediesesWinkels.
Die Ausdrucksweise „n Elemente (2. B. Zahlen, Punkte, Strecken) sind paarweise
voneinander verschieden“ bedeutet, daß es unter diesen n Elementen keine zwei
gibt, die einander gleich sind.
O.B.d.A. ist die Abkürzung für „Ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ und be-
deutet, daß die (zufällige) Wahl eines Elementes aus einer Menge ohne Einfluß
aufdas Ergebnis der Betrachtung ist.
Der Satz „Jede natürliche Zahl n > 1 läßt sich — bis aufdie Reihenfolge der Fak-
toren — eindeutig als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben“ (Satz über die
Eindeutigkeit der Zerlegung in Primfaktoren) wird häufig benutzt, ohne daß auf
ihn verwiesen wird.
Der Satz „Wenn zwei (oder mehr) natürliche Zahlen (paarweise) teilerfremd sind,
dann ist ihr kleihstes gemeinsames Vielfaches (k.g.V.) gleich ihrem Produkt“ wird
ohne Beweis verwendet.
Die im Schulunterricht laut Lehrplan behandelten Sätze und Definitionen werden
nicht ausführlich zitiert. Da die Auffassungen und Bezeichnungsweisen in den
z.Zt. in der DDR eingeführten Schulbüchem und Nachschlagewerken nicht ein-
heitlich sind, wurde von den Herausgebem die in den „Vorbetrachtungen“ des
Buches „Aufgaben und Lösungen aus OlympiadenJunger Mathematiker der DDR,
Band 2, Seite 7 bis 37, VolkundWissenVolkseigenerVerlag, Berlin 1975“ gegebene
Fassung zugrundegelegt.
Alle vorkommenden Zahlen sind, wenn nichts anderes gesagt wird, unter Verwen-
dung des dekadischen Systems dargestellt bzw. darzustellen.
Alle in den Lösungen in Klammern stehenden Wörter, Sätze, Bezeichnungen usw.
sind zu einer vollständigen Lösung nicht unbedingt erforderlich, sondern sollen
lediglich das Verständnis erleichtern.
10. Die Ausdrucksweisen „nach (ssw)“, „nach dem Kongruenzsatz (sss)“‚ „wegen
(sws)“ sind Abkürzungen für folgenden Satz:
„Diebeiden Dreiecke A und A’ sindgenaudannkongruent,wenn sichdie Bezeich-
nung der Seitenlängen a, b, c von A mit den Größen ac, ß, )! der ihnen gegen-
überliegenden Winkel und der Seitenlängen a', b’, c’ von A’ mit den Größen oz’,
ß’, y’ der ihnen gegenüberliegenden Winkel so wählen läßt, daß in einem der fol-
genden vier Fälle sämtliche Bedingungen erfüllt sind:
1_‚ a = , b = b , y =>.y' [Kongruenzsatz (sws)],
2. a = a’, b = b’, c = c’ [Kongruenzsatz (sss)],
3. a = a’ ; b = b’, at = a’ [Kongruenzsatz (ssw)],
4. a = a’, [3 = ß’, )) = y' [Kongruenzsatz (wsw)].“
11. Die Redewendungen „heißen“, „bedeuten“, „genannt werden“, „versteht man“
werden stets im Sinne von „genau dann, wenn“ verwendet.
12. Mit der Formulierung „Wenn ein Gebilde g der Bedingung B genügt, so heißt es
ein Element der Menge fill“ ist gemeint; „g ist genau dann Element von fill, wenn
es der Bedingung B genügt“.

AU FGAB EN
1. Arithmetik
Bei Olympiadeaufgaben werden alle vollständigen richtigen Lösungen als gleichwertig
angesehen. Natürlich wird der Wettbewerbsteilnehmer bestrebt sein, eine möglichst ra-
tionelle, interessante, vielleicht sogar eine originelle Lösung zu finden. Er darfsich dabei
— sofern der Aufgabentext keine Einschränkung vorsieht — beliebiger mathematischer
Mittelbedienen,auchwenndieseüberden seinerKlasseentsprechendenLehrplanstoffweit
hinausgehen. Im Gegensatz dazu berücksichtigen die unter L ]. veröffentlichten Lösungen
die der jeweiligen Altersstufe entsprechenden, auf den Lehrplänen beruhenden Möglich-
keiten.
Um eine vollständige richtige Lösung anfertigen zu können, muß man vor allem wissen,
was von einer derartigen Lösung gefordert wird. Es empfiehlt sich daher, den Aufgaben-
text genau zu studieren und zu analysieren.
Wie zu einer Lösung (L 1.2) führende Überlegungen etwa verlaufen können, sei hier am
Beispiel der Aufgabe A 1.2 dargestellt:
Diese Aufgabe besteht aus drei Teilen. Im Teil a) wird der Beweis einer bestimmten Aus-
sageüberunendlichvieleElemente(esgibtjaunendlichvielederartigeSummen)gefordert.
Es ist daher nicht möglich, durch systematisches und vollständiges Probieren das ver-
langte Ergebnis zu erhalten. Wohl aber kann man, falls man nicht sofort den richtigen
Ansatz für eine Lösung findet, zunächst einmal einige konkrete Fälle (etwa die Summen
0+1+2+3+4; 1 +2+3+4+5; 2+3+4+5+6) betrachten. Dabei stellt
maneinerseitsfest,daßdiezubeweisendeAussageindiesenFällengilt,andererseitserkennt
.man, daß die zweite (bzw. die dritte) Summe aus der ersten hervorgeht, indem man zu
jedem der 5 Summandenjeweils 1 (bzw. 2) addiert.
Zu der ersten Summe wird mithin in beiden Fällen ein (ganzzahliges) Vielfaches von 5
addiert. Das läßt sich nun verallgemeinem, indem man wie folgt ansetzt:
Es sei a eine natürliche Zahl. Dann gilt, wenn man den ersten der fünf Summanden mit
a + 01) bezeichnet:
(a+0)+(a+l)+(a+2)+(a+3)+(a+4)=5a+(0+1+2+3+4)
=5a+10=5(a+2)‚
d. h., 5 ist ein Teiler der betrachteten Summe. Damit ist Teil a) bewiesen.
Im Teil b) soll untersucht werden,.ob die in a) für fünf aufeinanderfolgende natürliche
Zahlen bewiesene Eigenschaft auch fiir sechs aufeinanderfolgende natürliche Zahlen
1 Üblicherweise schreibt man statt dessena, die Form(a + 0) wurdehier aus methodischenGründen ge-
wählt.
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