Ökonometrie: Mathematische Theorie und Anwendungen

333 Pages·2001·7.87 MB·German

by  Dr. Jörg-Uwe Löbus (auth.)

Jörg-Uwe Löbus
Ökonometrie
Mathematische Theorie und Anwendungen
Jörg-Uwe Löbus
Ökonometrie
Aus dem Programm
Mathematik
Stochastik für Einsteiger
von N. Henze
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
von U. Krengel
Stochastik
von G. Hübner
Multivariate Datenanalyse
von G. Kockläuner
Statistische Datenanalyse
von W. A. Stabel
Moderne Methoden der Finanzmathematik
von R. und E. Korn
Lineare-und Netzwerkoptimierung
von H. Hamacber und K. Klamrotb
Numerische Mathematik kompakt
von R. Plato
Numerik linearer Gleichungssysteme
von A. Meister
vieweg _________
~
Jörg-Uwe Löbus
••
Okonometrie
Mathematische Theorie
und Anwendungen
~
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhältlich.
Dr. Jörg-Uwe Löbus
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Institut für Stochastik
07740 Jena
E-Mail: [email protected]
ISBN 978-3-528-03176-3 ISBN 978-3-322-99245-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-99245-1
1. Auflage August 2001
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2001
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/
Wiesbaden 2001
www.vieweg.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheherrechtlich geschiitlt.
Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheherrechtsge'Ptlt's
ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt inslll'
sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und dip
Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen SystemeIl.
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Vorwort
Die Ökonometrie fasst diejenigen Methoden der mathematischen Statistik zusammen, die
bei der quantitativen Analyse ökonomischer Phänomene angewendet werden. Damit hat das
Lehrgebiet Ökonometrieeinen festen Platz in der Ausbildung von Wirtschaftsmathematikern
sowie von Mathematikern mit Nebenfach Volkswirtschaftslehre oder Betriebswirtschaftsleh
re. Darüber hinaus werden in zunehmenden Maße auch Studenten der Fachrichtungen Volks
bzw. Betriebswirtschaftslehre mit der Ökonometrie konfrontiert. Die mannigfaltigen Bedürf
nisse der Lernenden und die unterschiedlichen Spezialisierungen ihrer akademischen Lehrer
resultieren in einer Reihe von verschiedenen Herangehensweisen an die Ökonometrie, siehe
z.B. [As 95], [Au 99], [EKD 95], [Fr 80], [Gr 97], [PDP 00] und [Sc 90].
Anliegen des vorliegenden Buches ist es, einen rigorosen und präzisen mathematischen
Zugang zur Ökonometrie zu vermitteln. Außerdem soll gezeigt werden, dass aus ökonomischer
Sicht repräsentative Problemstellungen mit den vorgestellten Methoden bearbeitet werden
können. Schließlich soll der Leser lernen, wie man unter Nutzung des Softwaresystems SAS®
sämtliche diskutierten Verfahrensweisen der mathematischen Statistik auf dem Computer
umsetzen kann. Die Auswahl der Thematik sowie die Art und Weise der Darstellung ist an
die Anforderungen im Fachstudium in den oben benannten Studienrichtungen gekoppelt.
Voraussetzung für das Verständnis des Textes sind sichere Grundkenntnisse aus der linearen
Algebra, der reellen Analysis, der Funktionalanalysis sowie der Wahrscheinlichkeitstheorie
und der mathematischen Statistik.
Im Kapitell wird der Gegenstand der Ökonometrie betrachtet, seine Einordnung in
die Welt der Wissenschaften vorgenommen und die ihr eigene Sprache vorgestellt. Erster
inhaltlicher Schwerpunkt des Buches ist dann in den Kapiteln 2 bis 4 die lineare Regressi
onsanalyse. Es werden Parameterschätzungen, statistische Tests, Prognosen sowie Verfahren
zur Modellanalyse und -korrektur diskutiert. Das Kapitel 5 ist Systemen von linearen Regres
sionen - dem zweiten Schwerpunkt des Buches - gewidmet. Insbesondere werden Methoden
zur Modellbildung erläutert und Klassen von Parameterschätzungen untersucht. Den drit
ten Schwerpunkt bilden schließlich in den Kapiteln 6 bis 9 Modelle und Verfahren aus der
Zeitreihenanalyse. Nach einer Diskussion des analytischen Hintergrundes werden Parame
terschätzungen in ARM A(p, q)-Modellen, Schätzungen von Kovarianzen und Spektraldich
ten sowie Schätzungen von saisonalen und polynomialen Trends bereitgestellt.
Bedanken möchte ich mich bei meinen Studenten und Kollegen für die vielen wertvollen
inhaltlichen und stilistischen Hinweise. Besonderer Dank gilt dabei Nicole Serfiing, Werner
Nagel uud Jochen Wolf. Schließlich möchte ich die unkomplizierte Zusammenarbeit mit dem
Verlag Vieweg und insbesondere mit Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch hervorheben.
Jena, im J uui 2001 Jörg-Uwe Löbus
Standard bezeichnungen
orthogonales Komplement einer Teilmenge A eines mit einem inneren
Produkt versehenen Raumes
AT
Transposition einer quadratischen Matrix A
AT-1 Transposition und Inversion einer regulären Matrix A
al\b Minimum der reellen Zahlen a, b
aVb Maximum der reellen Zahlen a, b
a..lb Orthogonalität zweier Elemente a, b aus einem mit einem inneren Produkt
versehenen Raum
A..lB Orthogonalität zweier Teilmengen A, B eines mit einem inneren Produkt
versehenen Raumes
B(lR) er-Algebra der boreischen Mengen über lR
C, N,lR,Z Mengen der komplexen, natürlichen, reellen, ganzen Zahlen
CovX Kovarianzmatrix eines zufälligen Vektors X
detA Determinante einer quadratischen Matrix A
dimM Dimension eines linearen Raumes ./\.1
EX,EX Erwartungswert einer Zufallsgröße X sowie eines zufälligen Vektors X
Im rn-dimensionale Einheitsmatrix
LP(M;C) = {f : M -+ C : f ist messbar und J IflP d:r < oo}' M E B(lR)
LP(M; lR) = {f : M -+ lR : f ist messbar und J l.fIP dx < oo}, ME B(lR)
LP(D,F, P) = {~ : ~ ist eine Zufallsgröße über (D, F, P) mit J I~IP dP < 00 }
L(M) lineare Hülle einer Teilmenge M eines linearen Raumes
L(M) linearer Abschluss einer Teilmenge .A1 eines linearen Raumes in dessen
Topologie
N(~l, S) Normalverteilung mit Erwartungswertvektor fl und I\ovarianzmatrix S
Rang(A) Rang der Matrix A
plim Limes in Wahrscheinlichkeit.
tr(A) Spur einer quadrat.ischen Matrix A
VarX Varianz einer Zufallsgröße X
11·11 euklidische Norm eines Vektors, Spektralnorm eiller I\Iatrix
( . , . ) dazugehöriges inneres Produkt
11'ILv Norm in einem normierten Raum N
(., . h
inneres Produkt in einem mit einem inneren Prod11kt vnsehenen Ra11m I
#A1 Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M
steht für die Identifikation zweier Schreil)W('isen
Inhaltsverzeichnis
1 Modellbildung in der Ökonometrie 1
1.1 Das AtialfJrillzip ...... . 1
1.2 Uegriffswelt der Ökonomctrie :3
L~ Übungen............ 4
2 Das multiple Regressionsl11odell 7
2.1 Schätzung der Regressionskodfizienten ~ die Methode der kleinsten Quadrate 7
2.2 Beurteilung der IVlodellanfJassung 1:3
2.:3 Schätzung der Modellstreuung 17
2.4 (rbungen.......... 20
3 Normalverteilte Störgrößen 23
:1.1 Schätzung der ModellfJarameter mit Hilfe der Maxilllum~Likelihood~Methode 2:3
;t2 Weitere Eigenschaften der Schätzung der Modellstreuung . . . . . . . 26
:Ll Statistische Tests für die H.egressionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . .. 31
;~A Signifikanz von exogeneJ] Größen - Diskussion anhaud eines Beispiels . . .. 47
;3.5 l"':onfidenzin(ervallc für die HegressionskoeIIizienten und Progllosen für die en~
dogelw Variable 50
:3.6 (Jbuugen....................... ,56
4 Modelldefekte der multiplen Regressionsanalyse 59
4.1 M ultikolliueari litt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Die verallgemeinerte Methode der kleinsten Quadrate 66
L.l IIeteroskedastizität der Störgrößen 69
101 Aulokorrelation der Störgrößen 72
4.5 Übungen............. 79
5 Mehrgleichungsmodelle 81
5.1 Formen von MehrgleichungsIllodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
5.2 Schätzungen der Parameter der reduzierten Form im Modell mit scheinbar
unverbulldenell Regressionen. . . . . . . . . .. .............. 85
5.3 Schätzung der Parameter der reduzierten Form Im Modell mit verzögerten
elldogenell Variablen . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4 Das Identifikationsproblelll . . . . . . . . . . . . 94
5.5 Existellz von strukturellell Formen bei konkreten Daten 107
5.G Schätzung der Parameter der strukturellen Form nach der ILS~Methode 111
5.7 Schätzung der ParaIlleter der strukturellen Form nach der TSLS~Methode . 116
VII! luhal ts verzeichnis
5.8 Übungen 121
6 Elemente der Zeitreihenanalyse 127
6.1 Stationäre Prozesse ...... . 129
6.2 Der woldsche Zerlegungssatz .. UG
6.3 Charakteristiken stationärer Prozesse 145
6.4 Übungen................ 157
7 Parameterschätzungen in ARM li-Modellen 159
7.1 Schätzungen der Kovarianz- und Korrelationsfunktion . 159
7.2 Parameterschätzungen in AR(p)-Modellen ... 168
7.3 Pararneterschätzungen in AR1\;! A(p, q)-Modellell 172
7.4 Übungen...................... 18:.1
8 Schätzungen der Spektralfunktion und der Spektraldichte 187
8.1 Das Periodograrnm . . . . . . . . . . . . 187
8.2 Spezielle Schätzungen der Spektra.lclichtf' 196
8.:; Übungen.................. I ~)<l
9 Zeit reihen mit polynomialem und saisonalem Anteil 201
9.1 Zeitrf'ihen mit saisonalem Anteil .......... . 201
9.2 Zeitreihen mit polynomialem und saisonalem Anteil 216
9.:; Obungen ................... . 228
A Eine Auswahl mathematischer Grundlagen 233
A.l Einige Eigenschaften von Matrizen 2:3:3
A.2 Spezielle Verteilungen .. 2:Vi
A.:3 Folgen von Zufallsgrößen :t17
A.4 Hillwrträume ..... 240
B Erste Schritte mit SAS® 243
13.1 Die Datenverwaltullg von SAS 241
B.2 Programmierf'T1 mit SAS .. . 249
B.:3 SAS-Statistikprozecluren .. . 2!)7
B.4 Erstellen und Bearbeiten VOll Grafiken 290
8.5 Die Grundkomponeute SASj I At L . 2<)7
B.6 Übungen mit SAS ........... . :lO-l
C Quantile für den Test von R.A. Fisher und den Durbin-Watson-Test 313
C.l Quantile für den Test von B.A. Fisher ................. :ln
C.2 Untere und obere Schranken für die Quantile im Durbin-Watson-Tf'st :Hl
Literaturverzeichnis 317
Index 319
Mathematische Symbole 323
Kapitell
••
Modellbildung in der Okonometrie
Ökonometrie ist mathematische Statistik. Mathematische Statistik ist nicht Ökonometrie.
Vielmehr werden diejenigen Teilgebiete der mathematischen Statistik, die
- zur quauti tati veu Aualyse von ökonomischen Phänomenen,
- ~mr 1\10dellbildung und -testuug mit Hilfe von empirisch gewonnenem Beobachtungs
materiaL
-- zur Prognose ökouornischer Kenngrößen
benötigt werden, uuter dem Begriff Ökouometrie zusammengefasst. Das ist aber noch nicht
alles: Der Name "Ökonometrie" dieser vVissenschaft (grch. oikonomia = Wirtschaft, metron
= Messung) weist uus deutlich darauf hin, dass nicht nur Formalismen der mathematischen
Statistik gefragt siud. Ökonoflletrie ist auch eine Vermittlungsstelle zwischen den Lehrsätzen
der Wirtschaftstheorien und der wirtschaftlichen Wirklichkeit. Wirtschaftsdaten gibt es auch
ohne lllathematische Theorien - sie liegen vor. Aber zur Interpretation solcher Daten im Rah
men der vVirtschaJtstheorien oder gar zum Aufdecken von wirtschaftlichen Zusammenhängen
durch die Analyse dieser Daten ist ein Werkzeug wohl vonnöten. Dieses Werkzeug ist die
Ökollometrie.
1.1 Das Ätialprinzip
Betrachten wir eine der keynesianischen Theorie entstammende makroökonomische Konsum
tionsfunktion
(1.1)
iu deu Zeit perioden t E {I, ... , 11 }, wobei
C den privaten Konsum,
Co den autonomen Konsum,
Y das Einkommen,
Cl die marginale Konsumquote
bezeichne. I\ritiker des Modells werden sofort einwenden, dass zur Beschreibung der privaten
Konsumtion in einer Wirtschaft noch eine ganze Reihe weiterer Einflussfaktoren wie z. B.