O problema de Kepler, uma soluç˜ao coreográfica para o problema de três corpos e alguns ...

126 Pages·2009·0.75 MB·Portuguese

O problema de Kepler,
uma solu¸c˜ao coreogr´afica para
o problema de trˆes corpos e
alguns resultados sobre
configura¸c˜oes centrais
Antonio Carlos Fernandes
Dissertac¸a˜o apresentada
ao
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
da
Universidade de Sa˜o Paulo
para
obtenc¸a˜o do t´ıtulo
de
Mestre em Ciˆencias
Programa: Matem´atica Aplicada
Orientador: Prof. Dr. Clodoaldo Grotta Ragazzo
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da FAPESP
Bolsa 2007/58037-6
S˜ao Paulo, Julho de 2009
O problema de Kepler,
uma solu¸c˜ao coreogr´afica para
o problema de trˆes corpos e
alguns resultados sobre
configura¸c˜oes centrais
Este exemplar corresponde `a redac¸˜ao
final da dissertac¸˜ao devidamente corrigida
e defendida por (Antonio Carlos Fernandes)
e aprovada pela Comiss˜ao Julgadora.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Clodoaldo Grotta Ragazzo(orientador) - IME-USP.
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Prof. Dr. Luis Fernando de Os´orio Mello - DMC-UNIFEI.
•
Prof. Dr. Eduardo Shirlipe Goes Leandro - DMAT-UFPE.
•
Agradecimentos
Primeiramente, agradec¸o muito ao Professor Clodoaldo pela amizade, orientac¸˜ao e pelos ensi-
namentos sobre Mecˆanica.
Agradec¸o ao Professor Luis Fernando pela motivac¸˜ao matem´atica de algumas das id´eias aqui
colocadas.
Agradec¸o `a Tatiane e ao Guilherme, por estarem junto a mim nesta empreitada.
Por fim, agradec¸o aos meus familiares e amigos que direta ou indiretamente contribu´ıram para
a realizac¸˜ao deste trabalho.
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Resumo
No presente trabalho apresentamos algumas soluc¸˜oes cl´assicas para o problema de dois e trˆes
corpos. Uma soluc¸˜ao memor´avel para o problema de trˆes corpos, na qual os corpos perfazem uma
coreografia em forma de Oito, esta soluc¸˜ao foi encontrada em 2000 por Montgomery e Chenciner.
Por fim abordamos um pouco do problema cl´assico de n-Corpos e suas soluc¸˜oes particulares.
Palavras-chave: Problema de Kepler, Soluc¸˜ao Coreogr´afica, Configurac¸˜ao Central.
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Abstract
In this work we present some classical solutions for the Newtonian problem with two and three
bodies. A remarkable solution for the three body problem, found by Montgomery and Chenciner,
in which each body has an eight-shaped orbit is presented. Finally some particular solutions of the
n-body problem and the so called central configurations, are presented and discussed.
Keywords: Kepler problem, Choreographic Solution, Central Configurations.
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Sum´ario
Lista de Figuras ix
1 Introduc¸˜ao 1
1.1 Noc¸˜oes Preliminares da Mecˆanica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Noc¸˜oes Preliminares da Mecˆanica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 O Problema de Kepler 11
2.1 Leis de Kepler e a Gravitac¸˜ao de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Alguns Aspectos Geom´etricos do Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Regularizac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Problemas de Trˆes Corpos 39
3.1 Problema Newtoniano de 3-corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Uma Soluc¸˜ao Memor´avel para o Problema de Trˆes Corpos . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Construc¸˜ao do Espac¸o de Triˆangulos Orientados. . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 A Construc¸˜ao da O´rbita em Forma de ”Oito”. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.3 A O´rbita em Oito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 O Problema de n-Corpos 71
4.1 N˜ao-Integrabilidade do Problema de n-corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Alguns resultados do problema geral de n-corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Configurac¸˜oes Centrais 81
5.1 Definic¸˜oes e Resultados da Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Referˆencias Bibliogr´aficas 111
´Indice Remissivo 114
vii
viii SUMA´RIO