Numerische Prozeduren: Aus Nachlass und Lehre PDF
Preview Numerische Prozeduren: Aus Nachlass und Lehre
ISNM INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK SERlE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE Editors: Ch. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; P. Henrici, Zurich; A. Ostrowski, Montagnola; J. Todd, Pasadena; A. Van Wijngaarden, Amsterdam VOL. 33 NUMERISCHE PROZEDUREN AUS NACHLASS UND LEHRE VON PROF. HEINZ RUTISHAUSER HERAUSGEGEBEN VON WALTER GANDER LUCIANO MOLINARI HANA SVEcovA NUMERIKERGRUPPE DER ETH ZURICH 1977 BIRKHAUSER VERLAG BASEL UND STUTTGART CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Rutisbauser, Heinz [Sammlung] Numerische Prozeduren: aus Nachlass u. Lehre/ hrsg. von Walter Gander ... -1. Aufl. -Basel, Stuttgart: Birkhauser, 1977. (International series of numerical mathematics; Vol. 33) ISBN-13: 978-3-7643-0874-2 e-ISBN-13: 978-3-0348-7176-1 DOl: 10.1007/978-3-0348-7176-1 Nachdruck verboten AIle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten © Birkhauser Verlag Basel, 1977 GELEITWORT Heinz Rutishauser, der 1970 im Alter von 52 Jahren verstorbene Pionier der modernen numerischen Mathematik, hinterliess ein bedeutendes wis senschaftliches Erbe. Sein Nachlass umfasst neben seinen Vorlesungen iiber numerische Mathematik auch eine Anzahl fertiger Rechenprozeduren zur Losung verschiedener Standardaufgaben der angewandten Mathematik. Die auf Detailprobleme verwendete Sorgfalt und die Originalitat, mit welcher kritische Situationen narrensicher gemeistert werden, lassen auch diese Prozeduren als typische Produkte des Rutishauserschen Geistes erscheinen. Es ist daher zu begriissen, dass sich W. Gander, L. Molinari und H. Svecova, drei ehemalige Mitarbeiter von Rutishauser, zusammengefunden haben, urn die interessantesten dieser Prozeduren zu erlautern, auszutesten, sorgfaltig zu dokumentieren, in Einzelheiten zu verbessern und zur Publikation vor zubereiten. Bemerkenswert an diesen Prozeduren und im Einklang mit modernsten Bestrebungen ist der Urn stand, dass sie vollig maschinenunabhangig definiert sind. AIle fiir Konvergenztests benotigten Konstanten werden von der Prozedur selbst erzeugt. Dass zur Beschreibung die Programmiersprache "Subset ALGOL 60" verwendet wird, eine Sprache also, an deren Entwick lung Rutishauser selbst massgeblich beteiligt war, bedarf wohl keiner weite ren Rechtfertigung. Ich danke Herrn C. Einsele vom Birkhauser Verlag, dass er sich bereit erklart hat, diese Prozedurensammlung in die bekannte Internationale Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik aufzunehmen, und ich freue mich, dass dadurch ein weiteres Werk des grossen Schweizer Mathematikers Heinz Rutishauser der Oeffentlichkeit zuganglich geworden ist. P. HENRIeI EINLEITUNG Jeder der fiinf Beitrage dieses Buches ist in folgende Abschnitte ge gliedert: 1. Einleitung Zweck und Anwendungsmoglichkeit des Algorithmus. 2. Theoretische Grundlagen Dieser Abschnitt befasst sich mit den mathematischen Grundlagen, auf denen der formale Algorithmus beruht. 1m formalen Algorithmus ist die end~iche Computerarithmetik nicht beriicksichtigt. 3. Prozeduraufruf und Parameterliste Es wird beschrieben, mit welchen Parametern die Prozedur aufzurufen ist und welche Resultate geliefert werden. 4. Listing der Prozedur Der Algorithmus wird in diesem Abschnitt in Form einer Subset ALGOL 60 Prozedur (Numerische Mathematik 6, 454-458, 1964) maschinenunabhangig dokumentiert. 5. Bemerkungen iiber Organisation und Notation In diesem Abschnitt werden programmiertechnische Details beschrieben, die fUr die DurchfUrung des Algorithmus auf einem Computer mit endlicher Arithmetik wesentlich sind. 6. Numerische Eigenschaften Der Algorithmus wird verglichen mit andern und es wird auf Fehlerana lyse, Rechenaufwand und Versagen des Algorithmus hingewiesen. 7. und 8. Anwendungen und Beispiele Spezielle Anwendungsmoglichkeiten des Algorithmus werden erwiihnt und Testbeispiele aufgefUhrt. Die Prozedur lataeq (Latteninterpolation) kann vorteilhaft fUr die Interpola tion bei sehr vie len Stiitzpunkten verwendet werden. Der Rechenaufwand nimmt nur linear zur Anzahl Stiitzstellen zu. Interessant ist bei liglei (Auflosung linearer Gleichungssysteme) die Behandlung numerisch singularer Gleichungssysteme. In maschinell unabhangiger Weise wird die Maschinengenauigkeit ermittelt. In kritischen Fallen wird eventuell unter Anpassung der konstanten Glieder eine Losung des singularen Systems berechnet. Die Prozedur vennag kann fiir die Losung verschiedener Prob leme im Zusammenhang mit der vermittelnden Ausgleichsrechnung verwen det werden. Wenn die Fehlergleichungsmatrix nicht Maximalrang besitzt, ist die Losung nicht mehr eindeutig, was fiir die Praxis storend sein kann. Eindeutigkeit wird erzwungen durch Berechnen von relaxierten und doppel relaxierten Losungen. Der Schmidt'sche Orthogonalisierungsalgorithmus der Prozedur orthno ist zu verwenden, wenn hochste Anspriiche an die numerische Orthogonalitat von Vektoren gestellt werden. Besonders 8 Einleitung sorgfaltig werden numerische Skalarprodukte berechnet. Auf Wunsch konnen Vektoren superorthogonalisiert werden, d.h. ihre gegenseitigen numerisch berechneten Skalarprodukte werden klein gemacht gegeniiber den Skalarprodukten der Betragsvektoren. Die Prozedur qdstat schliesslich zeigt einige der Ideen Rutishausers beziiglich der Persistenz von Eigenschaf ten eines Algorithmus. Eine Eigenschaft ist persistent, wenn sie bei der Durchfiihrung des Algorithmus auf einem Computer bestehen bleibt. Die Abbruchkriterien sind maschinenunabhangig gewahlt und Genauigkeitsver lust bei Unterftuss wird sorgfaltig minimiert. Die Autoren danken Prof. P. Henrici fUr sein Interesse und seine Unterstiitzung. Ohne seine Hilfe ware diese Publikation nicht entstanden. Auch ihrem Kollegen Johann Joss danken sie fiir die fruchtbaren Diskus sionen. Buchs, 1977 W. GANDER INHAL TSVERZEICHNIS 1. Latteninterpolation (Prozedur lataeq) von W. Gander.......................................................... 11 2. Auftosung linearer Gleichungssysteme (Prozedur liglei) von H. Svecova .......................................................... 19 3. Vermittelnde Ausgleichung (Prozedur vermag) von L. Molinari.......................................................... 39 4. Schmidt'sches Orthogonalisierungsverfahren (Prozedur orthno) von L. Molinari ......................................................... 77 5. Stationarer Quotienten-DifIerenzen-Algorithmus (Prozedur qdstat) von W. Gander.......................... ... ............................. 95 LATTENINTERPOLATION FUR AEQUIDISTANTE STUTZSTELLEN PROZEDUR LATAEQ VON W. GANDER 1. Zweck des Programms Gegeben seien n + 1 aequidistante Stiitzpunkte einer empirischen Funk tion f: x (1.1) f(x) fo, fI, ... , fn wobei Xi = Xo + i x h, i = 0, 1, ... , n und h = Tabellenschrittweite. Gesucht ist eine moglichst glatte Interpolationsfunktion, die durch die Stiitzpunkte verlauft. Bekanntlich ist fiir grossere n das Interpolationspolynom durch (1.1) nicht brauchbar, da dieses wohl durch die Stiitzpunkte geht, zwischen den Stiitzstellen jedoch stark von der gewiinschten glatten Interpolations funktion abweichen kann. Durch Rechnen mit endlicher Genauigkeit wird diese Tendenz noch verstarkt. Interpoliert man, urn dies zu vermeiden, stiickweise durch Polynome niederen Grades, so weist die globale Inter polationsfunktion an gewissen Stellen Knieke auf und ist nieht differenzier bar, was zum Beispiel beim Aufzeichnen von Kurven storen kann. In solchen Fallen ist Latteninterpolation (eng!. spline interpolation) sehr geeig net. Interpoliert wird in jedem Intervall i=0,1, ... ,n-1 durch ein Polynom dritten Grades. Zwei Polynome fiir benachbarte Inter valle haben an der gemeinsamen Stiitzstelle nicht nur den gleiehen Funk tionswert sondern auch dieselbe erste und zweite Ableitung. Die globale Interpolationsfunktion g(x) ist somit zweimal stetig differenzierbar. Das Program lataeq konstruiert zu gegebenen Stiitzstellen und -werten die Latteninterpolationsfunktion und kann zur Interpolation von Neustellen verwendet werden. 2. Theoretische Grundlagen An die Interpolationsfunktion g(x) werden folgende Anforderungen ges tellt: a) gi: = g(x;) = /;, i = 0, 1, ... , n b) g solI fUr x,e Xi 4 mal stetig differenzierbar sein. 12 Latteninterpolation fur aequidistante Stutzstellen c) g soIl fur x = Xi wenigstens einmal stetig differenzierbar sein. d) E = ~ In (g"(X)? dx = minimal Xo Mit Hilfe der Variationsrechnung ergibt sich f oE = g"(X) og"(X) dx = 0 Xo Vertauschung von Variation und partieller Integration liefert: n-l oE = [gil og']~~ - I (g"(Xk + 0) - g"(Xk - 0» Og'(Xk) k~l n-l -[g'" og]~~+ I (g"'(Xk +0)-g"'(Xk -0» og(xd k~l f + g(4)(X) og(x) dx = 0 Xo Wegen a) ist Og(Xk) = O. Damit folgt fur die gesuchte Interpolationsfunktion: => g(4)(X) = 0 zwischen 2 Stutzstellen ist g ein Polynom 3. Grades. => g"(Xk + 0) = g"(Xk - 0) fur k = 1, ... , n -1 gil ist stetig, d.h. gist so gar 2 mal stetig differenzierbar. Weiter folgt noch: g"(XO) = 0, g"(Xn) = O. g kann nun wie folgt konstruiert werden: Falls die Ableitungen g; = g'(Xi), i = 0, 1, ... , n berechnet sind, so ist das zum Intervall (Xi, Xi+l) geh6rige Polynom dritten Grades Pi durch die Bedingungen Pi(XJ = gi, Pi(Xi+l) = gi+l (2.1) P;(xJ = g;, P;(Xi+l) = gf+l eindeutig bestimmt. Verwendet man statt X fur Pi die Variable t = (x - Xi)/ h und bezeichnet man mit Pi die Ableitung nach t, so lauten wegen Pi = P; x h die Bedin gungen (2.1) fur das Polynom Pi(t): Pi (0) = gi, Pi(1) = gi+l (2.2) Pi(O) = hg;, Pi(1) = hgf+l 2. Theoretische Grundlagen 13 Aus diesen Gleichungen ergibt sich Man verifiziert leicht, dass Pi die Bedingungen (2.2) erfiillt. Pi ist ein Hermite'sches Interpolationspolynom. Man kann nun fUr jedes Intervall (2.2) ansetzen und die Ableitungen g;, i = 0,1, ... , n, so bestimmen, dass die globale Interpolationsfunktion g(x) eine stetige zweite Ableitung besitzt: g"(x) stetig <=> Pi(l) = Pi+1(0), i = 0,1, ... , n-2 g"(xo) = g"(xn) = 0 <=> Po(O) = Pn- 1(1) = 0 Es ist Pi(l) = 6gi - 6gi+1+ 2hg;+4hgr+1 Pi+1(0) = -6gi+1 +6gi+2 -4hgr+1 -2hgr+2 Setzt man be ides gleich, so erhlilt man die Gleichung: i=0,1, ... ,n-2 Ferner: Po(O) = 0 <=> 4hgb+2hgi = 6g1-6go Pn-1(1) = 0 <=> 2hg~-1 +4hg~ = 6gn - 6gn-1 1m ganzen erhlilt man damit folgendes Gleichungssystem fiir die Ab leitungen hg;, i = 0, 1, ... , n: 2 1 3g1-3go 141 3g2-3go 1 4 1 3g -3g 3 1 1 4 1 hg~-l 3gn-3gn- 2 1 2 hg~ 3gn -3gn- 1 ~ A x b Die Matrix A dieses Systems ist gut konditioniert (Kondition ~ 6). Nach Gerschgorin enthlilt nlimlich die Vereinigung aller Kreisscheiben Ki = {IL E C, IlL - aiil ~ -£. laikl} k=l k .. i
The list of books you might like
