Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben Band 3: Optimierung bei graphentheoretischen und ganzzahligen Problemen PDF
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ISNM INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK SERIE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE Editors: eh. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; P. Henrici, Zürich; A. Ostrowski, Montagnola; J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam VOL. 36 Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben Band 3 Optimierung bei graphentheoretischen und ganzzahligen Problemen Vortragsauszüge einer Tagung über <Optimierung bei graphentheoretischen und ganzzahligen Problemen> vom 22. bis 28. Februar 1976 im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald) Herausgegeben von L. COLLATZ, Hamburg, G. MEINARDUS, Siegen, und W. WETTERLING, Enschede 1977 Springer Basel AG CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben/ hrsg. von L. Collatz ... - Basel, Stuttgart: Birkhäuser. NE: Collatz, Lothar [Hrsg.] Bd. 3. Optimierung bei graphentheoretischen und ganzzahligen Problemen: Vortragsausz. e. Ta gung über Optimierung bei Graphentheoret. u. ganzzahligen Problemen vom 22. bis 28. Februar 1976 im Math. Forschungsinst. Oberwolfach (Schwarzwald). - 1977. (International series of numerical mathe matics; Vol. 36) ISBN 978-3-0348-5937-0 NE: Tagung über Optimierung bei Graphentheore tischen und ganzzahligen Problemen <1976, Ober wolfach); Mathematisches Forschungsinstitut < Oberwolf ach > Nachdruck verboten Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. © Springer Basel AG 1977 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1977 ISBN 978-3-0348-5937-0 ISBN 978-3-0348-5936-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5936-3 Vorwort Der vorliegende Band gibt hauptsächlich Vorträge wieder, die in der Zeit vom 23. bis 27. Februar 1976 auf einem am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach abgehaltenen Kolloquium über «Optimierung bei graphentheo retischen und ganzzahligen Problemen» gehalten wurden. Die Tagung war einem aktuellen und in neuerer Zeit in der Literatur viel behandelten Teilge biet der Optimierung gewidmet. Die graphen theoretischen und ganzzahligen Optimierungsprobleme sind, wie auch aus den 19 Vorträgen hervorging, für viele Anwendungen in Wirtschaft und Technik von Bedeutung, geben aber auch Anlass zu interessanten theoretischen Untersuchungen. Auch über Fortschritte auf dem Gebiet der numerischen Methoden konnte berichtet werden, vor allem im Zusammenhang mit der Komplexität von Algorithmen. So hoffen die Unterzeichner, dass die Tagung dazu beigetragen hat, den Kontakt zwischen mathematischer Theorie und Anwendungsgebieten wieder etwas stärker zu beleben. Die 42 Teilnehmer aus dem In- und Ausland, darunter eine grössere Gruppe aus den Niederlanden und einige eigens zu dieser Tagung aus Amerika angereiste Kollegen, haben in Vorträgen und Diskussionen viele wertvolle Informationen austauschen können. Der Institutsleitung gebührt für diese Gelegenheit der wissenschaftlichen Begegnung der Dank aller Teilnehmer. L. COLLATZ G. MEINARDUS W. WETTERLING (Hamburg) (Siegen) (Enschede) Inhaltsverzeichnis R.E. BURKARD - H. HAMACHER - U. ZIMMERMANN: Flussprobleme mit allgemeinen Kosten ........................... 9 L. COLLATZ: Graphen bei Ornamenten und Verzweigungsdiagrammen . . . . . . . . . . . . 23 B. DEJON: Bestimmung von r kürzesten Wegen in Netzwerken unter Nebenbedin- gungen: Verfahren vom Hoffman-Pavley-Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 R. HALIN: Systeme disjunkter unendlicher Wege in Graphen .................. 55 P.L. HAMMER: Pseudo-Boolean remarks on balanced graphs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 W.P.A. VAN DER HEYDEN: Some experiments with Steiner trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 H. Th. JONGEN: Zur Geometrie endlichdimensionaler nichtkonvexer Optimierungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111 E.KöHLER: Bemerkungen über Langfordsequenzen ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 137 E.KöHLER: Über die Konstruktion optimaler Versuchspläne mit Hilfe von Sko1em- sequenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147 J. KRARuP - O. BILDE: Plant 10cation, set covering and economic lot size: An O(mn A1gorithm for structured problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155 K. KUBIK - M. DRENTHEN: Problems in computer network optima1ization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181 K.NEUMANr:-r: Optimal control of decision activity networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 191 R. REDHEFFER: Eine explizit lösbare Optimierungsaufgabe ........................ 213 ISNM 36 Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart, 1977 9 FLUSSPROBLEME MIT ALLGEMEINEN KOSTEN Rainer E. Burkard, Horst Hamacher und Uwe Zimmermann Ein algebraischer Ansatz für die Zielfunktionen von Transportproblemen und Flußproblemen in Netzwerken führt auf ein Problem, das die klassischen Fälle von Summenzielfunktion und Engpaßzielfunktion enthält. Zur Lösung des allgemeinen Transportproblemes können "zuläs sige Transformationen" herangezogen werden, während das allgemeine Flußproblem durch verallgemeinerte Flußalgo rithmen gelöst werden kann. Der algebraische Ansatz ge währt nicht nur Einblick in die Struktur der Probleme sondern erklärt auch ihr verschiedenes numerisches Ver halten. An algebraic approach for the objective functions of transportation problems and network flow problems with minimal costs leads to a general problem which covers the classical cases of sum and bottleneck objectives. For sol ving the general transportation problem "admissible trans formations" are introduced, whereas the general network flow problem can be solved by generalized network flow algorithms. The algebraic approach gives an insight in the structure of the treated problems and explains their different numerical behaviour. 10 BURKARD et al. 1. Problemstellung Zu den Standardproblemen der Mathematischen Opti mierung gehören Transportprobleme und Flußprobleme in Netz werken. Diese lassen sich folgenderweise beschreiben: n Ein Netzwerk = (V,E,q,s,c,a) ist ein gerichteter Graph G = (V,E) mit zwei ausgezeichneten Knoten, der Quel le q E V und der Senke s E V. Für jede Kante (i,j) E E sind Kosten aij E R und ist eine Kapazität c(i,j) E R+ festgelegt. Ein Fluß f in n mit dem Wert v ist eine Ab bildung f E ~ R+ mit o .::: f .::: c . i=q (1 ) L f(i,j)- L f(j,i) i+q,s (i,j)EE (j , i) EE i=s für festes i. Ein maximaler Fluß f inn ist ein Fluß, der (1) erfüllt und maximalen Flußwert v hat. Die Menge der maximalen Flüsse inn bezeichnen wir mit PF. Dann lautet das klas sische Flußproblem mit minimalen Kosten (2) min L f(i,j)a(i,j) fEPF (i,j) EE Das zugehörige Engpaßproblem lautet (3) min max a(i,j) f EP F (i, j ) EE: f (i, j ) >0 Flußprobleme enthalten als Spezialfall das klassische Transportproblem. Setzen wir dazu I : = {i1, ... ,im}, J {j1, ... ,jn} und definieren wir als Knotenmenge V I U J U {q,s} bzw. als Kantenmenge E ({q}xI) U (IxJ) U (Jx{s}). BURKARD et aL 11 Als Kapazitäten setzen wir fest c(q,i) ai (i E I) c(j ,s) b. (j E J) J c(i,j) co (i E I,j E J) Dabei entspricht ai dem Warenangebot im Knoten i und bj der Nachfrage im Knoten j. Ferner erklären wir Kosten a (q, i) a(j,s) :=0, a(i,j) aij (i E I,j E J) Das so erklärte Flußproblem ist äquivalent mit dem klas sischen Transportproblem m n (4) min ~ ~ aij xij xEPT i=1 j=1 wobei PT das Transportpolyeder bezeichnet. In manchen Zusammenhängen ist es sinnvoll, nicht eine Summe zu minimieren, sondern die maximale Zeit: Sol len von den Orten i (i = 1, •.• ,m) verderbliche Waren in die Orte j (j = 1, •.• ,n) versandt werden, wobei der Zeit bedarf für den Versand von i nach j gerade tij Zeiteinhei ten beträgt, so führt ein Versandplan, der die Angebots und Nachfragerestriktionen erfüllt und die Gesamtzeit des Versands minimiert, auf ein Zeittransportproblem Zeittransportprobleme wurden bereits mehrfach in der Li teratur behandelt, so etwa von Garfinkel-Rao [7], Hammer [8] und Swarc [10]. Ein Spezialfall von Transportproblemen sind Zu ordnungsprobleme. Ist m = n und a. = b. = 1, so führt (4) ~ J auf ein lineares (Summen-) Zuordnungsproblem. Da im Spe- zialfall der Zuordnungsprobleme die Restriktionen gerade Permutationen beschreiben, können wir diese Probleme 12 BURKARD et al. folgenderweise formulieren: Man finde eine Permutation ~ E I{n der Menge aller Permu tationen von {1,2, ••. ,n}, so daß bzw. max ci~(i) 1<i<n minimiert wird. Somit lautet ein lineares Zuordnungspro blem (6) min ~er n und ein lineares Engpaßzuordnungsproblem (7) min max ci~(i) ~Ern 1<i<n 2. Ein algebraischer Ansatz für die Zielfunktion In einer früheren Arbeit (vgl. Burkard, Hahn und Zimmer mann [3]) wurde nachgewiesen, daß im Fall von Zuordnungs problemen das Summenproblem wie auch das Engpaßproblem Spezialfälle eines allgemeinen linearen Zuordnungsproble mes sind. Da in (6) und (7) keine reellen Variablen ex plizit auftreten, kann man die Koeffizienten c .. als Ele- ~J mente einer Menge S auffassen, in der eine innere Ver- * knüpfung erklärt ist. Im Falle von Summenproblemen ist dies die Addition, im Falle von Bottleneckproblemen das "Maximum". Die Frage, welche Eigenschaften das Sy- stem (S,*) besitzen muß, damit - Zuordnungsprobleme sinnvoll gestellt und - effizient lösbar sind führte auf folgende vier Axiome (I) (S, *) ist eine kommutative Halbgruppe (11) (S,~) ist totalgeordnet
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