Numerische Mathematik kompakt: Grundlagenwissen für Studium und Praxis

376 Pages·2000·15.66 MB·German

by  Priv.-Doz. Dr. Robert Plato (auth.)

Robert Plato
Numerische Mathematik
kompakt
Aus dem Programm ____________- --.....
Numerische Mathematik
Elementare Numerische Mathematik
von B. Schupp ar
Numerische Mathematik für Anfänger
von G. Opfer
Numerische Mathematik 1 und 2
vonJ. Wemer
Numerlk
von H. Späth
Numerische Mathematik für Ingenieure
und Naturwissenschaftler
von F. Weller
Übungsbuch zur Numerischen Mathematik
von J. Herzberger
Numerlk linearer Gleichungssysteme
von A. Meister
Numerische Methoden in der Technik
vonR. Mohr
vieweg _________________ ___
Robert Plato
Numerische Mathematik
kompakt
Grundlagenwissen für Studium und Praxis
~
vleweg
Priv.-Doz. Dr. Robert Plato
Technische Universität Berlin
Fachbereich Mathematik
Straße des 17. Juni 135
10623 Berlin
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ISBN 978-3-528-03153-4 ISBN 978-3-322-96839-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96839-5
v
Vorwort
Das vorliegende Lehrbuch ist hervorgegangen aus zwei jeweils vierstündigen Vorlesungen über Numeri
sche Mathematik, die ich seit 1997 wiederholt an der Technischen Universität Berlin gehalten habe. Diese
Vorlesungen sind in erster Linie von Studierenden der Wirtschafts- und Technomathematik und zu einem
kleineren Teil von Studierenden des Diplomstudiengangs Mathematik sowie der Physik und Informatik be
sucht worden.
In seiner jetzigen Form richtet sich das Lehrbuch an Studierende und Absolventen der Mathematik sowie
benachbarter Fächer wie Informatik, Natur- und Ingenieurwissenschaften an Universitäten und Fachhoch
schulen. In kompakter Form werden zahlreiche grundlegende und für die Anwendungen wichtige Themen
komplexe aus der Numerischen Mathematik behandelt:
• Interpolation, schnelle Fouriertransformation und Integration,
• direkte und iterative Lösung linearer Gleichungssysteme,
• iterative Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme,
• numerische Lösung von Anfangs- und Randwertproblemen
bei gewöhnlichen Differentialgleichungen,
• Eigenwertaufgaben bei Matrizen,
• Approximationstheorie und Rechnerarithmetik.
Auf die Behandlung der Numerik partieller Differentialgleichungen sowie der nichtlinearen Optimierung
wird aufgrund des angestrebten überschaubaren Umfangs verzichtet.
Das Bestreben dieses Lehrbuchs ist es, die vorliegenden Themen auf möglichst elementare und übersichtli
che Weise zu behandeln. Dies gilt auch für die Herleitung der Approximationseigenschaften der vorgestell
ten numerischen Methoden, bei der jeweils lediglich Grundkenntnisse der Analysis und der linearen Algebra
vorausgesetzt werden. Außerdem sind für viele der diskutierten Verfahren die jeweiligen Vorgehensweisen
durch Bilder und Schemata veranschaulicht, was das Erlernen der auftretenden Zusammenhänge erleich
tern sollte. Für zahlreiche der behandelten Verfahren werden die praktisch bedeutungsvollen Aufwandsbe
trachtungen angestellt und Pseudocodes angegeben, die sich unmittelbar in Computerprogramme umsetzen
lassen. Die etwa 120 vorgestellten Übungsaufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrads sind fast alle im
Übungsbetrieb verwendet worden und daher praxiserprobt.
Ich selbst habe die Vorläufer dieses Lehrbuchs ohne weitere Themenauswahl als Vorlage für Vorlesungen
über Numerische Mathematik 1 und 2 verwendet. Dabei wurden die ersten sechs Kapitel in Teil 1 und die
Kapitel 7 bis einschließlich 13 in Teil 2 der Vorlesung behandelt. Möglich wäre es aber auch, im ersten
Teil die Behandlung des sechsten Kapitels über numerische Integration deutlich abzukürzen. Stattdessen
könnten dann im ersten Teil beispielsweise noch die Grundlagen über Einschrittverfahren zur numerischen
Lösung von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen (Kapitel 7) oder Relaxati
onsverfahren zur iterativen Lösung linearer Gleichungssysteme (Kapitel 10) vorgestellt werden.
vi
Zu diesem Buch wird ein Online-Service angeboten, der unter
http://www.math.tu-berlin.de/numerik/plato/viewegbuch
abrutbar ist. Er umfasst Lösungshinweise zu den vorgestellten Übungsaufgaben und MATLAB -Programme
zu einigen der in diesem Buch präsentierten Pseudocodes. Außerdem werden über diesen Online-Service im
Laufe der Zeit Abschnitte über weitere in diesem Buch nicht behandelte Themen beziehungsweise eine Liste
der eventuell anfallenden Korrekturen angeboten. Anregungen, nützliche Hinweise und Verbesserungsvor
schläge zu diesem Lehrbuch sind jederzeit willkommen und erreichen mich unter meiner Email-Adresse
[email protected].
Mein Dank gilt meinen Kollegen Prof. Dr. R. D. Grigorieff und Dipl. Math. Etienne Emmrich für viele
nützliche Anregungen, die in der vorliegenden Fassung weitestgehend berücksichtigt sind. Den Vorlesungs
teilnehmern Dipl. Inf. Till Tantau und cand. math. Olivier Pfeiffer sowie einigen weiteren Studierenden sind
zahlreiche kleine aber wichtige Verbesserungen zu verdanken. Außerdem danke ich Prof. Dr. Chuck Gro
etsch, Prof. Dr. Martin Hanke-Bourgeois und Prof. Dr. Hans-Jürgen Reinhardt für die Unterstützung bei
der Durchführung dieses Buchprojekts und Frau Ulrike Schrnickler-Hirzebruch vom Verlag Vieweg für die
stets angenehme Zusammenarbeit.
Berlin, im Mai 2000 Robert Plato
INHALTSVERZEICHNIS vii
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Inhaltsverzeichnis vii
1 Polynominterpolation 1
1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen und Landausche Symbole 1
1.1.1 Landausche Symbole . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Existenz und Eindeutigkeit bei der Polynominterpolation 2
1.2.1 Die Lagrangesche Interpolationsformel .... . 3
1.2.2 Eine erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Polynoms 3
1.3 Neville-Schema ...................... . 4
1.4 Die Newtonsche Interpolationsformel, dividierte Differenzen 6
1.5 Der bei der Polynominterpolation auftretende Fehler 9
1.6 Tschebyscheff-Polynome ......... . 11
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 14
Übungsaufgaben .............. . 14
2 Splinefunktionen 17
2.1 Einführende Bemerkungen 17
2.2 Interpolierende lineare Splinefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Die Berechnung interpolierender linearer Splinefunktionen . 18
2.3 Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen 19
2.4 Die Berechnung interpolierender kubischer Splinefunktionen 20
2.4.1 Voriiberlegungen........ 20
2.4.2 Natürliche Randbedingungen . . 22
2.4.3 Vollständige Randbedingungen 23
2.4.4 Periodische Randbedingungen . 23
2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden kubischen Splines 24
2.5 Fehlerabschätzungen für interpolierende kubische Splines . 25
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 29
Übungsaufgaben ................ . 29
3 Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen 30
3.1 Diskrete Fouriertransformation ......... . 30
3.2 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation 31
3.2.] Fourierreihen.............. 31
3.2.2 Trigonometrische Interpolation, Teil 1 . 32
3.2.3 Trigonometrische Interpolation, Teil 2 . 33
3.3 Schnelle Fouriertransformation (FFT) .. . 36
3.3.1 Einführende Bemerkungen .... . 36
3.3.2 Der grundlegende Zusammenhang. 37
viii INHALTSVERZEICHNIS
3.3.3 Bit-Umkehr .................... . 38
3.3.4 Der FFf- Algorithmus in der Situation N = 2q • • • 39
3.3.5 Aufwandsbetrachtungen für den FFr -Algorithmus . 42
3.3.6 Pseudocode für den FFf- Algorithmus in der Situation N = 2q 42
Weitere Bemerkungen und Literaturlrinweise 43
Übungsaufgaben .............. . 43
4 Lösung linearer Gleichungssysteme 45
4.1 Dreieckssysteme .............. . 45
4.1.1 Obere gestaffelte Gleichungssysteme 45
4.1.2 Untere gestaffelte Gleichungssysteme 46
4.2 Der Gauß-Algorithmus .......... 46
4.2.1 Einführende Bemerkungen . . . . . 46
4.2.2 Gauß-Algorithmus mit Pivotsuche 49
4.3 Die Faktorisierung PA = LR 50
4.3.1 Permutationsmatrix . . . . . . 50
4.3.2 Frobeniusmatrizen...... 52
4.3.3 Die Faktorisierung PA = LR 54
4.4 LR-Faktorisierung.......... 57
4.5 Cholesky-Faktorisierung positiv definiter Matrizen. 58
4.5.1 Die Berechnung einer Faktorisierung A = LLT für positiv definite Matrizen A E
IRNxN • • • • • • • • • • • 60
4.6 Bandmatrizen . . . . . . . . . . . 61
4.7 Normen und Fehlerabschätzungen 61
4.7.1 Normen.......... 62
4.7.2 Spezielle Matrixnormen . 65
4.7.3 Die Konditionszahl einer Matrix 68
4.7.4 Störungsresultate für Matrizen . 68
4.7.5 Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme . 69
4.8 Orthogonalisierungsverfahren ................. 71
4.8.1 Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen . . . 71
4.8.2 Die Faktorisierung A = QR mittels Gram-Schmidt-Orthogonalisierung 72
4.8.3 Die Faktorisierung A = QS mittels Householder-Transformationen .. 73
4.8.4 Anwendung 1: Stabile Lösung schlecht konditionierter Gleichungssysteme Ax = b 76
4.8.5 Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung . 76
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 78
Übungsaufgaben .............. . 78
5 NichtIineare Gleichungssysteme 81
5.1 Vorbemerkungen ..... . 81
5.2 Der eindimensionale Fall (N = 1) 82
5.2.1 Ein allgemeines Resultat . 82
5.2.2 Das Newton-Verfahren für N = 1 83
5.3 Der Banachsehe Fixpunktsatz . 84
5.4 Das Newton-Verfahren .......... . 87
INHALTSVERZEICHNIS ix
5.4.1 Einige Begriffe aus der Analysis . . . . . . . . 87
5.4.2 Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz 88
5.4.3 Nullstellenbestimmung bei Polynomen 90
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 94
Übungsaufgaben .......... . 94
6 Numerische Integration von Funktionen 96
6.1 Interpolatorische Quadraturformein . 96
6.2 Spezielle interpolatorische Quadraturformein ... 97
6.2.1 Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln 97
6.2.2 Andere interpolatorische Quadraturformein .100
6.3 Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur . . .100
6.4 Genauigkeit abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln für gerade Zahlen n · 103
6.4.1 Der Beweis von Lemma 6.14 ........ . · 105
6.5 Summierte abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln · 107
6.5.1 Summierte Rechteckregeln . .107
6.5.2 Summierte Trapezregel . . . . . . · 108
6.5.3 Summierte Simpson-Regel .. .109
6.6 Asymptotik der summierten Trapezregel . · 110
6.6.1 Die Asymptotik . · 110
6.7 Extrapolationsverfahren . · 110
6.7.1 Grundidee .... · 110
6.7.2 Neville-Schema · 111
6.7.3 Verfahrensfehler bei der Extrapolation . 112
6.8 Gaußsche Quadraturformein . . . · 114
6.8.1 Einleitende Bemerkungen ...... . · 114
6.8.2 Orthogonale Polynome ........ . · 114
6.8.3 Optimale Wahl der Stützstellen und Gewichte . · 117
6.8.4 Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte · 119
6.9 Nachtrag: Beweis der Asymptotik für die summierte Trapezregel · 121
6.9.1 Bemoulli-Polynome ........ . · 121
6.9.2 Der Beweis von Theorem 6.21 · 123
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise · 124
Übungsaufgaben ............. . · 124
7 Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme 126
7.1 Ein Existenz-und Eindeutigkeitssatz . . . . · 126
7.2 Theorie der Einschrittverfahren ............. . · 127
7.2.1 Ein elementares Resultat zur Fehlerakkumulation · 129
7.3 Spezielle Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . · 130
7.3.1 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = l. · 130
7.3.2 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 2. · 131
7.3.3 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 4. · 132
7.4 Rundungsfehleranalyse .............. . · 133
7.5 Asymptotische Entwicklung der Approximationen. . . . . · 134
x INHALTSVERZEICHNIS
7.5.1 Einführende Bemerkungen ............................... 134
7.5.2 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfehlers, 1. Teil. 135
7.5.3 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfehlers, 2. Teil. 137
7.5.4 Asymptotische Entwicklungen des lokalen Verfahrensfehlers . .139
7.6 Extrapolationsmethoden für Einschrittverfahren · 140
7.7 Schrittweitensteuerung ... · 142
7.7.1 Verfahrensvorschrift . . . . . . . . . . · 142
7.7.2 Problemstellung ........... . · 143
7.7.3 Vorgehensweise bei gegebener Testschrittweite h(k) • · 144
7.7.4 Bestimmung einer neuen Testschrittweite h(k+l) im Fall t5(k) > g . · 144
7.7.5 Pseudocode zur Schrittweitensteuerung · 145
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise · 146
Übungsaufgaben .............. . · 146
8 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme 149
8.1 Grundlegende Begriffe ........... . · 149
8.1.1 Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . · 149
8.1.2 Konvergenz- und Konsistenzordnung · 150
8.1.3 Nullstabilität, Lipschitzbedingung .. · 151
8.1.4 Übersicht............... · 151
8.2 Der globale Verfahrensfehler bei Mehrschrittverfahren · 152
8.2.1 Das Konvergenztheorem . . . . . . . . . . . . · 152
8.2.2 Hilfsresultat 1: Das Lemma von Gronwall .. . · 154
8.2.3 Beschränktheit der Matrixfolge A, A2, A3, .. . · 156
8.2.4 Die Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren . · 157
8.3 Spezielle lineare Mehrschrittverfahren - Vorbereitungen · 159
8.4 Adams-Verfahren ......... . · 161
8.4.1 Der Ansatz ......... . · 161
8.4.2 Adams-Bashfort-Verfahren. · 161
8.4.3 Adams-Moulton-Verfahren. · 164
8.5 Nyström- und Milne-Simpson-Verfahren · 166
8.5.1 Der Ansatz ........ . · 166
8.5.2 Nyström-Verfahren ... . · 166
8.5.3 Milne-Simpson-Verfahren · 167
8.6 BDF-Verfahren .......... . · 169
8.6.1 Der Ansatz . . . . . . . . . · 169
8.6.2 Tabellarische Übersicht über spezielle Mehrschrittverfahren · 171
8.7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren ....... . · 171
8.7.1 Linearer Prädiktor/Linearer Korrektor . · 175
8.8 Lineare homogene Differenzengleichungen .. · 176
8.8.1 Die Testgleichung .......... . · 176
8.8.2 Existenz und Eindeutigkeit bei linearen homogenen Differenzengleichungen · 176
8.8.3 Die komplexwertige allgemeine Lösung der Differenzengleichung Lu = 0 · 177
8.8.4 Die reellwertige allgemeine Lösung der Differenzengleichung Lu = 0 . · 181
8.8.5 Eine spezielle Differenzengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · 182