Numerische Mathematik I

95 Pages·1997·0.57 MB·German

by  Moeller H.M.

 
N M I
zusammengefaßtvonA.A.M.1
DasvorliegendeSkriptisteineMitschriftdergleichnamigenVorlesungvon
Univ.-Prof.Dr.H.M.MöllerimWintersemester1997/98
1Rü[email protected]
EinigeWortezumScript
DieseZusammenfassungwurdemitMiKTEX1.10–2.1unter erstellt.
INHALTSVERZEICHNIS 3
INHALTSVERZEICHNIS
Überblick 5
1 Fehleranalyse 7
1.1 Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 FehlerfortpflanzungundStabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 RundungsfehlerbeiGleitkommaarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 IterativeLösungennichtlinearerGleichungen 15
2.1 Fixpunktiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 MetrischeRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 DerBanachscheFixpunktsatz(BFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Konvergenzordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Newton-undSekantenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Polynome 29
3.1 PolynomialeApproximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Kettenbruchentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 GleichmäßigeApproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 AuswertungvonPolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Tschebyscheff-Polynomeund-Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 EinschließungssätzefürPolynomnullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 SturmscheKettenunddasBisektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 AnwendungdesNewtonverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 DirekteLösungvonlinearenGleichungssystemen 49
4.1 DasGaußscheEliminationsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 DieLR-Zerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 DieCholesky-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 DasGauß-Jordan-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Matrizennormen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Fehlerabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.7 DieQR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8 LineareAusgleichsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 IterativeLösungenlinearerGleichungssysteme 81
5.1 DasGesamt-undEinzelschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 KonvergenzvonIterationsverfahrenfürlineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . 82
5.3 RelaxationundNachiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 INHALTSVERZEICHNIS
6 Eigenwertprobleme 89
6.1 GrundbegriffeausderAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2 ReduktionaufTridiagonal-bzw.Hessenberg-Gestalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5
Überblick
BeispielausderNumerik:
Literatur:
Björck-Dahlquist NumerischeMethoden 1972
(praxisorientiert)
Deuflhard-Holmann NumerischeMathematikI/II 1991
(anspruchsvoll)
Reiner GrundlagenderNumerischenMathematikI/II 1980/82
(klassisch)
Stiefel EinführungindieNumerischeMathematik 1970
(handlich,einfach,alt)
Stoer-Bulirsch EinführungindieNumerischeMathematikI/II 1986
(DAS!Numerikbuch)
Gautschi NumericalAnalysis 1997
(ausländisch)
PraktischeMathematik:
• BleistiftundPapier
• Rechenautomaten
• Tabellen
6 Ü
• Rechenschieber
NumerischeMathematik:
• Taschenrechner
• PC
ScientificComputing:(wissenschaftlichesRechnen)
• RechnenmitriesigenDatenmengen
• Großrechenanlagen
InderVorlesungwirddieNumerischeMathematikbehandelt.AlsHilfsmittelwerdenderTaschenrech-
ner,sowieeinPCeingesetzt,alsSoftwarewirdMAPLEempfohlen.EinekleineRollespieltimmernoch
PASCAL.
ProgrammvonNumerikI:
1. Fehleranalyse
2. IterativeLösungvonnichtlinearenGleichungen
3. Polynome
4. DirekteLösungvonlinearenGleichungssystemen
5. IterativeLösungvonlinearenGleichungssystemen
5. Eigenwertprobleme
InderVorlesungNumerikIIwerdendieLösungenvonDGLn,InterpolationundApproximation,sowie
numerischeIntegrationbehandelt.
7
KAPITEL 1
Fehleranalyse
1.1 Fehler
Fehlertypen:
– Modellfehler:
– Datenfehler
– Idealisierungsfehler
– NumerischeFehler
– Disktretisierungsfehler
– Abbruchfehler(z.B.beiReihen)
– Rundungsfehler
Definition1.1.1. Sei xeineexakteGrößeineinemnormiertenRaum.Sei x˜eineNäherungan x.Dann
heißen:
ε:= x−x˜ absoluterFehler
x−x˜
δ:= relativerFehler,fallsx,0
|x|
1.2 Fehlerfortpflanzung und Stabilität
Satz 1.2.1 (Fehlerfortpflanzung bei arithmetischen Operationen). Die Operanden x ,x seien nä-
1 2
herungsweisebekannt:
x = x˜ −ε , i=1,2
i i i
δseiderrelativeFehler.ηbzw.ξseiderabsolutebzw.relativeFehlerdesResultatesbeieinerarithme-
tischenGrundoperation.Danngilt,fallsNenner,0:
Addition:
η=ε +ε
1 2
x x
ξ = 1 δ + 2 δ (ungünstigbeiAuslöschung)
x +x 1 x +x 2
1 2 1 2
Multiplikation:
η(cid:17)ε x +ε x „(cid:17)“bedeutet„inersterNäherung“
1 1 2 2
ξ (cid:17)δ +δ
1 2
8 F
Division:
1 x
η(cid:17) ε − 1ε
x 1 x 2
1 2
ξ (cid:17)δ −δ
1 2
BeiarithmetischenGrundoperationenin(cid:146)oder...
x−x˜
δ= fallsx,0
x
B. Addition:
z= f(x ,x )= x +x
1 2 1 2
z˜= f(x˜ ,x˜ )= x˜ +x˜
1 2 1 2
ε
δ = i
i x
i
η=z−z˜=ε +ε
1 2
η ε +ε 1 1 x x
ξ = = 1 2 = ε + ε = 1 δ + 2 δ
z x +x x +x 1 x +x 2 x +x 1 x +x 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Multiplikation: analog
Division:(schwieriger)
x
z= f(x ,x )= 1
1 2 x
2
x˜
z˜= 1
x˜
2
Taylor:
z˜=z+ f (x ,x )(−ε )+ f (x ,x )(−ε )+...
x1 1 2 1 x2 1 2 2
x 1 x
(cid:17) 1 − ε + 1ε
x x 2 x2 2
2 1 2
η z˜−z 1 ε x ε 1 1
= (cid:17) 1 − 1 2 = ε − ε =δ −δ
z z x z x z x 1 x 2 1 2
1 2 1 2
(cid:3)
Definition1.2.1. EinmathematischerProzeßheißtgutkonditioniert,wennkleineÄnderungenderDa-
ten x ,...,x nur kleine Änderungen der (exakten) Lösung bewirken. Sonst heißt der Prozeß schlecht
1 n
konditioniert.
f : Ω → (cid:146) sei auf Ω ⊂ (cid:146)n definiert; Ω sei offen und konvex. f sei auf Ω stetig differenzierbar. Der
Datenvektor sei x = (x ··· x )> ∈ Ω; der Fehlervektor ε = (ε ··· ε )>; Ω 3 x˜ := x+ε. Dann
1 n 1 n
(Taylor):
Xn ∂f
η= f(x˜)− f(x)(cid:17) (x)·ε absoluterFehler
∂x j
j=1 j
η Xn x ∂f
ξ = = j (x)·δ relativerFehler
f(x) f(x) ∂x j
j=1 j
Definition1.2.2. Sei f :Ω→(cid:146)wieoben,dannheißen:
∂f x ∂f
σ = (x) bzw. τ = i (x)
i ∂x i f(x) ∂x
i i
Konditionszahlen(inbezugaufdiei-teKomponente)bezüglichdesabsolutenbzw.relativenFehlers.
1.2FehlerfortpflanzungundStabilität 9
EinProzeßheißtgutkonditioniert,wenndieBeträgederKonditionszahlenkleingegenEinssind.An-
dernfallsschlechtkonditioniert.
⇒„natürliche“(In)Stabilität.
Gegensatzdazuistdie„numerische“(In)StabilitätbedingtdurchdenRechnungsverlauf.
Beispiel1.2.1.
√
f(x)=ln(x− x2−1), x=30
exakt: f(30)=−4,094066668632 ...
natürlicheSatbilität:
!
1 x −1
f0(x)= √ · 1− √ = √
x− x2−1 x2−1 x2−1
−1
f0(30)= √ =−0,03335... (absoluterFehler)
899
30
· f0(30)=0,2443 ... (relativerFehler)
f(30)
numerischeStabilität:
√ √ √
x → x2−1 → x− x2−1 → ln(x− x2−1)
BeivierstelligerRechnung:
√
302−1=29,98(332870 ...)
√
30− 899≈0,02
ln(0,02)≈−3,910
beizehnstelligerRechnung:
√
30− 899≈0,01667130
ln(0,01667130)=−4,094066601
Stabil:
√ ! √
1
ln(x− x2−1)=ln √ =−ln(x+ x2−1) (keineAuslöschung)
x+ x2−1
√ (cid:12)
(x+ x2−1)(cid:12)(cid:12) ≈59,98
(cid:12)
x=30
−ln(59,98)≈−4,094
GenauereAnalysedernumerischen(In)Stabilität:
Zerlegungvon f ineineKettevonElementaralgorithmen:
f =ϕ ◦ ··· ◦ϕ ◦ϕ
n 2 1
EinFehler,derbeiderBerechnungvonϕ auftritt,gehtindieRestabbildung
i
ϕn◦ ··· ◦ϕi+1
wieeinEingabefehler(Datenfehler)einundwirddurchdieseAbbildungandasEndresultat
weitergegeben.
Definition1.2.3. Sei f =ϕ ◦ϕ ◦ ··· ◦ϕ dieZerlegungderAbbildung f inElementaralgorithmen.
k k−1 1
EinAlgorithmusϕ ◦ ··· ◦ϕ zurBerechnungvon f heißtnumerischstabil,wenndieTeilalgorithmen
k 1
hi =ϕn◦ ··· ◦ϕi+1, i=1, ... ,k−1
natürlichstabilsind.
10 F
1.3 Rundungsfehler bei Gleitkommaarithmetik
EinereelleZahlx∈(cid:146)besitzteineDarstellungalsunendlicherDezimalbruch:
X∞
σ10e x 10−i, σ∈{1,−1}, e∈(cid:154), x ∈{0,1, ... ,9}, x ,0
i i 1
i=1
Allgemeineristdieg-adischeDarstellung(beimRechneristg∈(cid:154),gerade):
X∞
σge α g−i, σ∈{1,−1}, e∈(cid:154), α ∈{0,1, ... ,g−1}, α ,0
i i 1
i=1
Definition1.3.1. Seig∈(cid:142)gerade,t∈(cid:142), x∈(cid:146)\{0}mitx=σgeP∞ α g−i,
i=1 i
σ∈{1,−1}, e∈(cid:154), α ∈{0,1, ... ,g−1}, α ,0.Dann:
i 1
rdt(x):=σσggee(cid:16)PPti=ti=11ααiigg−−ii+ g1t(cid:17) ,,ffaallllssααtt++11 ≥< 2g2g
rd(x)heißtderauftStellengerundeteWertvonx.
t
Satz1.3.1. Seig∈(cid:142)gerade,t∈(cid:142), x,0mitg-adischerDarstellungwieeben.Danngilt:
Xt
i) rd(x)=σge0 α0g−i
t i
i=1
1
ii) |rd(x)−x|≤ ge−t
t
2
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)rd(x)−x(cid:12) 1
iii) (cid:12)(cid:12) t (cid:12)(cid:12)≤ g−t+1
(cid:12) x (cid:12) 2
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)rd(x)−x(cid:12) 1
iv) (cid:12)(cid:12) t (cid:12)(cid:12)≤ g−t+1
(cid:12) rd(x) (cid:12) 2
t
Bemerkung. Daßsichnachi)alleZiffernändernkönnen,zeigtt=3, g=10:
x=0,9996 → rd(x)=1,000=101·(1·10−1+0·10−2+0·10−3+0·10−4)
t
B. zui):Nurfürαt+1 ≥ g2
Fall1:
α =···=α =g−1
1 t
rd(x)=σge+1(1·g−1+0·g−2+ ··· +0·g−t)
t
Fall2:Füreinα gilt
i
αi <g−1=αi+1 = ··· =αt
rd(x)=σge(α ·g−1+ ··· +α ·g−i+1+(α +1)·g−i+0·g−i−1+ ··· +0·g−t)
t 1 i−1 i
zuii):
Fall1:
g
αt+1 <
2
X∞
0<−σ(rd(x)−x)=ge α g−i
t i
i=t+1
X∞
=ge·αt+1g−t−1+ge αig−i
i>t+1
(cid:18)g (cid:19) X∞
≤ge· −1 g−t−1+ge(g−1) α g−i
i
2
i>t+1
1
= ge−t
2