Willi Tömig Numerische Mathematik rur Ingenieure und Physiker Band 2: Eigenwertprobleme und numerische Methoden der Analysis Mit 37 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg N ew York 1979 Dr. rer. nat. WILLI TÖRNIG Professor an derTechnischen Hochschule Darmstadt, Fachbereich Mathematik Schloßgartenstraße 7 6100 Darmstadt CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Törnig, Willi: Numerische Mathematik fLir Ingenieure und Physiker Wi1li Törnig. -Berlin, Heidelberg, New York : Springer. Bd. 2. Eigenwertprobleme und numerische Methoden der Analysis. -1979. ISBN 978-3-642-96523-4 ISBN 978-3-642-96522-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-96522-7 Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Über setzung, des Nachdrnckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei VervieWlltigung flir gewerbliche Zwecke ist gemäß § 54 UrhG eine Vergütung an den Verlag zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. © Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1979 Softcover reprint of the hardcover I st edition 1979 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Offsetdrnck: fotokop wilhelm weihert KG, Darmstadt . Bindearbeiten: K. Triltsch, Würzburg 2060/30201543210 Vorwort Der vorliegende zweite Band "Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker" soll wie der erste mit einer Auswahl von wichtigen numerischen Verfahren vertraut machen. Dabei werden nur solche Verfahren betrachtet, die für technische und phy sikalische Anwendungen von Bedeutung sind. Die zugehörigen theoretischen Unter suchungen werden nur so weit geführt, wie es für das Verständnis notwendig ist. Trotzdem hoffe ich, daß das Buch, das ebenso wie der bereits erschienene erste Band ein Lehr- und Nachschlagewerk sein will, auch manchen an den Anwendungen interessierten Mathematiker anspricht. Der Band enthält in fortlaufender Numerierung mit Band 1 vier Teile. In Teil IV wer den einige Verfahren zur numerischen Abschätzung und Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen beschrieben. Dabei ist, wie auch in anderen Teilen des Buches, eine Beschränkung auf nur wenige grundlegende und bewährte Methoden notwendig. Das Kapitel 10 enthält neben dem Jacobi- und dem LR-Verfahren auch Methoden zur Berechnung der Eigenwerte einer Hessenberg-Matrix. Vor allem im Hinblick auf die Berechnung der Eigenwerte großer Matrizen wird ferner ein Ver fahren zur Reduktion einer Matrix auf Hessenbergform beschrieben. Der Teil V ent hält Methoden zur Interpolation, Approximation und numerischen Integration von Funk tionen. Die klassische Interpolation und Approximation durch Polynome wird knapp dargestellt, da ihre Bedeutung für technische und physikalische Anwendungen nicht sehr weitreichend ist. In Kapitel 12 werden die Grundlagen der Spline-Interpolation für lineare und kubische Splines untersucht. Das Kapitel 13 enthält relativ ausführlich numerische Quadratur- und Kubatur-Verfahren, wobei auch kurz auf die Berechnung uneigentlicher Integrale eingegangen wird. Ein für Ingenieure und Physiker besonders wichtiges Gebiet ist die numerische Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungsproblemen. In Teil VI werden Verfahren zur Lösung von Anfangs-, Rand- und Eigenwertproblemen von gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben. Bei den Anfangswertproblemen beschränken wir uns auf die Betrachtung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, auf die sich gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung stets VI Vorwort leicht reduzieren lassen. Außerdem untersuchen wir nur Einschritt-Verfahren. Bei den Rand- und Eigenwertproblemen beschreiben wir Differenzenverfahren und Va riationsmethoden, wobei besonders auf die Methode der finiten Elemente eingegan gen wird. Das Gebiet der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungs probleme wird in Anbetracht seiner hervorragenden Bedeutung für viele technische Bereiche in Teil VII z"Yar relativ ausführlich behandelt, dennoch kann nur auf wenige grundlegende Methoden eingegangen werden. An geeigneten Stellen wird daher auf weitergehende Literatur hingewiesen. Zur numerischen Lösung von Anfangs- und Anfangs-Randwert-Problemen hyperbolischer und parabolischer Differentialglei chungen betrachten wir ausschließlich Differenzenverfahren. Bei Randwertproblemen elliptischer Differentialgleichungen untersuchen wir neben den Differenzenverfahren vorwiegend Ritz-Verfahren und die Methode der finiten Elemente. Dabei wird auch die Anwendung dieser Methode bei nichtlinearen Randwertproblemen beschrieben. Wegen ihrer Bedeutung für die Strömungsmechanik werden Anfangswertprobleme quasilinearer hyperbolischer Systeme erster Ordnung in Kapitel 17 betrachtet. Zu ihrer numerischen Lösung werden sowohl Charakteristikenverfahren als auch Diffe renzenverfahren in gleichmäßigen Gittern entwickelt. Erfahrungsgemäß erwerben nur wenige Ingenieure während ihres Studiums an Technischen Hochschulen fundierte Kenntnisse über partielle Differentialgleichungen. Daher werden die zum Verständnis der numerischen Verfahren notwendigen theoretischen Grundlagen jeweils kurz er klärt oder zitiert. Um das Verständnis zu erleichtern, werden wie im ersten Band reichlich erläuternde Beispiele und Skizzen in den Text eingestreut. Die FORTRAN-Programme wurden von Frau G. Schumm geschrieben, Prof. Dr. K. Graf Finck v. Finckenstein und die Herren Dr. W. Höhn, Dipl.-Math. R. Bock, Dipl. -Math. M. Gipser, Dipl. -Math. E. Wilzek haben mir mit vielen Hinweisen ge holfen und die Korrekturen mitgelesen, Frau B. Schulte zur Surlage und Fräulein H. Krämer haben das maschinengeschriebene Manuskript hergestellt. Ihnen allen gilt mein herzlicher Dank. Darmstadt, Mai 1979 W. Törnig Inhaltsverzeichnis Inhaltsübersicht Band 1 •••••••.••• XIII Teil IV Eigenwertaufgaben bei Matrizen 1 9. Grundlagen, Abschätzungen, Vektoriteration. 3 9.1 Eigenwerte und Eigenvektoren • . . . . • 3 9.1.1 Das charakteristische Polynom. 3 9.1.2 Eigenwerte spezieller Matrizenklassen. 4 9.1.3 Eigenwerte komplexer Matrizen. . . • . 7 9.2 Beispiele für das Auftreten von Eigenwertproblemen 10 9.2.1 Ein Schwingungsproblem •. .. ... . .. .•.• 10 9.2.2 Ein Sturm-Liouville-Eigenwertproblem und das Differenzen- verfahren • . • . • . . . • . 12 9.3 Abschätzungen von Eigenwerten 14 9.3.1 Die Lage der Eigenwerte 15 9.3.2 Eine Fehlerabschätzung bei hermiteschen Matrizen 18 9.4 Vektoriteration und inverse Iteration. 21 9.4.1 Vektoriteration nach v. Mises. 21 9.4.2 Inverse Iteration. 24 Aufgaben • • • . . • . • . • . • . 27 10. Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten 29 10.1 Das Jacobi-Verfahren. • . 29 10.1.1 Der Algorithmus. 29 10.1.2 Konvergenz des Verfahrens. 32 10.2 Das Verfahren von Givens • . . . . 37 10.2.1 Die Verfahrensvorschrift 37 10.2.2 Eigenschaften des Verfahrens 39 10.3 Berechnung der Eigenwerte einer Hessenberg-Matrix 40 10.3.1 Berechnung des charakteristischen Polynoms 40 10.3.2 Berechnung der ersten Ableitung des charakteristischen Polynoms •.•.•.•••.•.•.•.•.•.•. 42 10.3.3 Der Fall einer symmetrischen Matrix .•.•.•••.•.. 43 VIII Inhaltsverzeichnis 10.4 Das LR-Verfahren ..•.• 44 10.4.1 Der Algorithmus. 44 10.4.2 Eigenschaften des Algorithmus 45 10.5 FORTRAN-Unterprogramme •.• 47 10.5.1 Das Jacobi-Verfahren •. 47 10.5.2 Das Verfahren von Givens •. 48 Aufgaben .. 50 Teil V Interpolation, Approximation und numerische Integration. • • • . . • . • .. 51 11. Interpolation und Approximation • . 53 11.1 Interpolation durch Polynome. 53 11.1.1 Das Lagrangesche Interpolationspolynom 53 11.1.2 Das Restglied bei der Lagrange-Interpolation 56 11. 1. 3 Das Newtonsche Interpolationspolynom . . . . 58 11. 2 Gleichabständige Stützwerte . Interpolation in zwei Variablen. • • 61 11.2.1 Das Newtonsche Interpolationspolynom 61 11. 2.2 Darstellung des Fehlers. . . . . . . . . . 62 11.2.3 Interpolation bei Funktionen von zwei unabhängigen Veränder- lichen • . • . • . 64 11. 3 Hermite-Interpolation. 67 11.3.1 Eine spezielle Interpolationsaufgabe 67 11.3.2 Das allgemeine Hermitesche Interpolationspolynom • 71 11. 4 Approximation durch Polynome. . . • • . • . • . • . 72 11. 4.1 Das allgemeine Approximationsproblem. 73 11. 4. 2 Die Polynomapproximation • • . • . • . • 74 11. 5 Approximation durch allgemeinere Funktionen 76 11.5.1 Approximation durch eine Linearkombination von Funktionen. 76 11.5.2 Approximation durch eine Linearkombination von Orthogonalfunktionen • • . • . • . • • 79 11. 6 Approximation mit Orthogonalpolynomen • 80 11.6.1 A pproximationsgenauigkei t • . • • • 80 11.6.2 Das E. Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren • 82 11. 6.3 Legendresche Polynome • . . • • . . • • . . . • . . . . . • 85 11.6.4 Orthogonalpolynome bezüglich einer Gewichtsfunktion • 87 11. 7 Trigonometrische Approximation. . • . • . 88 11.8 Approximation empirischer Funktionen • 91 11.8.1 Die Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme • 91 11. 8. 2 Approximation durch Polynome • • . • • • . • 93 11. 8.3 Approximation periodischer Funktionen. • 94 Aufgaben •. 95 Inhaltsverzeichni s IX 12. Spline-Interpolation 97 12.1 Interpolation durch stückweise lineare Funktionen. 97 12.1.1 Die Konstruktion des Polygonzuges • . • . . . 97 12.1.2 Darstellung mit Hilfe von Basisfunktionen • 100 12.2 Definition der kubischen Splines • . . • . • . • . 101 12.2.1 Eigenschaften der Spline-Funktion • • 101 12.2.2 Die mathematische Definition des Splines. . • . . 102 12.3 Der kubische Interpolationsspline • 104 12.3.1 Berechnung des Splines. 104 12.3.2 Der Algorithmus 107 12.4 Fehlerbetrachtungen • . . 109 12.5 FORTRAN-Programm 111 12.6 Beispiel. 113 Aufgaben • . . • 114 13. Numerische Integration. . • • . . • • . . . . . . . . 115 13.1 Quadraturformeln vom Newton-Cotes-Typ 115 13.1.1 Interpolations-Quadraturformeln 115 13.1.2 Die Newton-Cotes-Formeln • 116 13.2 Summierte Quadraturformeln . 122 13.2.1 Das Verfahren ..•.. , 122 13.2.2 Das Restglied summierter Quadraturformeln 124 13.3 Romberg-Integration. . 126 13.3.1 Das Prinzip •. 126 13.3.2 Der Algorithmus 127 13.3.3 Der Fehler bei der Romberg-Integration • 130 13.4 Das Gaußsche Quadraturverfahren. 133 13.4.1 Eine Optimalitätsforderung 133 13.4.2 Berechnung der Stütz stellen und Gewichte 134 13.4.3 Ergänzungen. 138 13.5 Numerische Kubatur. 139 13.5.1 Interpolations-Kubaturformeln. . 139 13.5.2 Ein einfaches summiertes Kubaturverfahren. . • 143 13.6 Ergänzungen. . • . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . . . . • . . 145 13.6.1 Numerische Berechnung uneigentlicher Integrale. 145 13.6.2 Numerische Berechnung von Integralen mit Singularitäten. • 147 13.7 FORTRAN-Unterprogramm 149 Aufgaben • . . . . . • . • . . . . . • . 150 x Inhaltsverzeichnis VI Numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. 153 14. Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen. 155 14.1 Einfache Einschritt-Verfahren. • • . . • • • • . . . • . • . • 155 14.1.1 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung. 155 14.1.2 Explizite Einschritt-Verfahren. 157 14.1.3 Das Polygonzugverfahren • •• . 158 14.1.4 Verbesserte Polygonzugverfahren. 160 14.2 Runge-Kutta-Verfahren. • • 162 14.2.1 Verfahren von Heun 162 14.2.2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 163 14.2.3 Runge-Kutta-Verfahren für Systeme von Differential- gleichungen. • • . • • 164 14.3 Konsistenz und Konvergenz 167 14.3. 1 Konsistente Verfahren • 167 14.3.2 Die Konsistenzordnung einiger Einschritt-Verfahren. 169 14.3.3 Ein Satz über die Konvergenzordnung 171 14.3.4 Systeme von Differentialgleichungen. 175 14.4 Fehlerbetrachtungen. Ergänzungen 178 14.4.1 Rundungsfehler • •• . 178 14.4.2 Fehlerabschätzungen 180 14.5 FORTRAN -Unterprogramm 183 14.6 Beispiel. 185 Aufgaben. • • • 187 15. Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen 189 15.1 Problemstellung. Einige Ergebnisse der Theorie. • . . 189 15.1.1 Definition des allgemeinen Randwertproblems. 189 15. 1. 2 Selbstadjungierte Differentialgleichungen. . • . • 192 15.1.3 Randwertprobleme bei Systemen gewöhnlicher Differential- gleichungen 1. Ordnung. . • . . . . . . • . • . • . • • • • . • • • • . 194 15.1. 4 Randbedingungen beim Problem der Balkenbiegung ••••••.•. 195 15.2 Differenzenverfahren . . . . • . • • • . • • . . . . • 197 15.2.1 Lineare Randwertprobleme 2. Ordnung 197 15.2.2 Nichtlineare Randwertprobleme 2. Ordnung 200 15. 2. 3 Konvergenz de s Differenzenverfahrens 204 15.3 Variationsmethoden und Ritzsches Verfahren. 209 15.3.1 Randwertproblem und Variationsproblem • 209 15.3.2 Das Ritzsche Verfahren. . . . • . • • • . . . . 215 15.3.3 Zur praktischen Durchführung des Ritzschen Verfahrens 217 Inhaltsverzeichnis XI 15.4 Die Methode der finiten Elemente 220 15.4.1 Stückweise lineare Ansatzfunktionen • 220 15.4.2 Kubische Splines als Ansatzfunktionen • 224 15.4.3 Fehlerordnung • Ergänzungen •••.••• 227 15.5 Differenzenverfahren zur Lösung einfacher Eigenwertprobleme 232 15.5.1 Das Eigenwertproblem ••.. 232 15.5.2 Das Differenzenverfahren .. 233 Aufgaben ••••••••.•••••••..•... 236 VII Numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen • 239 16. Differenzenverfahren zur numerischen Lösung von Anfangs- und Anfangs Randwertproblemen bei hyperbolischen und parabolischen Differential- gleichungen. . • . • . • . . . . • . . • . . . . 241 16.1 Klassifizierung. Charakteristiken. • . • . . • . • • • . • • • • • . • • • • • 241 16.1.1 Lineare, halblineare und quasilineare Gleichungen zweiter Ordnung. • • . • 241 16.1.2 Typeneinteilung • 242 16.1.3 Charakteristiken 245 16.2 Lineare und halblineare hyperbolische Anfangswertprobleme zweiter Ordnung • • • . • • • . . . • . • . • . . • . • . • . • . • 246 16.2.1 Normalform und Anfangswertproblem 246 16.2.2 Das Differenzenverfahren . • • . • . • • 249 16.3 Explizite Differenzenverfahren für lineare parabolische Anfangs- Randwertprobleme zweiter Ordnung 253 16.3.1 Problemstellung. ..•• ••.• .. .•• ... ..• . 253 16.3.2 Ein explizites Einschritt-Differenzenverfahren. 255 16.3.3 Konvergenz des Verfahrens. • • . • • • . • . • . • . 258 16.4 Implizite Differenzenverfahren für lineare parabolische Anfangs- Randwertprobleme zweiter Ordnung. 266 16.4.1 Konstruktion der Verfahren. 266 16.4.2 Konvergenz der Verfahren. 269 16.4.3 Nichtlineare Probleme 274 Aufgaben .. 277 17. Hyperbolische Systeme 1. Ordnung 279 17.1 Einige Grundlagen der Theorie 279 17.1.1 Klassifizierung • 279 17.1.2 Normalform ••• 281 17.1.3 Charakteristiken 283 17. 1 • 4 Das Anfangs wertpro ble m 283 17.1.5 Beispiele hyperbolischer Systeme 1. Ordnung in der Strömungsmechanik .•••.......•••..••••..•• 286