Numerische Mathematik Differentialgleichungen Approximationstheorie: Vortragsauszüge der Tagung über Numerische Behandlung von Differentialgleichungen vom 20. bis 25. Juni 1966 und der Tagung über Numerische Analysis, insbesondere Approximationstheorie vo PDF
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ISNM INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK SERlE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE Editors: Ch.B/anc, Lausanne; A.Ghizzetti, Roma; A.Ostrowski, Montagna/a; J. Todd, Pasadena; H. Unger, Bonn; A. van Wijngaarden, Amsterdam VOL. 9 Numerische Mathematik Differentialgleichungen Approximationstheorie Vortragsausztige der Tagung tiber Numerische Behandlung von Differentialgleichungen vom 20. bis 25. Juni 1966 und der Tagung tiber Numerische Analysis, insbesondere Approximationstheorie vom 13. bis 19. November 1966 im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald) Herausgegeben von L.COLLATZ, G.MEINARDUS und H. UNGER 1968 Springer Basel AG ISBN 978-3-0348-5882-3 ISBN 978-3-0348-5881-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5881-6 Nachdruck verboten Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. © Springer Basel AG 1968 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1968 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1968 VORWORT Die Funktionalanalysis hat nunmehr fUr die Numerische Mathematik eine so grosse Bedeutung erlangt, dass es angebracht ist, sie als die grundlegende Diszi plin fUr die Numerische Mathematik anzusehen. Sie ermoglicht eine einheitliche Behandlung und Darstellung von Problemen, die in der klassischen Mathematik noch verschiedenen Gebieten angehoren. Es versteht sich von selbst, dass sich dabei die Numerische Mathematik und die Funktionalanalysis wechselseitig befruchtet haben. So war es auch das Ziel zweier Arbeitstagungen, den Zusammenhang der Funk tionalanalysis mit der Numerischen Mathematik, insbesondere der Behandlung von Differentialgleichungen und der Approximationstheorie zu verdeutlichen. Das Mathematische Forschungsinstitut in Oberwolfach hat in dankenswerter Weise den Rahmen fUr anregende Diskussionen in personlicher und herzlicher Atmosphare bereitgestellt. Die vorangehenden Tagungen (Juni 1964, Juni 1965, November 1965) hatten ein sehr gutes Echo gefunden. Daher fanden nun zwei weitere Tagungen statt: 20. bis 25. Juni 1966 tiber: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen unter der Leitung der Herren COLLATZ und UNGER 13. bis 19. November 1966 tiber: Numerische Analysis, insbesondere Approximationstheorie unter der Leitung der Herren COLLATZ und MEINARDUS Wie schon die Titel der Tagungen andeuten, standen Probleme der Differential gleichungen und der Approximationstheorie im Vordergrund. Daneben wurde eine interessante Entwicklung sichtbar, die besonders fUr das numerische Rech nen auf elektronischen Rechenanlagen von grosser Wichtigkeit sein wird: die Intervallanalysis, insbesondere das Prinzip der Intervallarithmetik. Die Inter vallarithmetik ermoglicht eine Fehlererfassung unter Einschluss aller Rundungs fehler. Durch Anwendung auf geeignet auszuwiihlende Teilschritte des Rechen ganges konnen so fUr das Ergebnis sichere Fehlerschranken erhalten werden. Von der Mannigfaltigkeit der Probleme auf dem Gebiet der Numerischen Mathematik und Funktionalanalysis mogen die hier wiedergegebenen Vortrage der beiden Tagungen einen Eindruck vermitteln. Dem Birkhauser Verlag sei der besondere Dank fUr die gute Ausstattung dieses Buches und die stete Forderung ausgesprochen. Die Herausgeber danken Frau Dip\. Math. K. Schulte vom Mathematischen Forschungsinstitut in Oberwolf ach fiir die redaktionelle Mitarbeit an dem vorliegenden Band. Tagung tiber Numerische Behandlung von Differentialgleichungen yom 20. bis 25. Juni 1966 Leiter: L.COLLATZ und H. UNGER Vo rtragsau sztige AMANN, H.: Monte-Carlo-Methoden zur Losung elliptischer Randwert- probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 11 ANSORGE, R.: Zur Frage der Verallgemeinerung des Aquivalenzsatzes von P.D.Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 BABUSKA, I.: Optimierungsprobleme numerischer Methoden . . . .. 25 BRUHN, G.: Ein Charakteristikenverfahren fUr instationare Stromungen entlang bewegter Wande . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37 DEJON, B.: Stabilitatskriterien in Abhangigkeit von den Normen fUr die Startwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 FILIPPI, S.: Neue Lie-Reihen-Methode . . . . . . . . . . . . .. 49 KRUCKEBERG, F.: Defekterfassung bei gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69 NICKEL, K. und P.RIEDER: Ein neues Runge-Kutta-ahnliches Verfahren 83 NITSCHE, J.: Zur Konvergenz des Ritzschen Verfahrens und der Fehler- quadratmethode I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97 OPITZ, G.: Einheitliche Herleitung einer umfassenden Klasse von Inter polationsformeln und Anwendung auf die genaherte Integration von gewohnlichen Differentialgleichungen. . . . . . . . . .. 105 ROZSA, P.: Ein Rekursionsverfahren zur Losung Ii nearer Differential- gleichungssysteme mit singularen Koeffizientenmatrizen . . . .. 117 SCHMIDT, J. W. und H. SCHONHEINZ: Fehlerschranken fUr die genaherte Losung von Rand- und Eigenwertaufgaben bei gewohnlichen Diffe- rentialgleichungen durch Differenzenverfahren . . . . . . . .. 125 SCHWERMER, H.: Zur Fehlererfassung bei der numerischen Integration von gewohnlichen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung mit speziellen Zweipunktverfahren . . . . . . . . . . . . 141 STETTER, H. J.: Stabilitatsbereiche bei Diskretisierungsverfahren fUr Systeme gewohnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . .. 157 TORNIG, W.: Ober Konvergenzbereiche von Differenzapproximationen bei quasilinearen hyperbolischen Anfangswertproblemen. . . .. 169 WALTER, W.: Warmeleitung in Systemen mit mehreren Komponenten 177 WENDLAND, W.: Zur numerischen Behandlung der Randwertaufgaben fUr elliptische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 WETTERLING, W.: Losungsschranken beim Differenzenverfahren zur Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Tagung tiber Numerische Analysis, insbesondere Approximationstheorie vom 13. bis 19. November 1966 Leiter: L. COLLA TZ und G. MEINARDUS Vortragsausztige BLATTER, J.: Zur stetigen Abhiingigkeit der Menge der besten Approxi- mierenden eines Elementes in einem normierten reellen Vektorraum 225 BROSOWSKI, B.: Rationale Tschebyscheff-Approximation differenzier- barer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 229 CHENEY, E. W. and A. A. GOLDSTEIN: A Note on Nonlinear Approxima- tion Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 251 GROBNER, E.: Approximationen durch Umordnungen von Lie-Reihen 257 HENZE, D.: Ober nichtlineare Approximationen in Unearen normierten Riiumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 259 KRABS, W.: Ober ein Kriterium von Kolmogoroffbei der Approximation von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 271 MEINGUET, J.: Optimal Approximation and Error Bounds in Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 283 NICKEL, K.: Anwendungen einer Fehlerschranken-Arithmetik . .. 285 NICOLOVIUS, R.: Extrapolation bei monoton zerlegbaren Operatoren 305 POWELL, M.J.D.: On best Lz Spline Approximations. . . . . .. 317 SCHRODER, J.: MonQtonie-Aussagen bei quasilinearen elliptischen Diffe- rentialgleichungen und anderen Problemen . . . . . . . . .. 341 SCHURER, F. and F. W. STEUTEL: Approximation with Singular Integrals of the Jackson Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 363 SIKKEMA, P. C.: Ober Potenzen von verallgemeinerten Bernsteinopera- toren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 369 SOPKA, J. J.: Ober verallgemeinerte numerische Integrationen . . .. 373 WERNER, H.: Diskretisierung bei Tschebyscheff-Approximation mit ver- allgemeinerten rationalen Funktionen. . . . . . . . . . . .. 381 WETTERLING, W.: Losungsschranken bei elliptischen Differentialglei- chungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 393 Tagung tiber Numerische Behandlung von Differentialgleichungen 20. bis 25. Juni 1966 Leiter: L. Collatz und H. Unger 11 MONTE-CARLO-METHODEN ZUR LOsUNG ELLIPTISCHER RANDWERTPROBLEME von Herbert Amann in Freiburg ZUSAMMENFASSUNG: Betrachtet wird das diskrete Dirichletproblem in einem Gittergebiet ~h mit Rand o~h : o u cp Die bekannte Monte-Carlo-Methode hat den Nachteil, da13 sie eine Niiherungs16sung nur fUr einen einzigen Punkt liefert. Es wird ein Verfahren beschrieben - die Monte-Carlo Methode mit Informationsspeicherung - welches es gestattet, fUr das ganze Gebiet gleich zeitig eine Losung zu berechnen. Hierbei wird bei der Simulation eines einzigen Irrwegs jeder Punkt, der mindestens einmal berUhrt wird, als Ausgangspunkt einer Irrfahrt an gesehen. Dieses Verfahren hat asymptotisch dieselben statistischen Eigenschaften wie die Monte-Carlo-Methode, d. h. die Schatzgro13e ist erwartungstreu, konsistent und asymptotisch normalverteilt. Die beiden Verfahren werden in Abhangigkeit von h mit einander verglichen. Bei passenden Verallgemeinerungen des Irrfahrtmodells konnen, bei geeigneter Diskretisierung, auch das zweite und dritte Randwertproblem fUr allge meine, gleichma13ig elliptische line are Differentialgleichungen mit der Monto-Carlo Methode mit Informationsspeicherung behandelt werden. Siehe: Eine Monte-Carlo-Methode mit Informationsspeicherung zur Losung von ellipti schen Randwertproblemen. Zeitschr. f. Wahrscheinlichkeitstheorie und Ver wandte Gebiete.~, (1967), 117-130.
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