Numerische Mathematik — 40 BASIC-Programme

149 Pages·1983·2.983 MB·German

by  Dietmar Herrmann (auth.)

Dietmar Herrmann
Numerische Mathematik
40 BASIC-Programme
Anwendung von Mikrocomputem
Herausgegeben von Dr. Harald Schumny
Die Buchreihe behandelt Themen aus den vielfaltigen Anwendungsbereichen
des Mikrocomputers: Technik, Naturwissenschaften, Betriebswirtschaft.
Jeder Band enthalt die vollstandige Losung von Problemen, entweder in
Form von Programmpaketen, die der Anwender komplett oder in Teilen als
Unterprogramme verwenden kann, oder in Form einer Problemaufbereitung,
die dem Benutzer bei der Software- und Hardware-Entwicklung hilft.
Band 1 Digitale Regelung mit Mikroprozessoren
von Norbert Hoffmann
Band 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik
von Dietmar Herrmann
Band 3 Mathematische Routinen VC-20 Elektrotechnik/Elektronik
von Ernst-Friedrich Reinking
Band 4 Numerische Mathematik
von Dietmar Herrmann
Anwendung von Mikrocomputern Band 4
Dietmar Herrmann
Numerische Mathematik -
40 BASIC-Programme
mit einer EinfLihrung
von Wolf Mannhart
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig IWiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Herrmann, Dietmar:
Numerische Mathematik - 40 BASIC-Programme I
Dietmar Herrmann. Mit e. Einf. von Wolf Mannhart.
Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1983.
(Anwendung von Mikrocomputern; Bd. 4)
NE:GT
1983
AlJe Rechte yorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn VerlagsgeselJschaft mbH, Braunschweig 1983
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Umschlaggestaltung; P. Lenz, Wiesbaden
Satz: Vieweg, Braunschweig
ISBN 978-3-528-04249-3 ISBN 978-3-322-96321-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96321-5
v
Inhaltsverzeichnis
EinfUhrung von Wolf Mannhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1
Dberblick liber die dargestellten Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4
Vorbemerkungen .. . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6
Funktionsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
1 Vollstandiges Hornerschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
2 Tschebyschew-Entwicklung ................................... 12
3 Fourier-Entwicklung ........................................ 15
Nichtlineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
4 Newton-Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
5 Aitken-Extrapolation ....................................... 20
6 Bairstow-Verfahren......................................... 22
7 Nichtlineares Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
8 GauB-Elimination.......................................... 30
9 Crout-Verfahren........................................... 33
10 Cholesky-Verfahren ........................................ 38
11 Tridiagonales Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
12 GauB-Seidel-SOR-Iteration.................................... 45
13 Matrizen-Inversion nach Bauer ................................. 48
Fehler- und Ausgleichsrechnung ................................... 53
14 Lineare Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
15 Bedingte Ausgleichsrechnung .................................. 59
16 Ausgleichsrechnung indirekter Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67
17 Lagrange-Interpolation ...................................... 67
18 Newton-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
19 Spline-Interpolation ........................................ 72
20 Rationale Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75
V I In haltsverzeichnis
Numerische Differentiation ...................................... 77
21 Numerische Differentiation (5-Punkte-Formel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
22 Romberg-Differentiation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79
Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
23 Simpson-Formel........................................... 82
24 Romberg-Integration........................................ 84
25 GauB-Integration .......................................... 86
26 Integration dUTCh Extrapolation nach Stoer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93
27 Von-Mises-Iteration......................................... 93
28 Householder-Verfahren mit Bisektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
29 Jacobi-Rotation ........................................... 102
30 Hessenberg-Reduktion ....................................... 105
31 QR-Verfahren ............................................ 107
Gewohnliche Differentialgleichungen ................................ 115
32 Runge-Kutta-Verfahren ...................................... 115
33 Runge-Kutta-Verfahren fUr Systeme .............................. 117
34 Adams-Moulton-Verfahren .................................... 121
35 Extrapolationsverfahren nach Gragg-Stoer .......................... 124
36 Lineares Randwertproblem .................................... 126
Partielle Differentialgleichungen ................................... 130
37 Laplace-Gleichung ......................................... 130
38 Poisson-Gleichung .......................................... 133
39 Wiirmeleitgleichung ......................................... 135
40 Eindimensionale Wellengleichung ................................ 138
Literaturverzeichnis ........................................... 141
Einflihrung
von Wolf Mannhart*)
Parallel zur Entwicklung leistungsfahiger digitaler Computer erlebte die numerische
Mathematik seit etwa 1950 einen stlirmischen Aufwartstrend. Jedoch noch 1970 (zwan
zig Jahre danach) waren numerische Verfahren nur in AusnahmeHillen in Lehrblichern
zu finden. Hart erarbeitetes Wissen blieb mehr oder weniger unbekannt und lag nur in
Form von spezialisierten Originalarbeiten vor. Erst in den letzten 10 Jahren sind nume
rische Verfahren aus ihrem "Dornraschenschlaf" erweckt worden und fan den dann auch
mehr und mehr in Lehrblichern Eingang.
Numerische Mathematik wird manchmal eine Mischung aus "Wissenschaft" und
"Kunst" genannt. Die zweite Aussage mag einem zunachst etwas absurd vorkommen. Es
ist jedoch sicher, daB eine mathematische Ausbildung und Programmier-Kenntnisse noch
nicht ausreichend sind, urn gute numerische Algorithmen zu erstellen. Ein einfaches Bei
spiel ist das Eliminationsverfahren nach Gauj3 (Programm 8 in diesem Buch). Dieses Ver
fahren liefert eine mathematisch eindeutige Vorschrift zur Auflasung des Gleichungs
systems. Flir numerische Anwendungen ist jedoch die mathematische Prozedur allein
nicht ausreichend. Es laBt sich leicht ze'igen, daB das Verfahren sehr schnell instabil wird,
wenn keine zusatzliche Strategie in Form einer Pivotisierung angewandt wird. Dies zeigt,
daB eine mathematische Vorschrift noch keine Garantie flir eine gute numerische Lasungs
methode ist. Beispielsweise laBt sich die Lasung eines linearen Gleichungssystems
Ax=b (1)
mathematisch leicht als
x = A-1b (2)
darstellen. Die naheliegende Folgerung, daB die Lasung die Inversion der Matrix A erfor
dert, ist jedoch gefahrlich und unklug. Die Inversion einer Matrix ist ein umstandlicher
und zeitaufwendiger ProzeB und sollte nur in Ausnahmefallen Anwendung finden. Die
Programme 8 bis 11 zeigen deutlich, daB es we it effektiver ist, die Matrix so urnzuformen,
daB sich die Lasung rekursiv bestimmen laBt.
Die Lasung von numerischen Verfahren kann direkt oder durch Naherungsmetho
den erfolgen. Bei den Naherungsverfahren wird zu einem Problem, flir das keine exakte
Lasungsformel existiert, ein Ersatzproblem formuliert. Bei hinreichendem Geschick wird
der dadurch bedingte Verfahrensfehler beliebig klein gehalten. Ein weiterer Fehler, der
*) Dr. Wolf Mannhart ist Wissenschaftler an der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Braun
schweig. Er beschliftigt sich unter anderem mit numerischen Verfahren der angewandten Kern
physik.
2 Einfuhrung
bei numerischer Rechnung auftritt, ist der Eingangsfehler. Ein einfaches Beispiel flir einen
maglichen Eingangsfehler ist die Darstellung von 1T in digitaler Form. Der EinfluB von
Eingangsfehlern auf das Endresultat ist oft nur eine Frage einer geschickten Konditionie
rung des Problems. Ein gutes Beispiel dazu ist in Programm 13 gegeben. Rundungsfehler
entstehen aufgrund der begrenzten Stellenzahl bei der Rechnung und kannen sich bis zur
Lasung ungilnstig akkumulieren. Bei der Rechnung mit einem Taschenrechner kann bei
sorgfaltiger Beobachtung der Zwischenergebnisse eine Akkumulation von Rundungs
fehlern leicht erkannt werden. ledoch bei der Lasung von numerischen Algorithmen mit
Computern muB der Algorithmus als eine Art von "black box" angesehen werden, soweit
es die Rundungsfehler betrifft. Die Anforderungen an stabile numerische Algorithmen
sind daher, daB Rundungsfehler abnehmen oder zumindest gleich bleiben, keinesfalls
aber sich verstarken.
Die Auswahl eines numerischen Verfahrens zur Lasung eines speziellen Problems
ist nicht immer eine leichte Aufgabe. Faktoren wie Rechenaufwand, Rundungsfehler
gilnstigkeit u.a. spie1en dabei eine Rolle. Beispielsweise erfordert die Gauj3-Elimination
(Programm 8) und die Crout-Reduktion (Programm 9) bei der Lasung eines Gleichungs
systems der Ordnung n die gleiche Anzahl von n3/3 Rechenoperationen (flir n ~ 1). D.h.
soweit es den Rechenaufwand betrifft, sind beide Verfahren gleichwertig. Ein Vorteil des
Crout-Verfahrens ist jedoch die Maglichkeit, "innere Produkte" mit doppelter Genauig
keit zu berechnen. Wird dies getan, so ist das Crout-Verfahren der GauB-Elimination
ilbedegen.
Die Maglichkeit, Teilergebnisse mit doppelter Genauigkeit zu berechnen, ist bei
Mikrocomputern im allgemeinen nicht gegeben. Daher sind beim Einsatz auf Mikrocom
putern beide Verfahren als vallig gleichwertig anzusehen.
Der Unterschied bei der Lasung eines numerischen Problems mit einem GroBrech
ner und mit einem Mikrocomputer ist im wesentlichen eine erheblich langere Rechenzeit
und eine begrenztere Anzahl von Rechenstellen bei der Anwendung des Mikrocomputers.
Abgesehen von sehr groB dimensionierten Problemen, die sinnvoller mit einem GroB
rechner gelast werden, milssen die erwahnten Einschrankungen noch kein wesentlicher
Nachteil sein, wenn man die leichtere Verfligbarkeit des Mikrocomputers berilcksichtigt.
Andererseits erfordert der sinnvolle Einsatz von Mikrocomputern, daB man noch sorg
faltiger als sonst auf die Ausnutzung aller Vorteile der verschiedenen numerischen Algo
rithmen achtet. Hat beispielsweise die Matrix A in Gl. (1) symmetrische Form, so kann
die Lasung ilber die Gauj3-Elimination (Programm 8) oder auch nach dem Cholesky
Verfahren (Programm 10) erfolgen. 1m ersten Fall sind - wie bereits erwahnt - ca. n3/3
Rechenoperationen, im zweiten Fall jedoch nur n3/6 Operationen natig. An einem GroB
rechner wird der Unterschied im Zeitbedarf kaum auffallen. Bei einem Mikrocomputer
kann jedoch die Ausnutzung der Symmetrie des Problems durch das Cholesky-Verfahren
und die dadurch magliche Halbierung der Rechenzeit ein nicht unwesentlicher Faktor
werden.
Dies alles zeigt, daB die Auswahl eines numerischen Verfahrens nicht unkritisch
erfolgen sollte. Bei der Anwendung eines der hier aufgeftihrten Verfahren zur Lasung
eines speziellen numerischen Problems ist es durchaus empfehlenswert, vorher die mag
lichen alternativen Varianten zu studieren und erst danach eine endgilltige Entscheidung
ilber das anzuwendende Verfahren zu treffen.
Einflihrung 3
Hinweis: In diesem Buch wird anstelle des Dezimalkommas der in der Computer
technik iibliche Dezimalpunkt verwendet. Das entspricht zwar nicht der DIN-Norm,
ist in einer Darstellung, in der kommentierender Text mit Programmlisten und
Ergebnisausdrucken vermischt sind, aber als zweckmliBig anzusehen.