Numerische Mathematik

334 Pages·2004·3.122 MB·German

by  Robert Schaback, Holger Wendland

Springer-Lehrbuch
Robert Schaback
Holger Wendland
Numerische
Mathematik
Fünfte,vollständigneubearbeiteteAuflage
Mit35Abbildungen
123
RobertSchaback
HolgerWendland
UniversitätGöttingen
InstitutfürNumerischeundAngewandteMathematik
Lotzestraße16–18
37083Göttingen,Deutschland
e-mail:[email protected]
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vollständigüberarbeiteteZusammenfassungdeszweibändigenLehrbuchs”PraktischeMathe-
matik“ erschienenalsBand1(1982)undBand2(1979)derReiheHochschultext.
Band1:H.Werner:MethodenderlinearenAlgebra
ISBN3-540-11073-9 3.Auflage Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork
Band2:H.Werner,R.Schaback:MethodenderAnalysis
ISBN3-540-09193-9 2.Auflage Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork
MathematicsSubjectClassification(2000):65-XX,41-XX,49-XX,
15-XX,42-XX,46-XX,26Cxx
BibliografischeInformationDerDeutschenBibliothek
DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.ddb.deabrufbar.
ISBN3-540-21394-5 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Fu¨r Helmut Werner (22.3.1931–22.11.1985)
Vorwort
SeitderErstauflageimJahre1970sindnunschonmehralsdreißigJahrever-
gangen, und deshalb ist es Zeit fu¨r einen Generationswechsel. Weil aber die
Mathematik wesentlich langsamer altert als die Mathematiker, wechseln die
AutorenschnelleralsdieInhalte.DeshalbhabenwirvomTextder4.Auflage
manchesBew¨ahrtebeibehalten, wobeivielesnochaufdiefru¨herenVersionen
zuru¨ckgeht, die Helmut Werners Handschrift tragen. Aber an vielen Stellen
haben wir wesentliche A¨nderungen und Erg¨anzungen vorgenommen, wenn
dieseentwederdurchdieEntwicklungdesFachesoderdurchschlechteErfah-
rungen bei der Verwendung des Textes in der Lehre begru¨ndet waren.
Das Kapitel u¨ber Wavelets ist neu, die Splines haben ein eigenes Kapitel
bekommen. Die u¨brigen Kapitel wurden gru¨ndlich revidiert. Infolge der Sei-
tenzahlbegrenzungder4.Auflagewardamalsetlicheszuknappgeraten,und
wir haben die Gelegenheit ergriffen, die Verdaulichkeit des Textes fu¨r Stu-
dierende weiter zu verbessern. Die Aufnahme der linearen und nichtlinearen
Optimierung sowie der Grundlagen des Computer-Aided Design haben sich
bew¨ahrt,ebenfallsdieWeglassungdernumerischenVerfahrenzurL¨osungvon
Differentialgleichungen. Auf Vektor- und Parallelrechner gehen wir in dieser
Auflagenichtmehr ein,weiles inG¨ottingen und anderswokeineM¨oglichkeit
gab, die Inhalte durch U¨bungen und Demonstrationen fu¨r Drittsemester zu
untermauern.
Die Aufgaben der letzten Auflage wurden ebenfalls u¨berarbeitet, weil sie
damals aus Platzgru¨nden teilweise der Stofferg¨anzung dienten. Die Erfah-
rung zeigt aber auch, dass die in der Praxis verwendeten Aufgaben sehr
dozentenabh¨angig sind, insbesondere was die Gewichtung zwischen Beweis-,
Rechen- und Programmieraufgaben betrifft. Eine allen Anwenderinnen und
Anwendern gerecht werdende Aufgabensammlung wu¨rde einen getrennten
Banderfordern.Deshalbsinddie imText knappgehaltenenAufgaben unbe-
dingt durch U¨bungen lokalen Kolorits zu erg¨anzen.
Numerische Demonstrationen sprengen den Umfang jedes mathemati-
schenLehrbuchs.Deshalbgibtesschonseitdenfru¨henAnf¨angeneineimmer
wieder modifizierte Sammlung von Beispielprogrammen, die heutzutage in
der Vorlesung per Beamer vorgefu¨hrt werden k¨onnen, und die wir auf der
website
http://www.num.math.uni-goettingen.de/RSHW/NuMath
VIII
weiterausbauenundpflegen.MankanndieseProgrammegutindenU¨bungs-
betrieb einbinden, wenn man auf Rechenpraxis großenWert legt.
Die Reihenfolge der Kapitel wurde im Großen und Ganzen beibehalten,
weil sie sich sehr bew¨ahrt hat. Dies betrifft insbesondere die Auslagerung
der Fehlertheorie in das Einfu¨hrungskapitel und den Beginn mit der Gauß-
Elimination, die bei den Studierenden in der Regel schon aus den Anf¨anger-
vorlesungen bekannt ist. Diese Erleichterung ist auch vor dem Hintergrund
zu sehen, dass sich die Vorbildung der Studierenden im Mittel verschlech-
tert hat. Die Einfu¨hrung neuer Studieng¨ange, die im Verlauf des Bologna-
Prozesses eher ku¨rzer und praxisn¨aher als mathematisch tiefer werden, wird
dieseEntwicklungnochverst¨arken.DennochbleibtesunserZiel,diesenText
imdrittenSemestereinesBachelor-Studiengangsverwendenzuk¨onnen,auch
wenn es sich um einen informatiknahen Studiengang handelt. Ob dieses Ziel
erreicht werden kann, wird erst die Zukunft zeigen.
Aber gerade wegen der sich abzeichnenden Schw¨achen in der Vorbildung
der Studierenden erscheint es uns notwendig, die wichtigsten Grundbegriffe
derFunktionalanalysis(u.a.Normen,Banach-R¨aume,Fr´echet-Ableitungund
metrische R¨aume) in der erforderlichen Breite und Tiefe darzustellen. Es ist
zu hoffen, dass die berufspraktische Ausrichtung der zuku¨nftigen Bachelor-
Studieng¨ange dafu¨r sorgt, dass nachfolgende Pflichtvorlesungen u¨ber ange-
wandte Mathematik von diesen Grundlagen profitieren k¨onnen.
Dem Springer-Verlag danken wir fu¨r sein Entgegenkommen bei der Ge-
staltung des Buches und den notwendigen Formalit¨aten. Frau IngridWerner
dankenwirfu¨rdieErm¨oglichungundUnterstu¨tzungdesGenerationswechsels
der Autoren.
G¨ottingen, den 26. Juli 2004
R. Schaback, H. Wendland
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ................................................ 1
1.1 Vom Problem zum Programm............................ 2
1.2 Fehler................................................. 8
1.3 Landau-Symbole ....................................... 19
1.4 Elementare Rechentechniken ............................. 20
1.5 Aufgaben.............................................. 24
2 Eliminationsverfahren .................................... 27
2.1 Das Eliminationsverfahren von Gauß...................... 28
2.2 LR-Zerlegungen........................................ 31
2.3 Pivotisierung........................................... 35
2.4 Das Cholesky-Verfahren................................. 38
2.5 Das Gauß-Jordan-Verfahren ............................. 40
2.6 Aufgaben.............................................. 43
3 St¨orungsrechnung ........................................ 45
3.1 Metrische und normierte R¨aume.......................... 45
3.2 Normen fu¨r Abbildungen und Matrizen.................... 49
3.3 Kondition ............................................. 54
3.4 A¨quilibrierung ......................................... 56
3.5 Aufgaben.............................................. 57
4 Orthogonalisierungsverfahren............................. 59
4.1 QR-Zerlegung.......................................... 59
4.2 Pivotisierung und Rangentscheidung ...................... 63
4.3 Singul¨arwertzerlegungeiner Matrix ....................... 64
4.4 Lineare Ausgleichsrechnung.............................. 66
4.5 Aufgaben.............................................. 69
5 Lineare Optimierung ..................................... 71
5.1 Lineare Programme in Normalform ....................... 71
5.2 Polyeder und Ecken..................................... 73
5.3 Das Simplexverfahren................................... 77
5.4 Praktische Realisierung ................................. 82
5.5 Dualit¨at............................................... 84
X Inhaltsverzeichnis
5.6 Aufgaben.............................................. 86
6 Iterative Verfahren ....................................... 87
6.1 Der Banachsche Fixpunktsatz............................ 87
6.2 Iterationsverfahrenfu¨r Lineare Gleichungssysteme .......... 93
6.3 Das Gesamtschrittverfahren.............................. 96
6.4 Das Einzelschrittverfahren............................... 99
6.5 Relaxation............................................. 101
6.6 Aufgaben.............................................. 105
7 Newton-Verfahren ........................................ 107
7.1 Berechnung von Nullstellen reeller Funktionen.............. 107
7.2 Konvergenzordnungen................................... 109
7.3 Iterationsformeln h¨oherer Ordnung ....................... 112
7.4 Newton-Verfahren fu¨r Systeme ........................... 113
7.5 Schrittweitensteuerung .................................. 117
7.6 Aufgaben.............................................. 120
8 Interpolation mit Polynomen ............................. 121
8.1 Allgemeines zur Interpolation ............................ 121
8.2 Auswertung von Polynomen ............................. 124
8.3 Die Lagrange-Interpolationsformel........................ 129
8.4 Hermite-Interpolation................................... 130
8.5 Das Interpolationsverfahrenvon Neville und Aitken......... 133
8.6 Die Newtonsche Interpolationsformel...................... 135
8.7 Fehlerabsch¨atzung...................................... 139
8.8 Aufgaben.............................................. 146
9 Numerische Integration................................... 147
9.1 Interpolations-Quadraturen.............................. 148
9.2 Gauß-Quadratur ....................................... 150
9.3 Fehlerabsch¨atzungen und Konvergenz ..................... 155
9.4 Extrapolationsverfahrennach Richardson.................. 163
9.5 Das Romberg-Verfahren................................. 166
9.6 Aufgaben.............................................. 169
10 Trigonometrische Interpolation ........................... 171
10.1 Das allgemeine Interpolationsproblem..................... 171
10.2 A¨quidistante Stu¨tzstellen ................................ 174
10.3 Die schnelle Fourier-Transformation....................... 177
10.4 Aufgaben.............................................. 178
Inhaltsverzeichnis XI
11 Splines ................................................... 179
11.1 Definition und elementare Eigenschaften................... 180
11.2 Interpolierende Splines ungeraden Grades.................. 183
11.3 Die Berechnung kubischer Splines ........................ 188
11.4 B-Splines.............................................. 193
11.5 Aufgaben.............................................. 198
12 Approximationstheorie ................................... 199
12.1 Die Approximationss¨atze von Weierstraß .................. 199
12.2 Der Existenzsatz fu¨r beste Approximationen ............... 204
12.3 Approximation in euklidischen R¨aumen ................... 207
12.4 Tschebyscheff-Approximation ............................ 217
12.5 Remes-Verfahren und Alternantensatz..................... 223
12.6 Fehlerabsch¨atzungen fu¨r die Interpolation ................. 227
12.7 Multivariate Approximation und Interpolation ............. 229
12.8 Aufgaben.............................................. 234
13 Wavelets.................................................. 237
13.1 Die Haarsche Skalierungsfunktion......................... 237
13.2 Multi-Skalen-Analyse und Wavelets ....................... 239
13.3 Die schnelle Wavelet-Transformation...................... 243
13.4 Aufgaben.............................................. 246
14 Computer-Aided Design .................................. 247
14.1 Kurven, Fl¨achen und Transformationen ................... 247
14.2 B´ezier-Kurven ......................................... 252
14.3 B-Spline-Kurven ....................................... 258
14.4 Fl¨achen ............................................... 260
14.5 U¨bergangsbedingungen.................................. 263
14.6 Darstellung von Fl¨achen durch implizite Funktionen ........ 264
14.7 Aufgaben.............................................. 266
15 Eigenwertaufgaben ....................................... 267
15.1 Lokalisierungss¨atze fu¨r Eigenwerte........................ 268
15.2 Hessenberg-Matrizen.................................... 272
15.3 Die Verfahren nach von Mises und Wielandt ............... 276
15.4 Das Jacobi-Verfahren fu¨r symmetrische Matrizen ........... 279
15.5 Das QR-Verfahren...................................... 283
15.6 Aufgaben.............................................. 288
16 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen ....... 291
16.1 Verfahren konjugierter Gradienten (CG-Verfahren) ......... 292
16.2 Konvergenzdes CG-Verfahrens........................... 298
16.3 GMRES............................................... 303
16.4 Globale Konvergenz .................................... 307
XII Inhaltsverzeichnis
16.5 Quasi-Newton-Verfahren ................................ 310
16.6 Aufgaben.............................................. 314
Index......................................................... 315
Literaturverzeichnis .......................................... 323