Numerische Mathematik 1: Eine Einführung — unter Berücksichtigung von Vorlesungen von F. L. Bauer PDF
Preview Numerische Mathematik 1: Eine Einführung — unter Berücksichtigung von Vorlesungen von F. L. Bauer
Springer-Lehrbuch Josef Stoer Numerische Mathematik 1 Eine Einführung- unter Berücksichtigung von Vorlesungen von F.L. Bauer Siebente, neubearbeitete und erweiterte Auflage mit 9 Abbildungen Springer-Verlag BerlinHeidelberg GmbH Prof.Dr. JosefStoer InstitutfürAngewandteMathematik undStatistik derUniversitätWürzburg AmHubland 0-97074Würzburg Mathematics Subject Classification (1991): 65-0I, 65B05,65B15,65005,65007,65030,65032,65F05,65F20, 65F25,65F35, 65F50,65G05,65H05,65HIO,65K05 Biszur4.Auflage(1983)erschienen alsBand 105derReihe Heide/bergerTaschenbücher ISBN978-3-540-57823-9 ISBN978-3-662-09023-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-09023-7 DieDeutscheBibliothek- CIP-Einheitsaufnahme NumerischeMathematik:Eine Einführung- unter BerücksichtigungvonVorlesungen vonF.L.Bauer/ JosefStoer;RolandBulirsch.- Berlin;Heidelberg;NewYork;London; Paris;Tokyo;HongKong;Barcelona;Budapest:Springer.(Springer-Lehrbuch) Bd.Iverf.vonJosefStoer.Früheru.d.T.:Einführungindie numerischeMathematik NE:Stoer,Josef;Bulirsch,Roland I.- 7.,neubearb.underw.Aufl.- 1994 DiesesWerk isturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbeson derediederÜbersetzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungen und Tabellen, der Funksendung, der MikroverfiImung oderder Vervielfältigung auf anderenWegenundderSpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinur auszugsweiserVerwertung,vorbehalten.EineVervielfältigungdiesesWerkesoder von TeilendiesesWerkes istauchimEinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichenBestim mungendes UrheberrechtsgesetzesderBundesrepublikDeutschlandvom9.September 1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungspflichtig. ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. ©Springer-VerlagBerlin Heidelberg1972,1976,1979,1983,1989, 1993,1994 UrsprünglicherschienenbeiSpringer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork 1994. Satz:Neuformatierung derAutorendatendurch KurtMalles,Heidelberg,unter Verwen dung vonSpringerTEX-Makros. Belichtung:Text & Grafik,B.E.S.GmbH,Heidelberg SPIN 10466397 44/3140- 5432I0- Gedrucktauf säurefreiemPapier Vorwort zur siebenten Auflage Die Neuauflage wurde zum Anlaß genommen, den gesamten bis herigen Text zu revidieren. Insbesondere sollten dabei der gewis sermaßen historisch gewachsene Bestand kritisch inspiziert, Un ebenheiten geglättet, Beweise vereinfacht und so die allgemeine Lesbarkeit erhöht werden.Die bisherigen Auflagen hatten im we sentlichen zum Ziel, wichtige Resultate und Verfahren der nume rischen Mathematik zusätzlich indenTextaufzunehmen, umauch demmathematischinteressiertenAnwender,dersichnichtmitdem puren Aufrufvorhandener Programme begnügen, sondern sie in telligent benutzen will, einen gewissen Überblick über die heute verfügbaren Methoden und ihre Prinzipien zu geben. So entstan den im Laufe der verschiedenen Auflagen neue Abschnitte, z.B. über Minimierungsverfahren und ihre Beziehungen zu Iterations verfahren zum Lösen nichtlinearer Gleichungen, über die schnelle Fouriertransformation, die Hermite-Interpolation, über B-Splines und über Eliminationsverfahren zur Lösung von großen linearen Gleichungssystemen mit dünn besetzten Matrizen. Alle diese Gebiete haben bedeutende, für sie typische Resul tate undMethodenzudemgroßenGebietdernumerischen Mathe matik beigesteuert, die auch aufandere Bereiche ausstrahlen.Der Verfasser hieltesdeshalbfürgerechtfertigt,aufdieseGebiete ein zugehen (jedoch nur in exemplarischer Weise, aber ohne Verlust anmathematischer Strenge), obwohlesnicht möglich ist,alleGe genstände derbeiden Bände Numerische Mathematik 1/2ineiner zweisemestrigen Vorlesung zu behandeln. Dem Dozenten dürfte es jedoch nicht schwer fallen, eine Stoffauswahl vorzunehmen, und interessierte studentische Leser können sich leicht über das natürliche Umfeld der Methoden informieren, die in einer Vorle sung behandelt werden. VI Vorwort zursiebenten Auflage Die Erfasssung des Textes lag in den bewährten Händen von Frau W. Wrschka und Herrn 1. Launer, die sich zu wahren TEJ(pertenentwickelthaben. Ichbinihnensehrzu Dankverpflich tet. Frau Dr. M. Hochbruck und Herrn Dr. F. Jarre oblag die ma thematische Kritik. Sie haben durch zahlreiche Vorschläge, aber auch durch ihre gewissenhafte Lektüre beim Ausjäten der Fehler geholfen, wofür ichihnen herzlich danke.Nicht zuletzt danke ich den verschiedenen Mitarbeitern des Springer-Verlages für die ge wohnte reibungslose Zusammenarbeit: Man konnte sich auf ihre Hilfe und ihr Verständnis für die Wünsche des Autors jederzeit verlassen. Würzburg, im Juni 1994 1.Stoer Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch gibt den Stoff des ersten Teils einer zweisemestri gen Einführungsvorlesung in die Numerische Mathematik wie der, die der Verfasser in den letzten Jahren an mehreren Hoch schulen halten konnte.Neben der Beschreibung der theoretischen Grundlagen der ProblemeundMethoden dernumerischen Mathe matikwaren folgendeZiele fürdieAuswahldesStoffesundseine Darstellung maßgeblich: Von den vielen Methoden der numeri schenMathematiksolltenhauptsächlichdiejenigenbehandeltwer den, die sich auch leicht auf Digitalrechnern realisieren lassen. Dementsprechend wird auf die algorithmische Beschreibung der Verfahren großer Wert gelegt - kritische Teile von Algorithmen werden häufig inAlgol60beschrieben. Wennmehrere Methoden zur Lösung eines Problems vorgestellt werden, wird gleichzeitig nach Möglichkeit versucht, diese Methoden bezüglich ihrer prak tischen Brauchbarkeit zu vergleichen und die Grenzen ihrer An wendbarkeit anzugeben. Bei diesen Vergleichen sollten nicht nur die Anzahl der Operationen, Konvergenzeigenschaften usw. eine Rolle spielen,wichtigerist es,dienumerische Stabilitätder Algo rithmen zu vergleichen, um einen Einblick in die Gründe für die Zuverlässigkeit oder Unzuverlässigkeit von Verfahren zu geben. DasEinleitungskapitelüberFehleranalysespieltdabeieinebeson dereRolle:In ihmwerdendie Begriffedernumerischen Stabilität und Gutartigkeit von Algorithmen,die nachMeinung des Verfas sers im Zentrum der numerischen Mathematik stehen, präzisiert und ihre Wichtigkeit genauer, als dies vielfach noch üblich ist, begründet und dargestellt. Nicht zuletzt dienen zahlreiche Bei spiele und Übungsaufgaben dazu, die numerischen und theore tischen Eigenschaftenvon Verfahrenzu illustrieren. Daeine auchnurannäherndvollständigeAufzählungundBe schreibung brauchbarer Methoden weder möglich noch beabsich- VIII VorwortzurerstenAuflage tigt war,seider interessierte Leser auffolgende Zeitschriften hin gewiesen,indenenerzahlreiche weitereAlgorithmen teilweiseso gar inderFormvonAlgol-oder Fortran-Programmen beschrieben findet: Numerische Mathematik, Communications of the ACM, Journal ofthe ACM, The Computer Journal, Computing, Math ematicsofComputation,BIT,SIAMJournal onNumerical Analy sis,Zeitschrift fürAngewandte MathematikundMechanik.Wegen ihrer Zuverlässigkeit werden insbesondere die Algol-Programme empfohlen, die in der Zeitschrift "Numerische Mathematik" im Rahmen der sog..Handbook Series" erscheinen. An Inhalt und Aufbau der diesem Buch zugrunde liegenden Vorlesung habenvielemitgewirkt. Insbesonderemöchte ichdank bar den Einfluß von Professor Dr. F. L. Bauer und Professor Dr. R. Baumann anerkennen,auf deren Vorlesungsausarbeitungen ich mich stützen konnte.Darüber hinaushaben siezusammen mitden Herren Professor Dr. R. Bulirsch und Dr. Chr. Reinsch mit wert vollenVerbesserungsvorschlägenzurKlärungeinerReihevonkri tischen Punkten beigetragen. Eine vorläufige Fassung des Buches entstand 1970 in Form eines SkriptumsderUniversitätWürzburg unterdermaßgeblichen Mitwirkung meiner Mitarbeiter Dipl.-Math.K. Butendeich, Dipl. Phys. G. Schuller und Dipl.-Math. Dr. J. Zowe. Für ihre Einsatz bereitschaft,mit der sie bei der Redaktion der verschiedenenFas sungen des Manuskripts mithalfen, möchte ich ihnen besonders herzlich danken. Nicht zuletzt gilt mein besonderer Dank Frau I.Brugger, diemitgroßer GewissenhaftigkeitundGedulddieum fangreichen Schreibarbeiten ausführte. Würzburg, imNovember 1971 1.Stoer Inhaltsverzeichnis 1 Fehleranalyse . 1.1 Zahldarstellung 2 1.2 Rundungsfehler und Gleitpunktrechnung 5 1.3 Fehlerfortpflanzung 9 1.4 Beispiele 22 1.5 Intervallrechnung, statistische Rundungsfehlerabschätzungen 29 Übungsaufgaben zu Kapitel I 35 Literatur zu Kapitel I und weitere Literatur 38 2 Interpolation 41 2.1 Interpolation durch Polynome 43 2.1.1 Theoretische Grundlagen. Die Interpolationsformel von Lagrange 43 2.1.2 Der Algorithmus von Neville . 44 2.1.3 Die Newtonsehe Interpolationsformel. Dividierte Differenzen 48 2.1.4 Das Restglied bei der Polynominterpolation 53 2.1.5 Herrnite-Interpolation 56 2.2 Interpolation mit rationalen Funktionen . 62 2.2.1 Allgemeine Eigenschaften der rationalen Interpolation 62 2.2.2 Inverse und reziproke Differenzen. Der Thielesche Kettenbruch 67 2.2.3 Neville-artige Algorithmen . 71 2.2.4 Anwendungen und Vergleich der beschriebenen Algorithmen 76 2.3 Trigonometrische Interpolation 78 2.3.1 Theoretische Grundlagen 78 2.3.2 Algorithmen zur schnellen Fouriertransforrnation 84 2.3.3 Die Algorithmen von Goertzel und Reinsch 91 X Inhaltsverzeichnis 2.3.4 Die näherungsweise Berechnung von Fourierkoeffizienten.Abminderungsfaktoren 95 2.4 Spline-Interpolation . 101 2.4.1 Theoretische Grundlagen 101 2.4.2 Die Berechnung von kubischen Splinefunktionen . 105 2.4.3 Konvergenzeigenschaften kubischer Splinefunktionen III 2.4.4 B-Splines . 116 2.4.5 Die Berechnung von B-Splines 120 Übungsaufgaben zu Kapitel 2 125 Literatur zu Kapitel 2 134 3 Integration von Funktionen . 137 3.1 Elementare Integrationsformeln. Fehlerabschätzungen 138 3.2 Die Peanosche Fehlerdarstellung 144 3.3 Die Euler-Maclaurinsche Summenformel 148 3.4 Anwendung der Extrapolation aufdie Integration 152 3.5 Allgemeines über Extrapolationsverfahren 157 3.6 Die Gaußsehe Integrationsmethode 163 3.7 Integrale mit Singularitäten 173 Übungsaufgaben zu Kapitel 3 176 Literatur zu Kapitel 3 179 4 Lineare Gleichungssysteme 181 4.1 Gauß-Elimination.Dreieckszerlegung einer Matrix 182 4.2 Der Gauß-Jordan-Algorithmus 192 4.3 Das Cholesky-Verfahren . 196 4.4 Fehlerabschätzungen 200 4.5 Rundungsfehleranalyse der Gaußsehen Eliminationsmethode 208 4.6 Rundungsfehlereinfluß bei der Auflösung von gestaffelten Gleichungssystemen . 214 4.7 Orthogonalisierungsverfahren. Die Verfahren von Householder und Schmidt 216 4.8 Ausgleichsrechnung 224 4.8.1 Das lineare Ausgleichsproblem. Die Normalgleichungen 226 4.8.2 Orthogonalisierungsverfahren zur Lösung des linearen Ausgleichsproblems 228 4.8.3 Die Kondition des linearen Ausgleichsproblems 230 4.8.4 Nichtlineare Ausgleichsprobleme 236 4.8.5 Die Pseudoinverse einer Matrix . 238
The list of books you might like
