Numerische Integration: Tagung im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach vom 1. bis 7. Oktober 1978

319 Pages·1979·6.858 MB·German

by  P. M. Anselone, G. Opfer (auth.), G. Hämmerlin (eds.)

ISNM
INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS
INTERNATIONALE SCHRIFTEN REIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK
SERIE INTERNATIONALE D'ANALY SE NUMERIQUE
Editors:
eh. Blanc. Lausanne; A. Ghizzelti, Roma; P. Henrici, Zürich;
A. Ostrowski. Montagnola; J. Todd, Pasadena
VOL. 45
Numerische Integration
Tagung im Mathematischen Forschungsinstitut
Oberwolfach
vom 1. bis 7. Oktober 1978
Herausgegeben von
G. Hämmerlin, München
1979
Springer Basel AG
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Numerische Integration: Tagung im Math. For
schungsinst. Oberwolfach vom 1.-7. Oktober
1978/hrsg. von G. Hämmerlin. - Basel, Boston,
Stuttgart: Birkhäuser, 1979.
(International series of numerical mathematics;
Vol. 45)
ISBN 978-3-7643-1014-1 ISBN 978-3-0348-6288-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-6288-2
NE: Hämmerlin, Günther [Hrsg.]; Mathematisches
Forschungsinstitut <Oberwolfach>
Nachdruck verboten.
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde
Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege
oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1979
Originally published by Birkhäuser Verlag Basel in 1979.
Vorwort
Erstmalig fand im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach eine
Tagung mit dem Thema «Numerische Integration» statt. Die Aktualität des
Themas zeigte sich in dem grossen Interesse, das dieser Tagung entgegenge
bracht wurde. Unter den Teilnehmern aus 10 Ländern kam ein anregender
Austausch von Gedanken und Ideen zustande, der die ganze Breite des
Themas widerspiegelt, welche die zwar spezielle, aber zentrale Frage der
numerischen Berechnung von Integralen heute innerhalb der numerischen
Mathematik einnimmt.
Der vorliegende Band enthält 24 Ausarbeitungen von Vorträgen, die auf der
Tagung gehalten wurden. Schwerpunkte stellten das Studium bester Quadra
turformeln, Untersuchungen zur numerischen Integration singulärer Integra
le, Gaußsche Quadraturen und numerische Integration in n Dimensionen dar.
In einer gemeinsamen Diskussion wurden offene Probleme der numerischen
Integration formuliert. Sie sind am Ende dieses Bandes in der Hoffnung
aufgeführt, dass aus dem Kreis der Leser Beiträge zu ihrer Lösung kommen.
Die einmaligen Gegebenheiten des Oberwolfacher Instituts trugen ganz
wesentlich zum Gelingen auch dieser Tagung bei. So danke ich namens aller
Teilnehmer der Leitung und allen Mitarbeitern des Instituts für ihre Bemü
hungen. Ebenso danke ich dem Birkhäuser Verlag für die Möglichkeit, diesen
Band im Rahmen der ISNM in der gewohnt guten Ausstattung herauszubrin
gen.
G. Hämmerlin
München
Inhaltsverzeichnis
Anschriften der Autoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
P.M. Anselone and G. Opfer:
Numerical integration of weakly singular functions ............ 11
C. T. H. Baker:
Numerical integration in the treatment ofintegral equations . . . . . 44
D. L. Barrow and P. W. Smith:
Asymptotic properties of optimal quadrature formulas . . . . . . . . . . 54
B. D. Bojanov:
Uniqueness ofthe monosplines ofleast deviation .............. 67
H. Brass:
Der Wertebereich des Trapezverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
H. Brass and G. Schmeisser:
The definiteness of Filippi's quadrature formulae and related
problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109
H. Engels:
Asymptotische Entwicklungen aller Nullstellen des Legendre Po-
lynoms Ln(x) nach Potenzen von lI[n(n+ 1)] .................. 120
H. Esser:
Mean convergence of the Lagrangean interpolation of improperly
Riemann-Stieltjes integrable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131
L. Gatteschi:
On the construction of some Gaussian quadrature rules . . . . . . . .. 138
W. Gautschi:
On generating Gaussian quadrature rules .................... 147
G. Heindl:
Über einen Zusammenhang zwischen optimalen Formeln im
Sinne von Sard und besten Formeln im Sinne des minimalen
Maximalfehlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155
K. Jetter:
Minimum norm quadrature in the Sobolev spaces W;:, . . . . . . . . .. 165
D. Kershaw:
Some reflections on the Euler-Maclaurin formula . . . . . . . . . . . . .. 175
G. Lange:
Optimale definite Quadraturformeln ........................ 187
F. Locher:
Fehlerkontrolle bei der numerischen Quadratur. . . . . . . . . . . . . .. 198
J. Meinguet:
Basic mathematical aspects of surface sp1ine interpolation. . . . . .. 211
H. M. Möller:
Lower bounds for the number ofnodes in cubature formu1as .... 221
G. Monegato:
An overview of results and questions re1ated to Kronrod schemes. 231
w. R. Richert:
Gauss-Quadraturformeln mit mehrfachen Knoten 241
R. Scherer und K. Zeller:
Lobatto-Quadratur und Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245
H.l. Schmid:
On Gaussian cubature formulae of degree 2k-l . . . . . . . . . . . . . . .. 252
A. van der Sluis and l. R. Zweerus:
An appraisal of some methods for computing Cauchy principal
values of integrals ........................................ 264
A. Spence:
Product integration for singular integrals and singular integral
equations ............................................... 288
H. Strauss:
Über Fehlerabschätzungen bei besten Quadraturformeln ....... 301
Probleme .................................................... 309
9
Anschriften der Autoren
Prof. Dr. P. M. Anselone Prof. Dr. I. Gatteschi
Department of Mathematics Istituto di Calcoli Numerici
Oregon State University Universita di Torino
Corvallis, Oregon 97331 Via Carlo Alberto 10
USA 1-10123 Torino
Dr. Christopher T. H. Baker Prof. Dr. Walter Gautschi
Department of Mathematics Purdue University
University of Manchester Comp. Sei. Dept.
Manchester M 13 9PL Lafayette, Indiana 47907
England USA
Dr. D. L. Barrow and Dr. P. W. Smith Dr. G. Heindl
Department of Mathematics Institut für Mathematik
Texas A & M University Technische Universität
College Station, Texas 77843 Arcisstr. 21
USA 8000 München 2
Dr. Borislav D. Bojanov Dr. K. Jetter
Dept. of Mathematics Fachbereich Mathematik
University of Sofia Fernuniversität Hagen
BouI. «A. Ivanov» 5 Postfach 940
Sofia 1126, Bulgarien 5800 Hagen
Prof. Dr. H. Brass Dr. D. Kershaw
Fachbereich Mathematik University of Lancaster
der Universität Department of Mathematics
Albrechtstrasse 28 Cartmel College
45000snabrück Bailrigg, Lancaster, LA I 4Y I
England
Prof. Dr. H. Engels
Institut für Geometrie Dr. G. Lange
und Praktische Mathematik Rechenzentrum der TU Clausthal
der R WTH Aachen Erzstrasse 51
Templergraben 55 3392 Clausthal-Zellerfeld
5100 Aachen
Prof. Dr. F. Locher
Prof. Dr. H. Esser Fachbereich Mathematik
Institut für Geometrie Fernuniversität Hagen
und Praktische Mathematik Postfach 940
der R WTH Aachen 5800 Hagen
Templergraben 55
5100 Aachen
10
Prof. Dr. lean Meinguet Prof. Dr. A. van der Sluis and l. R. Zweerus
Univ. de Louvain Elektr. Rekencentrum
Anal. Num. et Programmation Budapestlaan 6
Chemin du Cyclotron 2 Utrecht
B-1348 Louvain-la-Neuve Niederlande
Belgien
Dr. Alastair Spence
Dr. H. Möller School of Mathematics
Fachbereich Mathematik University of Bath
Fernuniversität Hagen Claverton Down
Postfach 940 Bath BA2 7AY
5800 Hagen England
Dr. G. Monegato Dr. H. Strauss
Istituto di Calcolo Numerici Institut für Angewandte Mathematik
Universitä. di Torino Universität Erlangen-Nürnberg
Via Carlo Alberto 10 Martensstrasse 3
1-10123 Torino 8520 Erlangen
Prof. Dr. G. Opfer
Institut für Angewandte Mathematik Herausgeber
Universität Hamburg Prof Dr. G. Hämmerlin
Bundesstrasse 55 Mathematisches Institut
2000 Hamburg 13 der Universität München
Theresienstrasse 39
Dr. W. Richert 8000 München 2
Mathematisches Institut
der Universität München
Theresienstrasse 39
8000 München 2
Dr. R. Scherer und Prof. Dr. K. Zeller
Mathematisches Institut
Universität Tübingen
Auf der Morgenstelle 10
7400 Tübingen
Dr. G. Schmeisser
Mathematisches Institut
Universität Erlangen-Nürnberg
Universitätsstrasse 40
8520 Erlangen
Dr. H.l. Schmid
Mathematisches Institut
Universität Erlangen-Nürnberg
Bismarckstrasse 1 1/2
8520 Erlangen
11
NUMERICAL INTEGRATION OF iVEAKLY SINGULAR FUNCTIONS
P. M. Anselone and G. Opfer
Dedicated to Professor Dr. Johannes Weissinger, Karlsruhe
on the occasion of his 65th birthday
1. Introduction and Summary
A number of methods have been developed for the numerical
integration of functions with integrable singularities. Recent
references include Osgood and Shisha [7, 8]. For a summary
and further references, see Davis and Rabinowitz [4]. Our
approach incorporates elements of several of the techniques
described there. We approximate a function on neighborhoods
of a singularity by bounded functions and then integrate
numerically. The given singular function, the neighborhoods
of the singularity, the approximations, and the quadrature
formula satisfy very limited hypotheses. Convergence results
and error bounds are derived. The generality of the results
opens up possibilities of constructing particularly efficient
schemes for the numerical integration of singular functions.
However the primary motivation for the present study came
from integral equations with weakly singular kernels. If the
kernel is approximated by bounded kernels, preferably contin
uous or smoother, and if numerical integration is used, then
approximate solutions of the integral equation are obtained. •