Numerische Behandlung von Eigenwertaufgaben Band 2: Tagung an der Technischen Universität Clausthal vom 18. bis 20. Mai 1978 PDF
Preview Numerische Behandlung von Eigenwertaufgaben Band 2: Tagung an der Technischen Universität Clausthal vom 18. bis 20. Mai 1978
ISNM INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK S.i!RIE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUM.i!RIQUE Editors: Ch. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; P. Henrici, ZUrich; A. Ostrowski, Montagnola; J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam VOL.43 Numerische Behandlung von Eigenwertaufgaben Band2 Tagung an der Technischen Universitat Clausthal vom 18. bis 20. Mai 1978 Herausgegeben von J. ALBRECHT, Clausthal L. COLLATZ, Hamburg SPRINGER BASEL AG CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Numeriscbe Behandlung von Eigenwertaufgaben. - Basel, Boston, Stuttgart: Birkhăuser. Bd. 1. Mit d. Erscheinungsorten: Basel, Stuttgart. Bd. 2. Tagung an der Technischen Universităt Claus thal vom 18. bis 20. Mai 1978. - 1979. (International series of numerical mathematics; VoI. 43) ISBN 978-3-7643-1067-7 ISBN 978-3-0348-7694-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-7694-0 NE: Technische Universităt (Clausthab Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere das der Obersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. © Springer Basel AG 1979 Urspriinglich erschienen bei Birkhăuser Verlag Basel, 1979 ISBN 978-3-7643-1067-7 Vorwort Die Tagung, uber die in diesem Bande berichtet wird, hatte das ZieI, fUr die Anwendungen geeignete Methoden der numerischen Mathematik zu diskutie ren. Schwerpunkte waren Einschliessungssătze fUr Eigenwerte; als Stichworte seien genannt: Stokessche Eigenwertaufgaben, positive Operatoren, Ver gleichssătze, eigenvektorfreie Fassung eines Verfahrens von Bazley, minimale Gerschgorin-Kreise. Weitere Themen waren Eigenwertaufgaben mit Matri zen, Kegeliterationen zur Einschliessung positiver Eigenelemente und Stabili tătsuntersuchungen bei nichtlinearen parabolischen Evolutionssystemen. Dem Birkhăuser Verlag danken wir fUr die gute Zusammenarbeit und die vorzugliche Ausstattung des Buches. J. ALBRECHT, Clausthal· L. COLLATZ, Hamburg Inhaltsverzeichnis W. BUNSE: Diagonaltransformationsverfahren zur Bestimmung des Spektralradius nichtnegativer irreduzibler Matrizen . . . . . . . . . . . . 9 A. BUNSE-GERSTNER: Berechnung der Eigenwerte einer Matrix mit dem HR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 F. GOERISCH: Eine von Eigenvektoren freie Fassung eines Verfahrens von Bazley .............................................. 40 J. HERSCH: Obere und unt ere Schranken fUr Eigenwerte durch Hilfspro- bleme .................................................. 54 P. P. KLEIN: Einschliessung von Matrixeigenwerten und Polynomnull- stellen durch kleinste isolierte Gerschgorin-Kreise ............. 65 H. LINDEN: Schranken fUr Eigenwerte nichtlinearer Eigenwertaufgaben 95 1. MAREK: Homogenization in Neutron Diffusion ................... 113 P. DE MOTTONI: Ober eine nichtlineare Randwertaufgabe . . . . . . . . . . .. 127 O. POKORNA: Bemerkungen zu einer Anwendung singulărer Zerlegun- gen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l34 W.R. RICHERT: Ober Intermediateprobleme zweiter Art . . . . . . . . . . . .. 140 S. SARMAN: Numerische DurchfUhrung der inversen Liouville-Transfor- mation ................................................. 154 H.R. SCHWARZ: Zur Eigenwertaufgabe Ax = ĂBx . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161 W. VELTE: Eigenwertschranken mit finiten Differenzen beim Stokes- schen Eigenwertproblem .................................. 176 H. Voss: Nichtlineare Eigenwertaufgaben und Kegeliterationen . . . . . .. 189 9 DIAGONALTRANSFORMATIONSVERFAHREN ZUR BESTIMHUNG DES SPEKTRALRADIUS NICHTNEGATlVER IRREDUZIBLER MATRIZEN Wolfgang Bunse Several methods of computing the maximal real eigenvalue of a nonnegative irreducible NxN-matrix A are presented. They are based on the transformation of A to quasi-stochastic form by diagonal matrices. There are three different kinds of methods depending on the type of diagonal matrices used: the already known 'standard' methods as well as 'cyclic' and 'N-step' ones. Convergence results are obtained under quite general assumptions. A few numerical examples are given. 1. Einfuhrung. Konvergenz von Standard-Verfahren. Die in dieser Arbeit betrachteten Diagonaltransformationsverfahren zur Bestim mung des Spektralradius nichtnegativer irreduzibler Matrizen basieren auf den Ergebnissen von Perron und Frobenius uber solche Matrizen (siehe z.B. Varga [6]) ». Sei A:=«a .. '€{I N} eine nichtnegative irreduzible 1.J 1.,J , ••• , NxN-Matrix. Dann besitzt A einen positiven einfachen Eigenwert p. der gleich dem Spektralradius von A ist. Zu p existiert ein positiver Eigenvektor y; zu keinem anderen Eigenwert von A existiert ein positiver Eigenvektor. Mit D:=diag(y), e:_(I, ••• ,I)T€R N folgt dann aus Ay = py -1 N Yk D ADe - pe, bzw. komponentenweise: k~laik ~ = p fur i€{I, ••• ,N}. 1. -1 B:=D AD ist somit eine zu A ahnliche Matrix, deren Zeilensummen gleich p sind, e ist Eigenvektor von B zum Eigenwert p. Es bezeichne im folgenden stets y den positiven Eigenvektor zum maximalen reellen Eigenwert p der nichtnegativen irreduziblen Matrix A. Die Diagonaltransformationsverfahren bauen D als i.a. unendliches Produkt von Diagonalmatrizen auf. Ihre allgemeine Form ist A := A o (1. 1.) -1 An+I:= Dn AnDn fur n€N , wobei Dn:- diag(d~, ••• ,d:), (1.2. ) Die verschiedenen Klassen von Verfahren unterscheiden sich in der Art der Diagonalmatrizen D • Die von Eisner ([2]) - nach Vorarbeiten von Hali & Porsching (z.B.[3]~[4]) - betrachteten, im folgenden Standard-Verfahren genannten, verwenden ebenso wie die neue Klasse der zyklischen Verfahren Diagonalmatrizen der Gestalt Bunse 10 Dn:=diag(l ••••• I'~(n) .1 •.••• 1) '~(n)€R +' (1.3.) Dabei ist im Standard-Verfahren k(n)=v(n).v(n) der kleinste Index einer Zeile von A mit minimaler Zeilensumme. (1.4. ) n Bei zyklischen Verfahren durchlăuft k(n) in irgendeiner Reihenfolge zyklisch die Indexmenge {I •.••• N}. Die ebenfalls vorgestellten N-Schritt-Verfahren werden allein durch (1.1.) und (1.2.) beschrieben; es sind also i.a. sămtliche Faktoren d~ ••••• d~ ungleich 1. ~(n) sei stets der kleinste Index einer Zeile von A mit maximaler Zeilen- n summe. In jedem Schritt der Verfahren gilt also fur die Zeilensummen Rn, •• = N n A « n » 1. k=L1 a1'.k von n := a1'.k 1'k.. €{1 ••••N•}•' Rn Rn Rn fu"r '€{ 1 N} v(n) ~ i S ~(n) 1. ••••• • Anwendung des Ouotientensatzes mit dem Vektor e liefert die unteren und oberen Schranken Zwischen den Zeilensummen von An+l und An bestehen bei einem Verfahren der Art (1.1.) - (1.3.) die rekursiven Beziehungen a~.k(n) fur i€{I ••.•• N}'{k(n)} (1.5.) R.n a n+1 -1t(n)- k(n) .k(n) Rk(n)= ~(n).k(n) + (1.6. ) n <lk(n) Ist ~(n) € ]0.1]. SO gilt R~+I S R~ fur i€{I ••••• N}'{k(n)}. (1.7.) (1.8. ) n+1 Unter der Voraussetzung Rk(n) S R:(n) folgt dann sofort Rn+1 Rn (1.9.) ~(n+l) S ~(n)' Bei sămtlichen Verfahren wird gezeigt. daB die Folge der maximalen Zeilen n (» summen(R gegen o konvergiert. Daraus folgen d~nn die weiteren Konver- ~ n nEN genzaussagen des Satzes 1.1 •• Bunse 11 Satz 1. 1. (Elsner [2]) FUr ein durch (1.1.) und (1.2.) beschriebenes Verfahren gelte lim Rn(n) = P n-teo II n yn, definiert durch y~ := n d~ fUr i€{I, ••• ,N}, und y seien normiert durch 1 j=O 1 Ilyll"" = 1 , Ilynll = 1 fUr alle nEN "" Dann gilt: i) lim R~ = P fUr iE{J, ••• ,N} n-teo 1 ii) lim y n = y n-teo Die Beweisidee des folgenden Lemmas, das gewahrleistet, daB die positiven Ele mente der transformierten Matrizen nicht zu klein werden, ist ebenfalls in Elsner [2] enthalten. Es geht entscheidend ein in samtliche Konvergenzbeweise. Lemma 1. 2. FUr ein durch (1.1) und (1.2.) beschriebenes Verfahren gelte V 1\ Rn < R ll(n) R€R+ nEN Dann gilt: v 1\ 1\ a .. >O=oa~. > m mER+ nEN i,jE{ 1, ... ,N} 1J 1J FUr Standard-Verfahren laBt sich der folgende Konvergenzsatz zeigen. Satz 1.3. Bei einem durch (1.1.) - (1.4.) beschriebenen Verfahren werde so ge- wahlt, daB gilt: i) v 1\ Rnv+(n1) ~ a Rnll (n) + (I-a) Rnv (n) (1. 10) a€]o, 1[ nEN ii) a€v] O, 1[ nE1\N Rnv+(n1) <- a RIn I ( n ) + (I-a) Rnv (n) (1.11.) Dann gilt: lim R~(n) = P n-tco Bunse 12 Bemerkung 1.4. Dieser Satz ist im wesentlichen eine Modifikation des Konvergenzsatzes von Elsner, der neben ii) anstelle von i) als Voraussetzung hat: " b) (dn(i), ) , €RN[ (dn(i) ) T 'lf 1 (dn ) l' dn(i) 1 v(n(l.» l.€N v(n(i» i€N el. o ge von v(n) n€N" ,l.m v(n(i»- .. l.-- .. lim Rn(n) = P n-- li Es genugt also zu zeigen, daB a) und b) aus i) und ii) folgen. Die beiden folgenden Lemmata sind formuliert fur Verfahren der Art (1.1.) - (1.3.), d.h. daB die Auswahlvorschrift der Indizes k(n) noch nicht fest gelegt ist. Leuma 1.5. In einem Schritt eines Verfahrens der Art (1.1.) - (1.3.) werde der Faktor d~(n) so gewahlt, daB mit a,a € ]O,I[ gilt: R-K-n+(n 1) ~ Q~ RnlI (n) + (1 -~Q ) R-K-n (n) (1.12.) n+1 n n Rk(n) ~ a RlI(n) + (I-a) Rk(n) (1.13. ) Dann gilt: i) d~(n)€]O,I]; d~(n)=1 genau dann, wenn ~(n)= R:(n) n Rk(n) - ak(n),k(n) n Rk(n) - ~(n),k(n) - a + k(n) ,k(n) Beweis: , n+1 n zu i): Aus (1.13.) folgt l.nsbesondere a:-() < R " ) und somit mittels (1.6.) n -K n - lI';D sogar dn > Rk(n) - ~(n),k(n) k(n) - Rn _ a ll(n) k(n),k(n)
The list of books you might like
