Numerische Behandlung von Differentialgleichungen

472 Pages·1951·17.408 MB·German

by  Lothar Collatz (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT HESONDERER
BERüCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· E. HOPF . F. RELLICH . F. K. SCHMIDT
B. L. VA N DER WA ERDEN
BAND LX
NUMERISCHE BEHANDLUNG
VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
VON
LOTHAR COLLATZ
SPRINGER-VERLAG BERUN HEIDELBERG GMBH
1951
NUMERISCHE BEHANDLUNG
VON
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
VON
DR. LOTHAR COLLATZ
O. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE
IN HANNOVER
MIT IIO ABBILDUNGEN
UND EINEM PORTRÄT
SPRINGER-VERLAG BERUN HEIDELBERG GMBH
1951
ALLE RECHTE,
INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
COPYRIGHT '95' BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG
URSPRÜNGLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER·VERLAG OHG., BERLINjGÖTTINGENjHEIDELBERG '95'
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION '95 I
ISBN 978-3-662-30272-9 ISBN 978-3-662-30271-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-30271-2
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Vorwort.
Mit dem vorliegenden Buche wird der Versuch unternommen, einige
der wichtigsten numerischen Verfahren zur Lösung gewöhnlicher und
partieller Differentialgleichungen im Zusammenhange darzustellen. Daß
eine solche Übersicht bei der Größe des behandelten Gebietes in dem
Umfange dieses Buches auch nicht entfernt erschöpfend sein kann, liegt
auf der Hand; insbesondere war es bei den partiellen Differential
gleichungen nur möglich, die Grundideen darzustellen und auf die in
den Anwendungsgebieten, in Hydrodynamik, Aerodynamik usw. weit
gehend ausgearbeiteten, aber meist auf spezielle Probleme zugeschnittenen
Methoden hinzuweisen.
Das Buch verfolgt aber weniger den Zweck, diese speziellen Ver
fahren, die dazugehörigen Rechenschemata usw. wiederzugeben, als viel
mehr einem breiteren Kreis von Ingenieuren, Physikern und Mathe
matikern die allgemeinen Methoden nahezubringen und an zahlreichen
durchgerechneten Beispielen zu zeigen, daß es durchaus nicht so mühsam
und umständlich ist, sich auf numerischem Wege einen Überblick über
den Verlauf der Lösung einer Differentialgleichungsaufgabe zu ver
schaffen, wie nach einem weitverbreiteten Vorurteil angenommen wird.
Diese Ansicht ist vielleicht zum Teil mit durch die Art des mathema
tischen Unterrichtes an Technischen Hochschulen und Universitäten
entstanden, bei welchem gewöhnlich die Theorie der Differential
gleichungen ausführlich gebracht, aber auf die numerischen Methoden
meist nur kurz eingegangen wird. Ich habe immer wieder beobachtet,
daß Mathematiker und Physiker mit abgeschlossenem Examen über
theoretische Ergebnisse sehr gut, aber über die einfachsten Näherungs
verfahren nicht Bescheid wußten. Vielleicht wird man, wenn die
Näherungsverfahren mehr bekannt werden, manche Aufgaben mit ihnen
durchrechnen, die bisher einfach nicht behandelt worden sind, obwohl
durchaus Interesse dafür vorhanden war. Gerade bei partiellen Differen
tialgleichungen hat man sich in vielen Anwendungsgebieten auf die ein
fachsten, eben noch geschlossen lösbaren Fälle beschränkt, während die
fortschreitende Technik zur Behandlung komplizierterer Aufgaben
drängt. Ferner hat man manchmal mit etwas Gewaltanwendung die Auf
gaben linearisiert, weil man sich vor den nichtlinearen Aufgaben scheute;
viele Näherungsverfahren sind ohne weiteres auch bei nichtlinearen Auf
gaben anwendbar; der Rechenaufwand wächst dabei natürlich an; trotz
dem glaube ich, daß die nichtlinearen Aufgaben in nächster Zeit an Be
deutung stark zunehmen werden.
Das Gebiet der numerischen Behandlung von Differentialgleichungen
ist sowohl in theoretischer als auch in praktischer Hinsicht noch viel zu
VI Vorwort.
wenig erforscht und erprobt; das gilt in besonderem Maße für die par
tiellen Differentialgleichungen und für die nichtlinearen Aufgaben. Das
besondere Schmerzenskind sind die Fehlerabschätzungen. Die Auf
stellung einfacher und zugleich genügend genauer Fehlerabschätzungen
wird eine der dringlichsten Aufgaben der praktischen Analysis in der
Folgezeit sein. So habe ich an manchen Stellen auf Ansätze zu Fehler
abschätzungen, auch wenn diese noch keineswegs befriedigend sind, hin
gewiesen, weil ich hoffe, dadurch zu weiterer Forschung anzuregen. Auch
in dieser Hinsicht kann das Buch nur als Einführung erscheinen; von
dem, was über Fehlerabschätzungen gearbeitet worden ist, konnte nur
ein kleiner Teil gebracht werden.
Die Literaturangaben erheben nicht den Anspruch auf Vollständig
keit, insbesondere war mir ausländische Literatur oft nicht zugänglich.
Die rasche Entwicklung auf dem Gebiete der neuen Rechenmaschinen
verschiedenster Art führt zu einer neuen Bewertung der einzelnen nume
rischen Methoden; z. B. kann irgendein langsam konvergierendes Itera
tionsverfahren, welches bisher für die Rechnung mit den gewöhnlichen
Rechenmaschinen als zu ungünstig abzulehnen war, für die Rechnung
mit den neuen automatischen Maschinen, welche eine große Anzahl von
Iterationen in kurzer Zeit ausführen, durchaus geeignet sein. Die Ent
wicklung scheint mir noch zu sehr in Gang zu sein, als daß man gegen
wärtig schon ein Werturteil über die einzelnen numerischen Verfahren
fällen dürfte. Daher hielt ich es im vorliegenden Buch für richtiger, die
Auslese der Verfahren der Zukunft zu überlassen und die Methoden nur
zu beschreiben, ohne den Maßstab des augenblicklichen Standes der
neuen Maschinen anzulegen. Überdies werden in nächster Zeit sicher
noch viele Berechnungen ohne Benutzung der neuen Maschinen durch
geführt werden; der moderne angewandte Mathematiker wird aber bei
der Entwicklung neuer Methoden stets die Anwendbarkeit und Eignung
seiner Methoden für die maschinelle Rechnung im Auge behalten müssen.
Mancher Leser würde es in dem Buche vielleicht begrüßt haben, wenn
ich eine Wertung der einzelnen Methoden vorgenommen hätte. An ein
zelnen Stellen, wo es sich um viel erprobte Verfahren handelt, habe
ich die Methoden kritisch miteinander verglichen; im allgemeinen aber
habe ich es vermieden, Werturteile auszusprechen, weil dazu größere
numerische Erfahrung gehört, als mir zu Gebote steht.
Mein Assistent, Herr Dr. Günter Bertram, hat mit großer Sorg
falt die zum Teil mühsamen Rechnungen nachgeprüft. Ihm und den
Herren Prof. Dr. Günther Schulz, Dr.-Ing. R. Zurmühl, Dozent
Dr. W. Pestel möchte ich für alle Hilfe beim Korrekturenlesen und dem
Springer-Verlag für die gute Ausstattung des Buches und die große Ge
duld und Bereitwilligkeit gegenüber allen meinen Änderungswünschen
herzlich danken.
Hannover, im Dezember 1950. Lothar Dollatz.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Zur Beachtung bei den Zahlenbeispielen . . . 1
KapitelL
Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.
§ 1. Vorbemerkungen und Hilfsmittel ..... ..... 2
1.1. Notwendigkeit numerischer Methoden ..... ..... 2
1.2. Grundsätzliche Bemerkungen über die Genauigkeit der Rechnung 3
1.3. Allgemeine Bemerkungen über Fehlerabschätzungen bei Anfangswert-
aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4
1. Vergleich zweier Näherungen mit verschiedener Schrittweite 5
II. Die Schlußkontrolle . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Hilfsformeln aus der Differenzenrechnung . . . . 6
1.5. Einige im folgenden gebrauchte Quadraturformeln 9
1.6. Mehrfache Integrationen . . . . . . 11
1.7. Berechnung der höheren Ableitungen 17
§ 2. Einfachere Summationsverfahren für Differentialgleichun-
gen erster Ordn ung. . 18
2.1. Einführung . . . . . . 18
2.2. Drei einfache Verfahren 19
2.3. Fehlerabschätzung . . . 22
I. Polygonzugverfahren . 23
2.4. Entsprechende Fehlerabschätzungen für die verbesserten Verfahren. 24
11. Verbessertes Polygonzugverfahren . 24
111. Verbessertes Euler-Cauchy-Verfahren ........... 25
§ 3. Das R unge-Ku tta-Verfahren für Differen tialgleich ungen
n-ter Ordnung. . . . . . . . . . . 26
3.1. Der allgemeine Ansatz. . . . . . . . 26
3.2. Der spezielle Runge-Kutta-Ansatz . 28
3.3. Aufstellung der Runge-Kutta-Formeln . 30
3.4. Hinweise zur praktischen Durchführung des Runge-Kutta-Ver-
fahrens. . .. ......... 32
3.5. Schlußkontrolle und Iterationsverfahren . . . 35
3.6. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
I. Eine Differentialgleichung erster Ordnung 36
11. System von Differentialgleichungen erster Ordnung 38
111. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung . . . . 38
§ 4. Differenzenschemaverfahren für Differentialgleich ungen
erster Ordnung ....... . 40
4.1. Einführung . . . . . . . . . . 41
4.2. Berechnung des Anfangsstückes 42
I. Verwendung eines anderen Näherungverfahrens . 42
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
H. Benutzung der Taylorschen Reihe von y(x) 42
H1. Benutzung von Quadraturformein . . 43
4.3. Formeln der fortlaufenden Rechnung . . 44
1. Adamssches Extrapolationsverfahren 44
11. Adamssches Interpolationsverfahren 46
IH. Interpolationsverfahren : Verfahren der zentralen Differenzen 48
4.4. Hinweise zur praktischen Durchführung der Differenzenschema-
verfahren . . . . . . . . . 49
4.5. Beispiele . . . . . . . . . 52
1. Extrapolationsverfahren 52
11. Interpolationsverfahren . 53
4.6. Konvergenz der Iterationen für die fortlaufende Rechnung 55
4.7. Konvergenz der Anfangsiteration 57
4.8. Rekursive Fehlerabschätzung . . . . . . . 59
4.9. Independente Fehlerabschätzung . . . . . 62
4.10. Fehlerabschätzung für die Anfangsiteration 65
4.11. Differentialgleichungen im Komplexen . . 67
§ 5. Differenzenschema verfah ren fü r Differentialgleich ungen
höherer Ordnung. . . . . . . 68
5.1. Einführung . . . . . . . . . . 68
5.2. Berechnung des Anfangsstückes 70
5.3. Iterative Berechnung des Anfangsstückes bei einer Differential-
gleichung zweiter Ordnung y"=f(x,y,y') 70
5.4. Extrapolationsverfahren . . . . . . . . . 75
5.5. Interpolationsverfahren . . . . . . . . . . 77
5.6. Konvergenz der Iteration bei der fortlaufenden Rechnung. 81
5.7. Prinzip der Fehlerabschätzung für die fortlaufende Rechnung 83
5.8. Vermischte Übungsaufgaben zum 1. Kapitel 85
5.9. Lösungen der Aufgaben von Nr. 5.8. 86
Kapitel H.
Randwertaufgaben bei gewöhnliChen Differentialgleichungen.
§ 1. Vorbemerkungen .... 89
1.1. Randbedingungen . . . . . . . . . . . 89
1.2. Lineare Randwertaufgaben ...... . 90
1.3. Zurückführung auf Anfangswertaufgaben 92
§ 2. Das gewöhnliche Differenzenverfahren 93
2.1. Beschreibung des Differenzenverfahrens . . 93
2.2. Beispiele von Randwertaufgaben zweiter Ordnung 95
1. Eine lineare Randwertaufgabe zweiter Ordnung 96
11. Eine nichtlineare Randwertaufgabe zweiter Ordnung 98
IH. Eine Eigenwertaufgabe . . . . . 100
IV. Unendliches Intervall . . . . . 102
2.3. Eine lineare Randwertaufgabe vierter Ordnung. 104
2.4. Relaxation . . . . . . . . . . . 106
1. Lineare Randwertaufgabe 107
H. Nichtlineare Randwertaufgabe llO
§ 3. Verbesserungen des gewöhnlichen Differenzenverfahrens III
3.1. Verbesserung durch Hinzunehmen weiterer Funktionswerte ll2
3.2. Aufstellung finiter Ausdrücke ............ . ll3
Inhaltsverzeichnis. IX
Seite
3.3. Das Differenzenverfahren höherer Annäherung 114
3.4. Grundformein für das Mehrstellenverfahren 116
3.5. Das Mehrstellenverfahren im allgemeinen Fall 117
3.8. Beispiele für das Mehrstellenverfahren . . . 118
I. Inhomogene Aufgabe zweiter Ordnung 118
II. Eigenwertaufgabe . . . . . . . . . . 119
§ 4. Zur Theorie der Differenzenverfahren 120
4.1. Lösbarkeit der finiten Gleichungen und Anwendung von Iterations
verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2. Allgemeines Prinzip der Fehlerabschätzung für das Differenzenver-
fahren bei linearen Randwertaufgaben ......... 123
4.3. Fehlerabschätzung bei einer linearen Randwertaufgabe . . . 124
4.4. Fehlerabschätzung bei einer nichtlinearen Randwertaufgabe . 127
§ 5. Allgemeines über die Minimalprinzipien 129
5.1. Benutzung von Minimalprinzipien . . . . 129
5.2. Beschreibung der Fehlerquadratmethode . . . 130
5.3. Durchführung eines Beispiels . . . . . . . . 131
§ 6. Das Ritzsche Verfahren bei Randwertaufgaben zweiter Ord-
nung .......................... , 132
6.1. Die Eulersche Differentialgleichung in der Variationsrechnung. 132
6.2. Herleitung der notwendigen E ulerschen Bedingungen 132
6.3. Durchführung des Ritzschen Verfahrens . . . . . . 136
6.4. Beispiele zur Durchführung des Ritzschen Verfahrens bei Randwert-
aufgaben zweiter Ordnung . . . . . . . . 138
I. Lineare inhomogene Randwertaufgabe 138
H. Eigenwertaufgabe . . . . . . . . . . 140
IH. Nichtlineare Randwertaufgabe . . . . 141
§ 7. Das Ri tzsche Verfahren bei Rand werta ufgaben höherer Ord-
nung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.1. Aufstellung der E ulerschen notwendigen Bedingungen 142
7.2. Lineare Randwertaufgaben vierter Ordnung . . . . . 145
7.3. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.4. Vergleich zwischen Ritzschem Verfahren und Fehlerquadratmethode 148
§ 8. Reihenansätze . . . . . . . . 151
8.1. Allgemeines über Reihenansätze 151
8.2. Potenzreihenansatz . 152
8.3. Beispiele . . . . . • . . . . . 153
§ 9. Einige spezielle Verfahren für Eigenwertaufgaben 156
9.1. Einige Begriffe und Ergebnisse aus der Theorie der Eigenwertaufgaben 156
9.2. Das Verfahren der schrittweisen Näherungen im allgemeinen Fall. 158
9.3. Zugrundelegung einer engeren Problemklasse . . . . . 160
9.4. Praktische Durchführung des Verfahrens . . . . . . 161
9.5. Beispiel zum Verfahren der schrittweisen Näherungen 163
9.6. Einschließungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.7. Drei Minimalprinzipien als Grundlage des Ritzschen Verfahrens 166
9.8. Die Gleichungen des Ritzschen Verfahrens . . . . 169
9.9. Der Templesche Quotient. . . . . . . . . . . . 172
9.10. Modifikationen des Verfahrens der schrittweisen Näherungen 176