Numerische Behandlung gewöhnlicher und partieller Differenzialgleichungen: Ein interaktives Lehrbuch für Ingenieure

407 Pages·2009·4.406 MB·German

by  Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann (auth.)

Numerische Behandlung gewöhnlicher
und partieller Differenzialgleichungen
·
Claus-Dieter Munz Thomas Westermann
Numerische Behandlung
gewöhnlicher und partieller
Differenzialgleichungen
Ein interaktives Lehrbuch für Ingenieure
2.bearb.undaktualisierteAuflage
123
Prof.Dr.Claus-DieterMunz
UniversitätStuttgart
Fakultät6:Luft-undRaumfahrttechnikundGeodäsie
Pfaffenwaldring21
70550Stuttgart
[email protected]
Prof.Dr.ThomasWestermann
HochschuleKarlsruhe
TechnikundWirtschaft
FBNaturwissenschaften
76012Karlsruhe
[email protected]
ISBN978-3-540-89252-6 e-ISBN978-3-540-89253-3
DOI10.1007/978-3-540-89253-3
SpringerDordrechtHeidelbergLondonNewYork
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Vorwort
Die Berechnung der meisten natur- und ingenieurwissenschaftlichen Anwen-
dungen fu¨hrt auf eine oder mehrere Differenzialgleichungen. Deshalb stellen
wir in diesem Buch deren numerische L¨osung in den Mittelpunkt einer Nu-
merikfu¨rIngenieure.DienotwendigenKenntnisseausanderenBereichender
numerischen Mathematik, wie z.B. der Interpolation oder der numerischen
L¨osung von linearen Gleichungssystemen, werden an der Stelle erl¨autert, wo
sie ben¨otigt werden. Diese Hilfsmittel“ beschreiben wir im Anhang, so kurz
”
wie m¨oglich und vervollst¨andigt mit Angabe von weiterfu¨hrender Literatur.
Dieses Buch wurde zun¨achst als ein interaktives Skriptum fu¨r die Vorlesung
Numerische Methoden fu¨r Ingenieure“ entwickelt. Das Ziel war, die beiden
”
Aspekte Theorie und Erfahrung gemeinsam zu vermitteln. Es wurden Re-
chenprogramme entwickelt, mit denen sich numerische Rechnungen in der
Vorlesung ausfu¨hren lassen und die Ergebnisse mit den Studierenden zusam-
men diskutiert werden k¨onnen. Realisiert als Maple-Worksheets ließen sich
diese Programme auch aus der pdf-Version des Skripts direkt ausfu¨hren und
modifizieren. Mit diesem elektronischen Skript l¨asst sich ein Konzept reali-
sieren,dasmittraditionellenMittelnnichtm¨oglichist.DasLernengeschieht
in drei Stufen:
H¨oren und passives Erleben von numerischer Mathematik: Dieses
geschieht in der Vorlesung. Gerade bei einem großen Publikum l¨asst sich
hierInteraktionnureingeschr¨anktverwirklichen.DasErlebenaberistbereits
m¨oglich,indemdieBeispieleausdemSkriptumimVortragverwendetwerden.
Numerische Methoden k¨onnen direkt in der Vorlesung ausgefu¨hrt werden -
mit kleinen Lernspielen fu¨r das Publikum.
Lesen und eigenes Experimentieren: Bei der Nachbereitung haben die
Teilnehmer ein multimediales Produkt auf dem eigenen PC, das sie einl¨adt,
das Gelesene auch gleich in der Praxis zu erproben. Die vorgearbeiteten Bei-
spiele sind direkt greifbar und die Schnittstellen fu¨r eigene Modifikationen
einfach. Das Erlernen der Programmiersprache in Maple geschieht automa-
tisch.
VI Vorwort
Schreiben eigener Programme: Solchermaßen vorbereitet ist es fu¨r die
Studierenden oder den Leser ein relativ kleiner Schritt, fu¨r konkrete Aufga-
benstellungen eigene Programme zu entwickeln.
DasBuchistinderFormeinespdf-Filesalsein elektronischesSkript“aufder
”
beiliegenden CD-ROM. Fu¨r fast alle Beispiele gibt es Rechenprogramme, die
direktausdemTextdurchAnklickenaufgerufenundausgefu¨hrtwerdenk¨on-
nen. Auf dem Rechner muss dazu allerdings das Computer-Algebra-System
Maple zur Verfu¨gung stehen. Damit werden dem Leser“ neue M¨oglichkei-
”
ten er¨offnet. Zur weiteren Bearbeitung k¨onnen die gesamten Programmier-
und Visualisierungsm¨oglichkeiten von Maple eingesetzt werden. Neben der
Nachrechnung des Beispiels k¨onnen in dem aufgerufenen Maple-Worksheet
die Diskretisierungsparameter ge¨andert werden. Man kann mit den numeri-
schen Verfahren experimentieren und sie auf neue kompliziertere Probleme
angewenden. Steht kein Maple zur Verfu¨gung, f¨allt nur die M¨oglichkeit des
interaktivenArbeitensweg.ZurVeranschaulichungsinddiewesentlichenEr-
gebnisse der Rechnungen als Abbildungen im Buch. Zus¨atzlich k¨onnen die
Worksheets in einer html-Version betrachtet werden.
Die M¨oglichkeit, Rechenprogramme in ein Skriptum einzuarbeiten und als
Buch zu erweitern, konnte nur durch Unterstu¨tzung des Ministeriums fu¨r
Wissenschaft, Forschung und Kunst Baden-Wu¨rttemberg im Rahmen eines
Projektes Innovative Lehre“ durchgefu¨hrt werden. Wir m¨ochten uns dafu¨r
”
an dieser Stelle herzlichst bedanken. Im Bereich der Lehre gibt es leider sehr
wenige Geldgeber fu¨r solche Projekte. An mehreren Stellen konnten wir auf
das alte“SkriptumvonProf.Dr.KarlF¨orster,u¨berarbeitetunderg¨anztvon
”
Dr. Alfred Geiger [20] aufbauen. Wir haben hier sehr profitiert und m¨och-
ten uns dafu¨r sehr herzlich bedanken. Unser herzlicher Dank gebu¨hrt dann
vor allem unseren Mitarbeitern Mark Ferch, Friedemann Kemm und Mirko
Pauli, die uns bei der Erstellung des Buches tatkr¨aftig unterstu¨tzt haben.
Bedanken m¨ochten wir uns auch bei vielen Studierenden, allen voran Olaf
Sch¨onrock,OliverHohnundDominikSaile,beiPDDr.HorstParischfu¨rsei-
ne zahlreichen Kommentare und bei Dr. Werner Grimm und Dr. Sven Olaf
Neumann fu¨r die Unterstu¨tzung bei den Beispielen. Unser Dank gilt auch
Frau Hestermann-Beyerle und Frau Lempe vom Springer-Verlag fu¨r die gute
undangenehmeZusammenarbeit.Umzuku¨nftigmitneuenMaple-Versionen
Schritt halten zu k¨onnen, werden Updates der Worksheets unter der Home-
page zum Buch
http://www.home.hs-karlsruhe.de/∼weth0002/buecher/revokos/start.htm
zur Verfu¨gung gestellt.
Stuttgart, im Februar 2009, Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung ................................................ 1
0.1 Modellierungsfehler, Approximationsfehler
und Rundungsfehler .................................... 2
0.2 Struktogramme ........................................ 7
0.3 Arbeiten mit der CD-ROM .............................. 13
1 Numerische Integration und Differenziation............... 15
1.1 Die zwei Ideen ......................................... 19
1.2 Der Taylor-Abgleich .................................... 25
1.3 Summierte Mittelwertformeln ............................ 30
1.4 Die Gaußschen Integrationsformeln ....................... 35
1.5 Adaptivit¨at und Fehlerextrapolation ...................... 40
1.6 Numerische Differenziation .............................. 46
1.7 Bemerkungen und Entscheidungshilfen .................... 53
1.8 Beispiele und Aufgaben ................................. 56
2 Anfangswertprobleme gew¨ohnlicher
Differenzialgleichungen ................................... 57
2.1 Das Euler-Cauchy-Verfahren ............................. 63
2.2 Stabilit¨at, Konsistenz und Konvergenz .................... 75
2.2.1 Stabilit¨at........................................ 75
2.2.2 Konsistenz ...................................... 80
2.2.3 Konvergenz...................................... 81
2.3 Mehrschrittverfahren.................................... 83
2.4 Runge-Kutta-Verfahren ................................. 89
2.5 Extrapolationsverfahren................................. 93
2.6 Schrittweitenkontrolle und Fehlersch¨atzer.................. 97
2.7 Systeme von Differenzialgleichungen
und Differenzialgleichungen h¨oherer Ordnung .............. 100
2.8 Bemerkungen und Entscheidungshilfen .................... 103
2.9 Beispiele und Aufgaben ................................. 106
3 Rand- und Eigenwertprobleme gew¨ohnlicher
Differenzialgleichungen ................................... 111
3.1 Vorbemerkungen und Begriffsbestimmungen ............... 112
VIII Inhaltsverzeichnis
3.1.1 Homogenes Randwertproblem (Eigenwertproblem).... 113
3.1.2 Inhomogenes Randwertproblem .................... 114
3.2 Schießverfahren ........................................ 115
3.2.1 Lineare Probleme ................................ 117
3.2.2 Nichtlineare Probleme ............................ 119
3.3 Differenzenverfahren .................................... 121
3.4 Differenzenformeln mit Ableitungen....................... 126
3.5 Methode der gewichteten Residuen ....................... 130
3.6 Das Ritzsche Verfahren ................................. 137
3.6.1 Variationsproblem................................ 137
3.6.2 Approximation................................... 141
3.7 Die Finite-Elemente-Methode ............................ 142
3.7.1 Stu¨ckweise lineare Ansatzfunktionen ................ 143
3.7.2 Galerkin-Verfahren ............................... 145
3.7.3 Ritz-Verfahren ................................... 150
3.8 Eigenwertproblem ...................................... 158
3.9 Bemerkungen und Entscheidungshilfen .................... 164
3.10 Beispiele und Aufgaben ................................. 166
4 Grundlagen der partiellen Differenzialgleichungen ........ 171
4.1 Klassifizierung der partiellen Differenzialgleichungen
2.Ordnung ............................................ 172
4.2 Elliptische Differenzialgleichungen 2.Ordnung .............. 175
4.3 Parabolische Differenzialgleichungen 2.Ordnung ............ 181
4.4 Hyperbolische Differenzialgleichungen 2.Ordnung........... 186
4.5 Evolutionsgleichungen................................... 191
4.6 Erhaltungsgleichungen .................................. 198
4.7 Anwendungen.......................................... 204
4.7.1 Die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen ........ 204
4.7.2 Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen ...... 209
4.7.3 Die Gleichungen der Akustik....................... 211
4.8 Bemerkungen .......................................... 212
4.9 Beispiele und Aufgaben ................................. 213
5 Grundlagen der numerischen Verfahren fu¨r partielle
Differenzialgleichungen ................................... 223
5.1 Konsistenz, Stabilittt und Konvergenz .................... 223
5.2 Die Diskretisierung des Rechengebietes.................... 228
5.2.1 Beschreibung technischer Gebiete................... 228
5.2.2 Erzeugung von randangepassten Gittern............. 231
5.3 Bemerkungen .......................................... 232
6 Differenzenverfahren...................................... 235
6.1 Elliptische Differenzialgleichungen ........................ 238
6.2 Parabolische Differenzialgleichungen ...................... 252
Inhaltsverzeichnis IX
6.3 Hyperbolische Differenzialgleichungen ..................... 264
6.4 Verfahren auf randangepassten Gittern.................... 279
6.5 Bemerkungen und Entscheidungshilfen .................... 283
6.6 Beispiele und Aufgaben ................................. 285
7 Finite-Elemente-Methode................................. 289
7.1 Triangulierung mit linearen Basisfunktionen ............... 292
7.2 Triangulierung mit linearen Elementfunktionen............. 299
7.3 Rechteckzerlegung mit bilinearen Elementen ............... 303
7.4 Triangulierung mit quadratischen Elementen............... 306
7.5 Bemerkungen und Entscheidungshilfen .................... 315
7.6 Beispiele und Aufgaben ................................. 316
8 Finite-Volumen-Verfahren ................................ 319
8.1 Lineare Transportgleichungen ............................ 325
8.2 Skalare Erhaltungsgleichungen ........................... 333
8.3 Systeme von Erhaltungsgleichungen....................... 340
8.4 Erhaltungsgleichungen in mehreren Raumdimensionen ...... 345
8.5 Bemerkungen und Entscheidungshilfen .................... 346
8.6 Beispiele und Aufgaben ................................. 348
Anhang
A Interpolation ............................................. 353
A.1 Die Interpolationsformel von Lagrange .................... 355
A.2 Die Interpolationsformel von Newton ..................... 359
A.3 Spline-Interpolation..................................... 363
A.4 Bemerkungen und Entscheidungshilfen .................... 366
B L¨osen nichtlinearer Gleichungen .......................... 369
B.1 Bisektion.............................................. 370
B.2 Regula Falsi ........................................... 372
B.3 Sekantenverfahren ...................................... 373
B.4 Das Newton-Verfahren .................................. 374
B.5 Bemerkungen und Entscheidungshilfen .................... 376
C Iterative Methoden zur numerischen L¨osung von linearen
Gleichungssytemen ....................................... 377
C.1 Die klassischen Iterationsmethoden ....................... 378
C.2 Mehrgitterverfahren .................................... 383
C.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten ................ 386
C.4 Bemerkungen und Entscheidungshilfen .................... 390
Literaturverzeichnis .......................................... 393
Index......................................................... 397
0 Einleitung
DiemathematischeModellierungvonVorg¨angenausderPhysikunddemIn-
genieurbereichfu¨hrtsehroftaufDifferenzialgleichungen.Entwedersinddiese
gew¨ohnliche Differenzialgleichungen, bei denen die gesuchte L¨osung nur von
einer Variablen - Raum oder Zeit - abh¨angt, oder partielle Differenzialglei-
chungen,beidenenmehrereRaumdimensionenunddieZeiteineRollespielen.
Da nur sehr wenige dieser Differenzialgleichungen exakt l¨osbar sind, ist man
in der Praxis auf die n¨aherungsweise L¨osung dieser Gleichungen angewiesen.
Die numerische L¨osung von Differenzialgleichungen ist somit ein wichtiges
Teilgebiet der numerischen Mathematik, eng verbunden mit den Ingenieur-
und Naturwissenschaften.
ZurnumerischenSimulationeinespraktischenProblemsgeh¨orenmehrereAr-
beitsschritte: Man ben¨otigt ein geeignetes numerisches Verfahren, formuliert
ineinemAlgorithmus,kannmandiesesineinRechenprogrammumsetzenund
letztlich auf das entsprechende Problem anwenden. Um eine numerische Si-
mulationerfolgreichausfu¨hrenzuk¨onnen,ben¨otigtmanguteKenntnisseund
einige Erfahrung in den einzelnen Schritten. In diesem Buch“ wird der Ver-
”
such unternommen, Ideen, Theorie der numerischen Verfahren, Algorithmus
undProgrammstrukturbishinzumpraktischenTestundderAnwendungmit
einzubeziehen. In dem pdf-File der CD-ROM gibt es Links zu elektronischen
Arbeitsbl¨attern,indenendieAlgorithmenmitgrafischerAusgabeschonfertig
umgesetztsind,undmitderenHilfevieleBeispieleinteraktivbearbeitetwer-
den k¨onnen. Im Hintergrund steht das Computer-Algebra-System Maple,
welches eine Programmiersprache und geeignete Visualisierungsm¨oglichkei-
ten enth¨alt. Damit kann der Leser“ die verschiedenen Verfahren ausfu¨hren
”
undsichdieErgebnisseanschauen,welchealsAbbildungenauchimBuchzur
Verfu¨gung stehen. Er kann aber daru¨berhinaus selbst¨andig Diskretisierungs-
parameter, aber auch Programmteile ¨andern und neue Probleme l¨osen. Mit
wenigen Voraussetzungen sollte es somit m¨oglich sein, eigene Erfahrungen in
der Anwendung numerischer Methoden zu sammeln.
Um diese interaktive Komponente nutzen zu k¨onnen, muss Maple auf dem
Rechnerinstalliertsein.StehtMaple nichtzurVerfu¨gungoderm¨ochteman
nur die algorithmische Umsetzung des Verfahrens anschauen bzw. nur die
2 0 Einleitung
grafischen Ergebnisse betrachten, kann man mit der html-Version arbeiten,
bei der die elektronischen Worksheets als html-Files vorliegen. Dann ist al-
lerdings kein interaktives Arbeiten mehr m¨oglich.
Der Schwerpunkt dieses Buches liegt, neben der Beschreibung der numeri-
schenVerfahren,aufderVermittlungderpraktischenAspekteindernumeri-
schen L¨osung von Differenzialgleichungen bis hin zur Simulation praktischer
Probleme. Die Ableitung eines Algorithmus, d.h. der Angabe von aufeinan-
derfolgendenRechenschritteninderReihenfolge,wiesiedanneinComputer
berechnen kann, wird durch die Angabe von Struktogrammen aufgezeigt.
Zur Vorbereitung werden in der Einleitung die grundlegenden Elemente ei-
nesStruktogrammsbeschrieben,einekurzeEinfu¨hrungindieBedienungder
CD-ROM schließt sich daran an. Zun¨achst wird aber mit Bemerkungen u¨ber
die m¨oglichen Fehler bei einer numerischen Simulation gestartet.
0.1 Modellierungsfehler, Approximationsfehler
und Rundungsfehler
Wird Information u¨ber einen technischen oder physikalischen Vorgang ge-
sucht, dann sind in der Regel Daten oder Zahlen gesucht, z.B. wie viel Last
h¨alt ein Balken aus? Um solche Aussagen zu bekommen, muss zuerst ein
physikalisches Modell vorhanden sein. Mit dem zugeh¨origen mathematischen
Modell, den entsprechenden Gleichungen, welche diesen Vorgang beschrei-
ben, hat man dann den Gegenstand, mit dem gerechnet werden kann. Fu¨r
viele Probleme ist das mathematische Modell eine oder mehrere Differenzi-
algleichungen. U¨berall dort, wo die A¨nderung einer Gr¨oße von deren Wert
abh¨angt, ergibt sich eine solche.
Nehmen wir als Beispiel ein Str¨omungsproblem. Hier besteht das physikali-
sche Modell aus den Erhaltungss¨atzen fu¨r Masse, Impuls und Energie. Das
mathematische Modell wird daraus abgeleitet und besteht aus Differenzial-
gleichungen fu¨r die Massendichte, die Geschwindigkeit und den Druck. In
der physikalischen und mathematischen Modellierung eines Vorgangs wer-
den Einflu¨sse vernachl¨assigt. Man nimmt an, dass sie die L¨osung sehr wenig
beeinflussen und im Rahmen der geforderten Genauigkeit keine Rolle spie-
len.DieVereinfachungdesProblemsreduziertdenRechenaufwand.Beieiner
Str¨omungsberechnung k¨onnte dies eine Vernachl¨assigung der Reibungsterme
sein, wenn diese sehr klein sind. Fehler, welche man dadurch macht, nennt
man Modellierungsfehler. Auf diese Modellierungsfehler werden wir im
Folgenden nicht weiter eingehen, da sie Thema der mathematischen Model-
lierung und nicht der numerischen Approximation sind. Man sollte in prak-
tischen Anwendungen diese Fehler jedoch im Kopf behalten. Falls sp¨ater die