Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak : Egyetemi jegyzet

198 Pages·2007·1.566 MB·Hungarian

by  Stoyan Gisbert

© Typotex Kiadó
Numerikus Matematika
MØrn(cid:246)k(cid:246)knek Øs programoz(cid:243)knak
Stoyan Gisbert
MagyarorszÆg, 2007 januÆr
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó
TartalomjegyzØk
1. A lebegfipontos szÆm(cid:237)tÆs 7
1.1. Az egØsz szÆmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. A lebegfipontos szÆmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Lebegfipontos szÆm(cid:237)tÆs, kerek(cid:237)tØs . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. A hibÆk terjedØse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. TanulsÆgok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. NormÆk, kond(cid:237)ci(cid:243)szÆmok 21
2.1. NormÆk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Az indukÆlt mÆtrixnorma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1. Az indukÆlt mÆtrixnorma de(cid:28)n(cid:237)ci(cid:243)ja Øs tulajdonsÆgai . 25
p = 1,∞
2.2.2. Az indukÆlt mÆtrixnorma kiszÆm(cid:237)tÆsa ( ) . . . 26
p = 2
2.2.3. Az indukÆlt mÆtrixnorma kiszÆm(cid:237)tÆsa ( ) . . . . . 29
2.3. HibabecslØsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1. A lineÆris rendszer jobboldala hibÆs . . . . . . . . . . . 32
2.3.2. A kond(cid:237)ci(cid:243)szÆm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.3. A lineÆris rendszer mÆtrixa hibÆs . . . . . . . . . . . . 37
2.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. LineÆris egyenletrendszerek 41
3.1. A Gauss-eliminÆci(cid:243) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. A Gauss-eliminÆci(cid:243) vØgrehajthat(cid:243)sÆga . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3. Az LU-felbontÆs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4. Algoritmusok, m¶veletigØny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5. `ltalÆnos mÆtrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.1. Az LDU-felbontÆs algoritmusa, tesztfeladatok . . . . . 56
3.6. A Cholesky-felbontÆs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
LDLT
3.6.1. Az -felbontÆs algoritmusa, tesztfeladatok . . . . 62
3.7. SÆvos mÆtrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7.1. TridiagonÆlis egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . 63
3
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó
4 TARTALOMJEGYZ(cid:201)K
3.7.2. A tridiagonÆlis algoritmus, tesztfeladatok . . . . . . . . 65
3.8. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4. Legkisebb nØgyzetek 69
4.1. LineÆris regresszi(cid:243) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1. Algebrai megfogalmazÆs . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.2. A legkisebb nØgyzetek elve . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2. A Gauss-fØle normÆl-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3. MegoldÆsi algoritmus, tesztfeladatok . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5. SajÆtØrtØk feladatok 85
5.1. Alapvetfi tulajdonsÆgok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.1. NormÆlis mÆtrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.2. A karakterisztikus polinomr(cid:243)l . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.3. A sajÆtØrtØkek lokalizÆci(cid:243)ja . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2. A hatvÆny-m(cid:243)dszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.1. KonvergenciafeltØtelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.2. A Rayleigh-hÆnyados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.3. A hatvÆny-m(cid:243)dszer algoritmusa, tesztfeladatok . . . . . 98
5.2.4. Az eltolÆs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3. Az inverz iterÆci(cid:243) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3.1. KonvergenciafeltØtelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3.2. Az inverz iterÆci(cid:243) algoritmusa, tesztfeladatok . . . . . . 103
5.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6. InterpolÆci(cid:243) 109
6.1. InterpolÆci(cid:243)s feladatokr(cid:243)l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2. A Lagrange-interpolÆci(cid:243) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.1. A Lagrange-fØle interpolÆci(cid:243)s feladat . . . . . . . . . . 110
6.2.2. A Newton-fØle rekurzi(cid:243) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2.3. A di(cid:27)erenciasØma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2.4. A Lagrange-interpolÆci(cid:243) algoritmusa, tesztfeladatok . . 120
6.2.5. HibabecslØsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3. Az Hermite-fØle interpolÆci(cid:243) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4. A szakaszonkØnti polinomiÆlis interpolÆci(cid:243) . . . . . . . . . . . 126
6.5. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7. NemlineÆris egyenletek 133
7.1. FelezØsi m(cid:243)dszer, egyszer¶ iterÆci(cid:243)k . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2. A Newton-m(cid:243)dszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó
TARTALOMJEGYZ(cid:201)K 5
7.2.1. A csillap(cid:237)tott Newton-m(cid:243)dszer . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2.2. A szelfim(cid:243)dszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.3. Egyenletrendszerek megoldÆsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.1. A Newton-m(cid:243)dszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.2. A csillap(cid:237)tott Newton-m(cid:243)dszer algoritmusa, tesztfel-
adatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3.3. A Jacobi-mÆtrix k(cid:246)zel(cid:237)tØsØrfil . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3.4. A Broyden-m(cid:243)dszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.4. A Gauss-Newton-m(cid:243)dszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.4.1. Le(cid:237)rÆsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.4.2. A Gauss-Newton-m(cid:243)dszer algoritmusa, tesztfeladatok . 154
7.5. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8. K(cid:246)zel(cid:237)tfi integrÆlÆs 159
8.1. Elemi kvadratœrakØpletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.2. InterpolÆci(cid:243)s kvadratœrakØpletek . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.3. (cid:214)sszetett kvadratœrakØpletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.3.1. (cid:214)sszetett kØpletek konstrukci(cid:243)ja . . . . . . . . . . . . . 165
8.3.2. (cid:214)sszetett kØpletek konvergenciÆja . . . . . . . . . . . . 168
8.4. Gyakorlati szempontok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.5. T(cid:246)bbdimenzi(cid:243)s integrÆlok kiszÆm(cid:237)tÆsa . . . . . . . . . . . . . . 174
8.5.1. VisszavezetØs egyvÆltoz(cid:243)s f(cid:252)ggvØnyek integrÆlÆsÆra . . . 174
8.5.2. Az integrÆlÆsi tartomÆny approximÆci(cid:243)ja . . . . . . . . 176
8.5.3. A kØtdimenzi(cid:243)s Simpson-integrÆci(cid:243) algoritmusa, teszt-
feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.6. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9. K(cid:246)z(cid:246)nsØges di(cid:27)erenciÆlegyenletek 181
9.1. MotivÆci(cid:243) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.2. KezdetiØrtØk feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.3. Az Euler-m(cid:243)dszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.3.1. Az Euler-m(cid:243)dszer algoritmusa, tesztfeladatok . . . . . 188
9.4. Az Euler-m(cid:243)dszer hibaelemzØse . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.5. A jav(cid:237)tott Euler-m(cid:243)dszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.6. Az implicit Euler-m(cid:243)dszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.6.1. Az implicit Euler-m(cid:243)dszer lineÆris rendszerekre . . . . 197
9.6.2. NemlineÆris rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.6.3. Az implicit Euler-m(cid:243)dszer algoritmusa, tesztfeladatok . 201
9.7. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
⁄·»
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó
1. fejezet
A lebegfipontos szÆm(cid:237)tÆs
a > 0
A gimnÆziumban tanultuk: Ha egy hatvÆny alapja , akkor
ØrvØnyesek a k(cid:246)vetkezfi relÆci(cid:243)k:
ab
abac = ab+c, = ab−c,
ac
q (cid:54)= 1
Øs ha , akkor
(cid:88)n 1−qn+1
1+q +q2 +...+qn = qi = ,
1−q
i=0
(cid:80)
q = 1 n qi = n+1.
illetve ha , akkor
i=0
1.1. Az egØsz szÆmok
Az egØsz szÆmok a szÆm(cid:237)t(cid:243)gØpben elfijeles binÆris szÆmok formÆjÆban vannak
jelen. Gyakran 2- Øs 4-bÆjtos egØsz szÆmok Ællnak rendelkezØsre, ahol a (cid:18)bÆjt(cid:17)
nyolc binÆris jeggyel rendelkezik. Sok gØpnØl a bÆjt a legkisebb elØrhetfi (cid:22)
megc(cid:237)mezhetfi (cid:22) tÆrolÆsi egysØg. Ezenfel(cid:252)l lehet, hogy egy- Øs nyolc-bÆjtos
egØsz szÆmokkal is dolgozhatunk.
Az egØsz szÆmokkal val(cid:243) aritmetikai m¶veletek nagysÆgrenddel gyorsab-
bak a (k(cid:246)vetkezfi pontban tÆrgyalÆsra ker(cid:252)lfi) lebegfipontos szÆmokØnÆl Øs
hibamenteseknek tekinthetfik, ezØrt hasznÆlatuk d(cid:246)ntfi mØrtØkben felgyors(cid:237)t-
hatja egy adott algoritmus futÆsÆt a szÆm(cid:237)t(cid:243)gØpen. Az egØsz szÆmokkal val(cid:243)
szÆm(cid:237)tÆs minden lØpØsØt viszont (cid:28)gyelmesen Æt kell gondolni, mert ilyenkor
val(cid:243)jÆban maradØkosztÆlyban dolgozunk. PØldakØnt az egybÆjtos egØsz szÆ-
mok (cid:246)sszeadÆsÆt nØzz(cid:252)k:
7
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó
8 FEJEZET 1. A LEBEG(cid:142)PONTOS SZ`M˝T`S
11010101 213
+ 10101010 + 170
≡
=1 01111111 = 383 127 mod(256)
A keretben mÆr elhelyezhetetlen ((cid:18)tœlcsordult(cid:17)) 1-est levÆgja a szÆmol(cid:243)egy-
28
sØg, Øs ezzel az (cid:246)sszeget a szerinti maradØkÆval helyettes(cid:237)ti.
28
TehÆt a maradØkosztÆlyÆra tØrt(cid:252)nk Æt, kØtbÆjtos szÆmok esetØn a fen-
216
tieknek megfelelfien a maradØkosztÆlyÆhoz stb.
1.2. A lebegfipontos szÆmok
Ez a szÆmt(cid:237)pus alapvetfi a szÆm(cid:237)t(cid:243)gØpek numerikus hasznÆlatÆnÆl. A nem-
nulla lebegfipontos szÆmok alakja:
(cid:179) (cid:180)
m m m
±ak 1 + 2 +···+ t ,
(1.1)
a a2 at
a > 1 − t > 1
ahol aszÆmÆbrÆzolÆsalapja, (cid:18)+(cid:17) vagy(cid:18) (cid:17) azelfijel, aszÆmjegyek
k m
szÆma, a kitevfi. Az 1 szÆmjegy normalizÆlt, azaz eleget tesz az
1 ≤ m ≤ a−1
1
egyenlfitlensØgnek. Ez biztos(cid:237)tja a szÆmÆbrÆzolÆs egyØrtelm¶sØgØt Øs a ren-
delkezØsre Æll(cid:243) szÆmjegyek kihasznÆlÆsÆt. A t(cid:246)bbi szÆmjegyre igaz
0 ≤ m ≤ a−1, 2 ≤ i ≤ t.
i
k = 0, m = m = ··· = m = 0
A nulla nem normalizÆlt: esetØben 1 2 t , az
elfijele ÆltalÆban (cid:18)+(cid:17).
a
A lebegfipontos szÆm(cid:237)tÆs szÆmÆbrÆzolÆsÆnak alapja gyakran nem 2.
Ehelyett pl. 10 vagy 16 is lehet. Egyes gØpeknek van decimÆlis szÆmol(cid:243)-
egysØge. Legt(cid:246)bbsz(cid:246)r viszont a programozÆsi nyelv val(cid:243)s(cid:237)tja meg a megfelelfi
aritmetikÆt, ha pl. ffikØnt adatfeldolgozÆsra szÆnjÆk, akkor gazdasÆgosabb le-
het a t(cid:237)zes szÆmrendszer. A decimÆlis szÆmrendszer esetØn egyszer¶ pontos-
t = 8 t = 16
sÆg mellett kb. -ra, dupla pontossÆg mellett kb. -ra szÆm(cid:237)thatunk.
A lebegfipontos szÆmok tÆrolÆsÆt a k(cid:246)vetkezfi formÆban kØpzelhetj(cid:252)k el
(a val(cid:243)sÆg ettfil eltØrhet, de az ilyen, a m¶szaki megval(cid:243)s(cid:237)tÆshoz k(cid:246)zelebb Æll(cid:243)
Øs a numerikus szÆm(cid:237)tÆst kevØsbØ Ørintfi kØrdØseket itt nem rØszletezz(cid:252)k):
[±,k,m ,...,m ],
1 t
(m ,...,m ) =: m k
ahol 1 t a mantissza. A kitevfit a szÆm karakterisztikÆjÆnak
is h(cid:237)vjuk. A gØptfil Øs a pontossÆgt(cid:243)l (egyszer¶, dupla, nØgyszeres pontos-
m
sÆg) f(cid:252)ggfien tÆrolÆsÆra nØgy, nyolc vagy 16 bÆjt Æll rendelkezØsre. Ezzel
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó
1.2. A LEBEG(cid:142)PONTOS SZ`MOK 9
0 eps_0 1 2
1.1. Æbra. A lebegfipontos szÆmok a val(cid:243)s tengelyen
k
pÆrhuzamosan nfi a ØrtØkkØszlete. Adott pontossÆg mellett
k ≤ k ≤ k ,
(−) (+)
k < 0, k > 0 |k | ≈ |k |
ahol (−) (+) Øs (−) (+) (ld. az 1. Øs a 2. feladatot). Ekkor
a legnagyobb ÆbrÆzolhat(cid:243) szÆm
(cid:181) (cid:182)
(cid:88)t
a−1 a−1 a−1 a−1
M := ak(+) = ak(+) + +...+
∞ ai a a2 at
i=1
= ak(+)(1−a−t),
−M [−M ,M ]
alegkisebbszÆm ∞. AlebegfipontosszÆmoka ∞ ∞ -beliracionÆlis
szÆmok diszkrØt rØszhalmazÆt alkotjÆk, ez a rØszhalmaz a nullÆra nØzve szim-
ε
metrikus. A nullÆhoz legk(cid:246)zelebbi pozit(cid:237)v lebegfipontos szÆmot 0-val jel(cid:246)l-
j(cid:252)k, (cid:181) (cid:182)
1
ε := ak(−) +0+...+0 = ak(−)−1.
0
a
(−ε ,ε )
˝gy a nullÆn k(cid:237)v(cid:252)l a 0 0 intervallumban nincs mÆs lebegfipontos szÆm.
(Itt eltekint(cid:252)nk att(cid:243)l, hogy a nullÆt(cid:243)l k(cid:252)l(cid:246)nb(cid:246)zfi nemnormalizÆlt szÆmok is
elfifordulhatnak egy szÆm(cid:237)t(cid:243)gØpben, de a szÆmÆbrÆzolÆs egyØrtelm¶sØge mi-
k = k ε
att csak akkor, amikor (−). Ekkor gyakorlatilag arr(cid:243)l van sz(cid:243), hogy 0
kØplete ak(−)−t-re vÆltozik.) A (−ε0,ε0) intervallum hatalmas hØzagkØnt hat,
ha a lebegfipontos szÆmokat a szÆmegyenesen ÆbrÆzoljuk (ld. a 3. feladatot);
ε
az 0-hoz legk(cid:246)zelebbi pozit(cid:237)v lebegfipontos szÆm ugyanis:
(cid:181) (cid:182)
1 1
ak(−) +0+...+0+ = ε +ak(−)−t = ε (1+a1−t),
a at 0 0
Øs
ε ·a1−t (cid:191) ε .
0 0
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó
10 FEJEZET 1. A LEBEG(cid:142)PONTOS SZ`M˝T`S
Az 1 mindig hozzÆtartozik a lebegfipontos szÆmokhoz:
1 = [+,1,1,0,...,0].
Az 1 utÆn a
[+,1,1,0,...,0,1] = 1+ε
1
lebegfipontos szÆm k(cid:246)vetkezik, ahol
ε := a1−t.
1
Ezt a szÆmot gyakran a gØp relat(cid:237)v pontossÆgakØnt, ill. mint gØpi epszilon
ε ε
emlegetik (ld. a 4. feladatot). Az 0 Øs 1 szÆmok jelentfisØge abban Æll, hogy
abszolœt, ill. relat(cid:237)v hibakorlÆtot kØpeznek az inputnÆl Øs a nØgy alapm¶ve-
letnØl (ld. a k(cid:246)vetkezfi pontot).
Adott
(cid:179) (cid:180)
m m m
0 < x = [+,k,m] = ak 1 + 2 +···+ t < M
a a2 at ∞
x+ak−t
pozit(cid:237)v lebegfipontos szÆmhoz a legk(cid:246)zelebbi nagyobb szÆm . Ugyanis
x x
ekkor -nek az jobboldali szomszØdja
(cid:181) (cid:182)
1
x = x+ak 0+0+...+0+ = x+ak−t,
at
δx := x−x = ak−t k
tehÆt a tÆvolsÆg a kettfi szÆm k(cid:246)z(cid:246)tt. Mivel a jelenlegi
x ak1 = ak−1
karakterisztikÆhoz a legkisebb lehetsØges -ØrtØk , ezØrt
a
x−x = δx = ak−t = ak−1+1−t = ak−1a1−t = ak−1ε ≤ xε .
1 1 (1.2)
x < 0 x
Ha Øs a baloldali szomszØdja, akkor hasonl(cid:243)an ØrvØnyes
|x−x| ≤ |x|ε .
1 (1.3)
1.3. Lebegfipontos szÆm(cid:237)tÆs, kerek(cid:237)tØs
Elfisz(cid:246)r foglalkozzunk az inputtal.
x |x| ≤ M x˜
Legyen val(cid:243)sszÆm, ∞ Øs agØpÆltalhozzÆrendeltlebegfipontos
szÆm. Leggyakrabban
(cid:40)
0, |x| < ε ,
ha 0
x˜ :=
x , ε ≤ |x| ≤ M .
az -hez legk(cid:246)zelebbi lebegfipontos szÆm ha 0 ∞
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó
1.3. LEBEG(cid:142)PONTOS SZ`M˝T`S, KEREK˝T(cid:201)S 11
TehÆt ilyenkor az elsfi esetben nulla felØ kerek(cid:237)tj(cid:252)k a szÆmot, a mÆsodik
esetben szabÆlyszer¶en kerek(cid:237)t(cid:252)nk. Ekkor (ld. az (1.2) Øs (1.3) relÆci(cid:243)kat)
(cid:40)
ε , |x| < ε ,
0 ha 0
|x˜−x| ≤
(1.4)
1ε |x|, |x| ≥ ε .
2 1 ha 0
AmennyibenagØpmindiganullafelØlekerek(cid:237)tiaszÆmokat(mivelafelesleges
szÆmjegyek levÆgÆsa egyszer¶bb, mint a szabÆlyszer¶ kerek(cid:237)tØs), akkor (1.4)-
1ε ε |x˜−x| < ε |x|
ben 2 1 helyett 1 Æll,Øs(cid:21)pontosabban(cid:21)igaz,hogy 1 . Haanulla
k(cid:246)r(cid:252)li hØzagt(cid:243)l eltekint(cid:252)nk, akkor (1.4) egyszer¶s(cid:237)tett vÆltozatÆt kapjuk,
1
|x˜−x| ≤ ε |x|
1 (1.5)
2
kerek(cid:237)tØs esetØn Øs
|x˜−x| ≤ ε |x|
1 (1.6)
levÆgÆs esetØn.
1ε ε
Az itt szereplfi 2 1, ill. 1 szÆmokat a k(cid:246)vetkezfikØppen is lehet jellemezni:
ε
megegyeznek azzal a legkisebb pozit(cid:237)v lebegfipontos szÆmmal, amellyel az
1 + ε
(cid:246)sszeadÆs eredmØnye nagyobb 1-nØl (cid:22) kerek(cid:237)tØs, ill. levÆgÆs utÆn is.
Ld. a 4. feladatot.
K(cid:246)vetkezfinek foglalkozzunk a lebegfipontos m¶veletekkel. Elfisz(cid:246)r pØlda-
a = 10, t = 3, k = −3, k = 3
kØnt nØzz(cid:252)k az (cid:246)sszeadÆst. Legyen pl. (−) (+)
ε = 10−2 x = 3.45 y = 0.567
(ekkor 1 ), a kØt (cid:246)sszeadand(cid:243) szÆm pedig Øs . Az
k k
(cid:246)sszeadÆs elsfi lØpØsekØnt a kØt szÆm karakterisztikÆjÆt ( 1 Øs 2) egyenlfivØ
k −k
kell tenni Øs 1 2 szÆmjeggyel jobbra csœsztatni a mantisszÆt:
= x
+ 1 345 10*0.345 ( )
= y
+ + 0 567 + 1*0.567 ( )
= + 1 345 = 10*0.345
+ + 1 0567 + 10*0.0567=4.017=x+y=:z
t
Itt azonnal felmer(cid:252)l a kØrdØs, vajon a szÆmol(cid:243)egysØgben is szÆmjegy Æll a
mantisszÆk rendelkezØsØre?
Az (cid:246)sszeadÆsnÆl legalÆbb egy szÆmjeggyel t(cid:246)bb sz(cid:252)ksØges ahhoz, hogy a
2t
hiba elfogadhat(cid:243) legyen. (A szorzÆsnÆl a legkØnyelmesebb az, ha szÆmjegy
Æll a mantisszÆk szorzatÆnak rendelkezØsØre, mert akkor a szorzat vesztesØg
nØlk(cid:252)l helyezhetfi el.)
Ha ez a kiegØsz(cid:237)tfi szÆmjegy megvan, akkor a fenti pØldÆban az (cid:246)sszeadÆs
(cid:237)gy folytathat(cid:243):
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó
12 FEJEZET 1. A LEBEG(cid:142)PONTOS SZ`M˝T`S
+ 1 345
+ + 0 567
= + 1 345
+ + 1 0567
= + 1 4017
EddighibamentesenkaptukazeredmØnyt, deaztÆltalÆbanvisszakellvinnia
tÆrba, ahol pØldÆnkban csak 3szÆmjegy vana mantisszaelhelyezØsØre. Ekkor
sz(cid:252)ksØges az utols(cid:243) szÆmjegyet vagy levÆgni, vagy szabÆlyosan kerek(cid:237)teni.
Ha az ut(cid:243)bbi mellett d(cid:246)nt(cid:246)ttek a gØpi szÆmol(cid:243)egysØg (ill. az aritmetikÆt
z˜ = x(cid:93)+y
megval(cid:243)s(cid:237)t(cid:243) programozÆsi nyelv) tervezØsekor akkor a szÆm(cid:237)tÆsi
vØgeredmØny
+ 1 402
˝gy a vØgeredmØny hibÆs, Øs hibÆjÆra ØrvØnyes
1 1
|z −z˜| = 0.003 = ε ∗0.3 = ε ∗0.6 < ε ∗|z| (= 0.020085).
1 1 1 (1.7)
2 2
a = 10, t =
VizsgÆljunk mØg egy pØldÆt az (cid:246)sszeadÆsra (legyen tovÆbbra is
3, k = −3, k = 3
(−) (+) , Øs a szÆmol(cid:243)egysØg rendelkezzen egy kiegØsz(cid:237)tfi
x = 0.987 y = 0.567
szÆmjeggyel): Øs .
Az (cid:246)sszeadÆs elfitti csœsztatÆsra most nincs sz(cid:252)ksØg:
= x
+ 0 987 0.987 ( )
= y
+ + 0 567 + 0.567 ( )
= + 0 1554 = 1.554
∼ ∼
= + 1 155 = 10*0.155=:z˜
Itt az utols(cid:243) lØpØsben normalizÆlni Øs kerek(cid:237)teni kellett a szÆmol(cid:243)egysØgbeli
eredmØnyt, amiutÆn a szÆm kivihetfi a tÆrba.
Most vizsgÆljuk ÆltalÆban az alapm¶veletek sorÆn fellØpfi hibÆkat! Eh-
(+,−,∗,/)
hez, a fenti pØldÆval (cid:246)sszhangban, feltessz(cid:252)k, hogy a gØp a nØgy
(cid:166)
alapm¶velet bÆrmelyikØt (amit a jellel fogunk jel(cid:246)lni) elfisz(cid:246)r pontosan vØg-
rehajtja, majd kerek(cid:237)tØssel vagy levÆgÆssal rendel hozzÆ egy lebegfipontos
szÆmot. Ekkor (1.4)-nek megfelelfien Øs speciÆlisan a kerek(cid:237)tØs esetØn
(cid:40)
ε , |x(cid:166)y| < ε
0 ha 0
|x(cid:93)(cid:166)y −x(cid:166)y| ≤
(1.8)
1ε |x(cid:166)y|, |x(cid:166)y| ≥ ε ,
2 1 ha 0
ε
illetve, egyszer¶s(cid:237)tett vÆltozatban, az 0-val kapcsolatos esetet elhagyva,
(cid:40)
1,
levÆgÆs esetØn
|x(cid:93)(cid:166)y −x(cid:166)y| ≤ ε |x(cid:166)y|∗
1 1, (1.9)
kerek(cid:237)tØs esetØn.
2
© Stoyan Gisbert