Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Verzweigungsproblemen: Vortragsauszüge der Tagung über Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Verzweigungsproblemen vom 14. bis 20. November 1976 im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach PDF
Preview Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Verzweigungsproblemen: Vortragsauszüge der Tagung über Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Verzweigungsproblemen vom 14. bis 20. November 1976 im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach
ISNM INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK SERlE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE Editors: Ch. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; P. Henrici, Zurich; A. Ostrowski, Montagnola; J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam VOL. 38 Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Verzweigungsproblemen Vortragsauszuge der Tagung uber Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Verzweigungsprob1emen vom 14. bis 20. November 1976 im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwa1d) Herausgegeben von E. Bohl, Munster, L. Collatz, Hamburg, K.P. Hade1er, Tubingen 1977 Springer Basel AG CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Verzweigungsproblemen: Vortragsausz. d. Tagung über Numerik u. Anwendungen von Eigen- wertaufgaben u. Verzweigungsproblemen vom 14.- 20. November 1976 im Mathemat. Forschungsinst. Oberwolfach (Schwarzwald)/hrsg. von E. Bohl... - 1. Aufl. - Stuttgart, Basel: Birkhäuser, 1977. (International series of numerical mathema- tics; Vol. 38) ISBN 978-3-7643-0938-1 NE: Bohl, Erich [Hrsg.]; Tagung über Numerik und Anwendungen von Eigenwertaufgaben und Ver- zweigungsproblemen <1976, Oberwolfach>; Mathe- matisches Forschungsinstitut <Oberwolfach> Nachdruck verboten Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. © Springer Basel AG 1977 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1977 ISBN 978-3-7643-0938-1 ISBN 978-3-0348-5579-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5579-2 Vorwort Aus dem weiten Gebiet, welches das Thema der Tagung beschreibt, wurden folgende Schwerpunkte behande1t: Numerik von Eigenwertaufgaben bei Matrizen, Differenzenapproximation und Methode der finiten Elemente, Aufgaben mit einem nichtlinear auftretenden Parameter, inverse und singuHi re Eigenwertaufgaben, Verzweigungsprobleme. Die Vortrage behandelten sowohlGesichtspunkte der numerischen Berechnung als auch die theoretische Durchdringung der Probleme. Die grosse Beteiligung aus dem In- und Ausland - es waren 11 Lander vertreten - und die Anzahl der angemeldeten Vortrage unterstrichen die Aktualitat des Themas, welches z.Z. Ziel einer regen Forschungstatigkeit ist. Trotz der Komplexitat vieler Fragestellungen wurden auf allen oben genann ten Gebieten von interessanten Fortschritten berichtet. Dabei sind eine Reihe von in der Praxis auftretenden Problemstellungen zusammengetragen wor den, welche flir den jeweiligen allgemeinen Fragenkreis Modellcharakter haben. Die schon fast zur Gewohnheit werdende vorzUgliche Unterbringung und das standige BemUhen der Institutsleitung urn das Wohl der Gaste trugen sehr zum Erfolg der Veranstaltung bei. Wir mochten der Leitung des Oberwolf acher Instituts, Herrn Prof. Dr. M. Barner, dem ganzen Personal des Institutes, und ferner dem Birkhauser-Verlag flir die wie stets so auch diesmal sehr gute Ausstattung dieses Bandes unseren herzlichen Dank aussprechen. E. Bohl L. Collatz K. P. Hadeler (MUnster) (Hamburg) (TUbingen) Inhaltsverzeichnis L. Collatz Verzweigungsdiagramme und Hypergraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9 P. Lancaster A Review of Numerical Methods for Eigenvalue Problems Nonlinear in the Parameter ...... " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 W.Mackens Ein Quotienteneinschluss bei Spline-Eigenwertaufgaben .............. 69 P. de Mottoni Stability of the positive Equilibrium Solution for a Class of Quasilinear Diffusion Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85 W.R. Richert Uber Intermediateprobleme erster Art ............................. 93 G.F.Roach Variational Methods for Multiparametric Eigenvalue Problems I ....... 119 F. Stummel Approximation Methods for Eigenvalue Problems in Elliptic Differential Equations ..................................................... 133 A. Tesei Asymptotic Stability Results for a System of Diffusion Equations ....... 167 HJ. Wacker Bemerkungen zur Aufwandminimierung bei Stetigkeitsmethoden sowie Altemativen bei der Behandlung der SinguHiren Situation ............. 175 H.J. Weinitschke Verzweigungsprobleme bei kreisfOrmigen elastischen Platten ........... 195 W. Wetterling Quotienteneinschliessung bei Eigenwertaufgaben mit partieller Differen- tialgleichung ...................................................2 13 ISNM 38 Birkhauser Verlag, Basel und Stuttgart, 1977 Verzweigungsdiagramme und Hypergraphen L. Collatz, Hamburg Zusammenfassung: Verzweigungspunkte k5nnen auf verschiedene Weise definiert werden. Hier werden Verzweigungsdiagramme als Hypergraphen betrachtet. Dabei erscheinen die verschie denen ~ste der Verzweigungsdiagramme als die Kanten und die Verzweigungspunkte als die Ecken des Hypergraphen. Bei Zu grundelegung eines Dimensionsbegriffes und eines Glattheits begriffes, der z.B. bei Funktionen oft als Begriff der Ana lytizit~t gew~hlt werden kann, erh~lt man eine etwas andere Mannigfaltigkeit von Verzweigungsaufgaben als gewBhnlich be trachtet. Einerseits ist der hier verwendete Begriff wegen der Glattheitsforderung etwas enger als sonst in der Litera tur Ublich (er erfaet aber wohl doch noch die meisten Anwen dungen), andererseits aber gestattet er, da die betrachteten Elemente nicht einmal einem linearen Raum angeh5ren milssen, bisher meines Wissens nicht studierte Anwendungen wie z.B. Eigenwertaufgaben bei geometrischen Figuren (vgl. Nr. 3). Bei endlichen Hypergraphen filhren die Begriffe der Hypergra phentheorie zu einer Klassifikation der Verzweigungsaufgaben. Es werden zahlreiche Beispiele aus verschiedenen Gebieten, z.B. aus Geometrie, Zahlentheorie, Analysis, Differential und Integralgleichungen gegeben. Der Autor glaubt, da5 der Begriff des Hypergraphen den Verzweigungsdiagrammen besser angepa5t ist als der Begriff des Graphen. 1. EinfUhrung des Hypergraphen H Es sei Meine Menge von Elementen u,v, ••• und A eine reelle Zahl (Parameter) oder ein Vektor von endlich vielen reellen Zahlen. Es braucht M nicht notwendig ein linearer Raum zu sein (vgl. Beispiel Nr. 3). Wenn zwischen gewissen Elementen u und gewissen A eine "Beziehung" erfUllt ist, die h~ufig die Form einer Gleichung (1.1 ) F(u,A) = 0 hat, so heiet (u, A) eine "L5sung". Es sei S die Menge aller LBsungen, und N die Menge aller Paare (u, A). Nun mBgen folgende Annahmen getroffen werden: 1.) Es gibt in N gewisse Teilmengen Q, welchen eine ganze Collatz 10 nicht negative Zahl d = dim Q als Dimension zugeordnet wer den kann und welche als "glatt" bezeichnet werden kCSnnen. Der Begriff "glatt" wird jeweils der betreffenden Problem klasse entsprechend gew~hlt. 2.) FUr die Menge Saller LCSsungen gibt es eine Darstellung (1.2) wobei p auch 00 sein darf. Die Sj werden "Xste" genannt. Je der Ast Sj solI glatt sein und eine positive Dimension dj > 0 besitzen mit der Eigenschaft: Der Durchschnitt zweier Xste solI eine kleinere Dimension haben als jeder der Xste, d.h. (1. 3) Abb.1 zeigt als Beispiel eine zweidimen sionale Fl~che Sj und einen eindimensio nalen Kurvenbogen Sk' deren Schnittpunkt P die Dimension Null hat. Definition: Ein Punkt P hei~t "Bifurkations- Abb.1 punkt" ("Verzweigungspunkt"), kurz "B-Punkt", wenn er zwei verschiedenen Xsten Sj' Sk angehCSrt. Wiederholung: Hypergraphen. Hypergraphen sind schon seit langer Zeit betrachtet worden (vgl. z.B. Levi [29], bevor das Wort "Hypergraph" bekannt war. Cl. Berge [73] , [74J entwickelt eine syste matische Theorie der Hypergraphen. Hier solI kurz die Definition wiederholt werden: Ein "Graph" besteht aus einer Menge von A lb Punkten, die auch "Ecken" heiBen, bei bb.2.a.. welchen gewisse Paare von Ecken durch eine "Kante" mitein ander verbunden werden, Abb. 2a • Ein "Hypergraph" besteht Collatz 11 aus einer endlichen oder unendlichen Menge V von Ecken Vj (j = 1 •••• n; n evtl. 00) und einer Familie Evon q nicht leeren Teilmengen er von V(r = 1 •.•• k; k evtl. 00 ) mit der Bedingung. daB V die Vereinigung aller er ist. Die er heiBen "Kanten" des Hypergraphen. Abb. 2b. Sind in einem Hypergraphen H die Ecken jeder Kante geordnet (nicht not wendig total geordnet). so heiBt H ein Hyperdigraph. Bei den Anwendungen hat man h~ufig eine naturliche Ordnung. in dem ein Parameter A eine z.B. physikalische Bedeutung hat und wo man sich fur das Verhalten des betreffenden physika lischen Systems bei wachsendem A interessiert. wodurch eine Ordnung im Hypergraphen induziert wird. 1st der Hypergraph H endlich. d.h. sind Eckenanzahl n und Kantenanzahl ~ liche positive ganze Zahlen. so wird ihm das Symbol ~ gegeben. welches in den Abbildungen benutzt ist. 2. Vergleich mit anderen Definitionen eines Verzweigungs punktes. Wir werden im folgenden stets. wenn die Elemente Funktionen sind. den Begriff der Analytizit~t als Glattheitsbegriff verwenden und 2 Teile S1' :31 einer analytischen Mannigfal tigkeit. die analytische Fortsetzungen voneinander sind. als zu einem Ast gehorig betrachten. Das hat unter anderem die Konsequenzen (zur Veranschaulichung werden ~ste in einer A-a-Ebene betrachtet): a) In Co11atz [76aJ. wurde ein Verzweigungspunkt als ge meinsamer Punkt von 3 ~sten definiert. also z.B. in Abb. 3a = = bei den Losungen: a O.A beliebig und A O. a > 0 wurden = die 3 von P (0.0) ausgehenden Halbstrahlen als ~ste ange sehen. w~hrend jetzt ein Verzweigungspunkt als gemeinsamer Punkt von 2 ~sten eingefuhrt wird. wobei im vorliegenden Fall die ganze Gerade a = 0 als ein Ast gez~hlt wird. b) Bei den Losungen a = O.A beliebig und A > O. a2 = A. Callatz 12 a beliebig zahlen die beiden Teile A = a 2 , a a und A = a 2 , ~ a ~ a nur als ein Ast, Abb. 3b. +a c) Bei einem Verzweigungsdiagramm wie in Abb. 3c mit den Losungen a + A = 2 und a = IAI, A beliebig, hat man zwei Verzwei gungspunkte Pi = (0,0) und P2 = (1,1), Abb. 3 Q. wahrend man verschiedener Ansicht sein *,,:, kann, ab der Punkt Pi = (0,0) verzweigungS-I-a f tAl a A '. punkt im Ublichen Sinne sein solI oder nicht. Die hier gegebene Definition von Verzwei- gungspunkten hat Vorteile und Nachteile ge- 3b 3c. genUber anderen Definitionen. Ein Nachteil besteht in der EinfUhrung eines geeigneten Glattheitsbegrif-· fes, der z.B. bei empirisch gegebenen Daten Sorgfalt er fordert. Als Vorteile fUhre ich an: n) Es konnen ganz andersartige Erscheinungen als sonst Ub lich erfaBt werden, vergl. Nr. 3. e) Es laBt sich fUr endliche Hypergraphen eine Klassifika tion durchfUhren, worauf schon hingewiesen wurde. Man hat in der Theorie der Graphen und Hypergraphen die Begriffe "Kette" und "Zyklus" und kann damit wie in Collatz [76J auch hier die Einteilung in Baume, Geflechte ("web", alle ltste haben Dimension 1 und es tritt mindestens 1 Zyklus auf), Ge spinste ("cocoon", ltste mit Dimension zwei)usw. durchfUhren. 3. Verzweigung bei einer geometrischen Eigenwertaufgabe FUr Polygone P mit doppelpunktfreiem Rande wird eine Trans formation T auf folgende Weise eingefUhrt: Bei Durchlaufen des Randes werden die Ecken mit Pi' P2,···, Pn bezeichnet = und Pj Pn+j fUr alle j gesetzt. Es seien alle n Ecken von einander verschieden. Die Transformation T ordnet dem Poly gon P ein Polygon Q = TP mit den Ecken Q1' Q2, •.. ,Qn zu, wobei Q der Umkreismittelpunkt des Dreiecks mit den Ecken j
The list of books you might like
