Numerik sehen und verstehen: Ein kombiniertes Lehr- und Arbeitsbuch mit Visualisierungssoftware PDF
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Kim Kose Rolf SchrOder Kornel Wieliczek Numerik sehen und verstehen Aus dem Programm ~-- Datenverarbeitung und Wissenschaft Dynamische Systeme und Fraktale Computergrafische Experimente mit Pascal von K-H. Becker und M. Dörfler Simulation neuronaler Netze von N. Hoffmann Simulation dynamischer Systeme Grundwissen, Methoden, Programme von H. Bossel Modellbildung und Simulation Konzepte, Verfahren und Modelle zum Verhalten dynamischer Systeme von H. Bossel Numerik sehen und verstehen Ein kombiniertes Lehr- und Arbeitsbuch mit Visualisierungssoftware von K Kose, R. Schröder und K Wieliczek Mathematik für Ingenieure 1+2 Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium von L. Papula Mathemathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler von L. Papula Numerical Methods von W. Boehm und H. Prautzsch Turbo Pascal Tools Einsatz von Turbo Pascal in der naturwissenschaftlichen Praxis von M. Weber ~-- Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH --------- Kim Kose Rolf Schröder Kornel Wieliczek Numerik sehen und verstehen Ein kombiniertes Lehr- und Arbeitsbuch mit Visualisierungssoftware 11 Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufuahme Kose, Kim: Numerik sehen und verstehen : ein kombiniertes Lehr-und Arbeitsbuch mit Visualisierungssoftware / Kim Kose; Rolf Schrooer ; Komel Wieliczek. -Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1992 NE: Schrooer, Rolf:; Wieliczek, Komel Das in diesem Buch enthaltene Programrn-Material ist mit keiner Verpf1ichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Der Autor und der Verlag iibemehmen infolgedessen keine Verantwortung und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung iibemehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programrn-Materials oder Teilen davon entsteht. Alle Rechte vorbehalten 10 Springer Fachmedien Wiesbaden, 1992 Urspriinglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft 1992 Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1992 Das Werk einschlieBlich aHer seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimrnungen des Verlags unzulăssig und strafbar. Das gilt insbesondere rur Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf săurefreiem Papier ISBN 978-3-322-87229-6 ISBN 978-3-322-87228-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-87228-9 Vorwort Das vorliegende Buch "Numerik sehen und verstehen" bildet mitsamtdem beili genden Programm MAY A * eine Einheit und wendet sich an Anfanger auf dem Gebiet der numerischen Mathematik. In seinen Grundziigen ist es aus Ubun gen zur Lehrveranstaltung "Numerische Mathematik fur Ingenieure I" sowie der Lehrveranstaltung "Praktische Mathematik fUr Ingenieure" an der TU Berlin hervorgegangen. Innerhalb dieser Lehrveranstaltungen begegneten wir immer wieder dem Phanomen, daB Studenten, die nicht Mathematik studieren, sondem nur als Grundlagenfach horen, den Methoden der numerischen Mathematik fremd gegeniiberstanden. Mit Hilfe von grafischen Darstellungen ist es allerdings moglich, das Verstandnis erheblich zu erleichtem. Dies gilt insbesondere fUr den Weg, der hier eingeschlagen wird. Das Buch "Numerik sehen und verstehen" ist, wie der Titel schon sagt, auf das visuelle Erfahren der numerischen Mathematik ausgerichtet. Die ma thematischen Einfiihrungen sind dabei kurz gefaBt und verzichten weitgehend auf Beweise, sind aber zum Rekapitulieren des jeweiligen Stoffes ausreichend. Den Hauptteil des Buches nehmen die zahlreichen Aufgaben mitsamt ihren Erlauterungen ein, wobei auf eine Mischung von Aufgaben aus Anwendungs gebieten und Aufgaben, anhand derer bestimmte mathematische Besonderheiten deutlich werden, geachtet wurde. Die Verfahrensweise der einzelnen numerischen Methoden kann eigenstan dig anhand von vielen Aufgaben erforscht werden. Dabei wird hier Wert auf eine transparente Darstellung der Verfahrensweisen sowie die Moglichkeit, un- * Der Name MAY A fUr das Programm ist einerseits eine Referenz an das Az tekenvolk gleichen Namens, dem hervorragende Mathematikerund Astronomen angehorten, andererseits die Abkiirzung fUr ein optimistisches "MAthematics? YeAh!" 2 Numerik sehen und verstehen terschiedliche Methoden zur selben Aufgabenstellung vergleichen zu kOnnen, gelegt. Die beiliegende Software MAY A ist somit also primar nicht lOsungsorientiert, obwohl sie aufgrund ihrer einfachen Bedienung fUr einfache Probleme sicher lich adaquat ist, sondem lemorientiert. Die Stoffauswahl umfaBt aIle wichtigen Grundgebiete der numerischen Mathematik mit Ausnahme von linearen Glei chungssystemen, deren LOsungsmethoden sich nur wenig zum Visualisieren eignen, sowie Matrizeneigenwertaufgaben, die eng an lineare Gleichungssysteme gekoppelt sind. Wie aIle Bucher ist auch dieses nicht aus dem Nichts entstanden. Es hat in dem Buch ''Numerik-Praktikum mit VISU" von Rolf Schroder (1990 im gleichen Verlag) seinen direkten Vorlliufer und ist in den mathematischen Einfiihrungen weitgehend identisch. Vollig neu geschrieben ist die Software. Der Aufgabenteil wurde wesentlich erweitert und ist nun so gestaltet, daB nicht nur die Bedienung und die Moglichkeiten der einzelnen Programmteile von vomherein deutlich sind, sondem auch die wichtigsten Ergebnisse festgehalten werden. Ein herzlicher Dank gebiihrt Herm Dr. A. Preusser, der das 3-D-Programm zur Verfiigung stellte und Herm Dipl.-Ing. R. Maurer, der die Hohenlinienroutine schrieb, sowie Herm Dipl.-Phys. A. Duda fUr das Korrekturlesen. Den Lesem und Nutzem dieses Buches wiinschen wir viel SpaB an der nu merischen Mathematik. Fiir Hinweiseund Zuschriften, die das Buch und etwaige Verbesserungen betreffen, sind wir dankbar. Dem Vieweg-Verlag danken wir fUr die stets gute Zusammenarbeit. Berlin im Jull 1992, die Autoren In ha Itsverzeich ni s Vorwort 1 Inhaltsverzeichnis 3 Einfiihrung 7 Systemkonfiguration 7 Installation 10 Bedienung 12 1 Funktionen 23 1.0 Einfiihrung: Normen 23 1.1 Kurven mehrerer Funktionen 25 1.2 Dreidimensionale Darstellung einer Funktion zweier Variabler 30 1.3 Hohenlinien einer Funktion zweier Variabler 34 1.4 Erlliuterungen und LOsungen zum ersten Kapitel 37 2 Interpolation 39 2.0 Einfiihrung: Polynom-, Spline-und Akima-Interpolation 40 2.1 Lagrangesche Darstellung des Interpolationspolynoms 55 2.2 Newtonsche Darstellung des Interpolationspolynoms 58 2.3 Stiitzstellenstrategien bei der Polynominterpolation 60 2.4 Fehlerfortpflanzung bei der Polynominterpolation 64 2.5 Vergleich verschiedener Interpolationsmethoden 65 2.6 Interpolation von Meawerten 70 2.7 Parameterdarstellung der Spline-und der Akima-Interpolation 73 2.8 Differentation von Interpolierenden 77 2.9 ErUiuterungen und Losungen zum 2. Kapitel 80 4 Numerik sehen und verstehen 3 Konstruktion von Kurven mit Bezier-Polynomen 87 3.0 Einfiihrung: Bemstein-Polynome und das Schema von de Casteljau 88 3.1 Schema von de Casteljau 94 3.2 Zusammengesetzte Bezier-Funktionen 96 3.3 Entwerfen mit Bezier-Kurven 101 3.4 ErUiuterungen und Losungen zum dritten Kapitel 102 4 Ausgleichsrechnung 107 4.0 Einfiihrung und Problemstellung 107 4.1 Polynomausgleich 109 4.2 Erlauterungen und LOsungen zum vierten Kapitel 112 5 Dif£erenzengleichungen und Chaos 113 5.0 Einfiihrung 113 5.1 Zweidimensionale Differenzengleichungen 116 5.2 Erlauterungen und Losungen zum fiinften Kapitel 121 6 Anfangswertau£gaben 123 6.0 Einfiihrung 123 6.1 LOsungsschar einer Differentialgleichung 129 6.2 Funktionsweiseverschiedener Verfahren 132 6.3 Stabilitat von Einschrittverfahren 138 6.4 Vergleich der Verfahren 141 6.5 Abhangigkeit der LOsung von den Anfangswerten 145 6.6 Zweidimensionale Anfangswertaufgaben 148 6.7 Einflu1S der Anfangswerte bei zweidimensionalen Differentialglei- chungen 155 6.8 Erlauterungen und LOsungen zum sechsten Kapitel 158 7 Nullstellenau£gaben 165 7.0 Einfiihrung: Verfahren fur eindimensionale Funktionen 165 7.1 Funktionsweise verschiedener Verfahren 171 7.2 Fixpunktiteration und Steffensen-Verfahren 178 7.3 Erlliuterungen und LOsungen zum siebten Kapitel 187 8 Nichtlineare Gleichungssysteme 189 8.0 Einfiihrung: Losungsverfahren fur nichtlineare Gleichungssy- sterne 190 Inhaltsverzeichnis 5 Ho 8.1 Modifiziertes Newton-Verfahren/ Gradientenverfahren im henliniendiagramm 196 8.2 Iterationsfolge verschiedener Verfahren im Vergleich 200 8.3 Erliiuterungen und LOsungen zum achten Kapitel 205 Literaturverzeichnis 209 Symbolverzeichnis 213 Stichwortverzeichnis 215 Einfuhrung Dieses Buch ist im Zusammenhang mit der Software sowohl fiir den Einsatz in der Lehre als auch fiir das eigenstandige Arbeiten und zum LOsen einfache rer numerischer Aufgaben geeignet. In einer Vorlesung bietet es sich an, mit einer geeigneten Projektion zu arbeiten, um numerische Verfahren lebendig zu erlautem. Vorlesungsbegleitend kann das Buch von Studenten genutzt werden, um die Funktionsweise (und auch Tiicken) numerischer Verfahren durch Expe rimentieren zu verstehen. Da es Lemenden in der Regel schwer fa lit, hierfiir geeignete Aufgaben zu finden, besteht der Hauptteil des Buches aus kommen tierten Aufgaben. Aber auch einfache numerische Aufgaben, wie die Berechnung von Ausgleichspolynomen fiir MeiSwerte, konnen mit Hilfe des Programmes erledigt werden, wobei nicht nur die Koeffizienten ausgegeben werden, son dem auch immer die Ersteliung einer POS1SCRIPT-Datei der Grafik moglich ist, die in andere Dokumente eingebunden werden kann. System konfigu ration Mit diesem Buch haben Sie gleichzeitig eine HD-Floppy (5! Zoll) mit der Software MA YA erworben. Dieses Programm wird ihnen als ausfiihrbares File geliefert, es kann somit direkt von der Floppy ohne irgendeine Installation gestartet werden. Diesen Weg sollten Sie allerdings nur wahlen, wenn ihnen a) kein Festplattenplatz oder iiberhaupt keine Festplatte zur Verfiigung steht oder b) Sie den minimalen Zeitaufwand, den die Installation von MAY A erfordert, nicht eriibrigen konnen. MAY A ist sowohl fiir Einzelplatzrechner als auch fiir den Netzwerkbetrieb, wie er z.B. in den CIP-Pools fiir die Lehre anzutreffen ist, vorbereitet. Die mi nimalen, empfohlenen und idealen Systemkonfigurationen fiir die Nutzung von MAY A sind im folgenden zusammengefaiSt. Dabei wird nur auf den stand alone-Betrieb eingegangen, da davon ausgegangen werden kann, daiS Netzwerke
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