NÜMERİK ANALİZ Non-Lineer Denklem Takımının Çözümü Non-Lineer Denklem Takımının ...

12 Pages·2017·1.53 MB·Turkish

12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü
• İki veya daha fazla doğrusal olmayan
eşitliğe sahip sistemlerin eş zamanlı
NÜMERİK ANALİZ olarak çözülmeleri gerekir.
• n bilinmeyenli non-lineer denklem takımı:
Bölüm 6 f (x ,x ,…,x )=0
1 1 2 n
Non-Lineer Denklem Takımının Çözümü
f (x ,x ,…,x )=0
Yrd. Doç. Dr. Hatice ÇITAKOĞLU 2 1 2 n
…
2016
f (x ,x ,…,x )=0
n 1 2 n
1 2
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• İki veya daha fazla doğrusal olmayan • Örneğin,
eşitliğe sahip sistemlerin eş zamanlı
olarak çözülmeleri gerekir.
2x 3+3x x =5
1 1 2
• n bilinmeyenli non-lineer denklem takımı:
2x +5x 2x =8
2 1 2
f (x ,x ,…,x )=0
1 1 2 n
f (x ,x ,…,x )=0
2 1 2 n f (x x )=2x 3+3x x -5=0,
1 1, 2 1 1 2
…
f (x x )=2x +5x 2x -8=0
2 1, 2 2 1 2
f (x ,x ,…,x )=0
n 1 2 n
3 4
1
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
Non-Lineer denklem takımının çözümünde
• Sistemin çözümü, bütün eşitlikleri
(f1(x1,x2), f2(x1,x2)) aynı anda sıfır yapan • Newton Yöntemi,
x vex değerleridir.
1 2 • Sabit Noktalı İterasyon,
• Dik İniş Yöntemi
kullanılır.
5 6
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Newton Yöntemi: • Newton Yöntemi:
• Non-lineer denklem takımı çözünde • Newton Yönteminde Taylor Serisinden
kullanılan Newton Yöntemi, daha önce yararlanılır:
gösterilen tek bir lineer eşitliğin • Taylor Serisi:
çözümünde kullanılan yöntemin biraz
x x 2 x x 3
değiştirilmiş halidir. f 0 f x x  f'  1 0  f'' 1 0  f'''...
1 0 1 0 0 0 0
2! 3!
0 f0hf0'h22f0''h63f0'''h244f0''''....
7 8
2
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• İki boyutlu LNDT Çözümünde Newton • İki boyutlu LNDT Çözümünde Newton
Yöntemi: Yöntemi:
• x ve x gibi iki bilinmeyenli, non-lineer bir • Taylor serisi iki bilinmeyenli denklem
1 2
denklem takımı aşağıdaki gibi gösterilir: takımı için yazılırsa;
f (x x )=0
1 1, 2
f h f' h f' 0
f (x x )=0 10 1 110 2 120
2 1, 2
• Sistemin çözülmesi için x1 ve x2 tahmini f20h1f2'10h2f2'200
çözümlerinin problem başında belli olması
gerekir.
9 10
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• İki boyutlu LNDT Çözümünde Newton • İki boyutlu LNDT Çözümünde Newton
Yöntemi: Yöntemi:
f10h1f1'10h2f1'20 0 h1f1'10h2f1'20f10 h1 ve h2 bilinmeyenlerinin çözülmesi için
f20h1f2'10h2f2'200 h1f2'10h2f2'20f20 Cramer Kuralı uygulanır.
ff12''1100 ff12''2200hh12 ff2100 İlfk1'1 0olarf1'a20k matrisinin determinantı alınır.
x2  x1h1 f' f' 
 210 220
y  y h
2 1 2
11 12
3
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• İki boyutlu LNDT Çözümünde Newton • İki boyutlu LNDT Çözümünde Newton
Yöntemi: Yöntemi:
İkinci adımda, Üçüncü adımda,
h ve h bilinmeyenleri çözülür: h ve h bilinmeyenleri
1 2 1 2
'
 f f
10 12 x2 x1h1
 f f'  f  f'  f  f'
h1 20 22  10 22 20 12 y2  y1h2
detA detA
' eşitliklerinde yerine konur.
f  f
11 10
f'  f  f  f'  f  f'
h  21 20  10 21 20 11
2 13 14
detA detA
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• İki boyutlu LNDT Çözümünde Newton • Örnek:
Yöntemi: 2
2x x x lnx 9.3650
1 2 1 2
Dördüncü adımda,
2.6
ex1x2  1.90
2
x
2
x x
RF  2 1  -4 < x1 < -0.5
x
2 2 < x < 8
2
aralığında non-lineer denklem sistemlerinin
Şartı sağlanana kadar iterasyona devam
kökünü bulunuz.
edilir.
15 16
4
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Çözüm: x ve x ye göre fonksiyonların • Çözüm:
1 2
türevi alınır. • Başlangıç değeri belirlenir.
4(0.5)
x  2.25
1
f1'1ddxf1 2x22x1lnx2 f1'2  ddxf1 2x1 xx12 282
1 2 2 x  5
2
2
df df 2.6
f'  2 ex1x2 f'  2 2ex1x  -2.25 ve 5 fonksiyonda yerine konur:
21 dx1 2 22 dx2 2 x22 f 22.2552.252ln59.3654.987
1
2.6
f e2.2552  1.91.255
2
5
17 18
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Çözüm: -2.25 ve 5 türev • Çözüm: Birinci İterasyon:
ff1o'1nks2iy5on2la(rı2n.2d5a) ylne5rin2.e7 5k8onur. ff12''1100 ff12''2200hh12 ff2100
f' 22.252.252 3.4875 2.758 3.4875h1 4.987 
12      
5 2.635 0.950  h2 1.255
' 2.25 2
f e 5 2.635
21 Katsayılar matrisinin determinantı alınır:
' 2.25 2.6
f22 2e 5 52 0.950 detA 2.758 3.4875 11.80913
2.635 0.950
19 20
5
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Çözüm: • Çözüm:
h ve h değerleri hesaplanır: Hesaplanan h ve h değerleri aşağıdaki
1 2 1 2
eşitliklerdeki uygun yerlere konur:
4.987 3.4875
1.255 0.950
h1 11.81 0.030576 x12 x1h12.250.030576 2.21942
2.758 4.987 x  x h 51.405853.594148
21 2 2
2.635 1.255
h  1.40585
2
11.81
21 22
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Son olarak da Rölatif hatalar hesaplanır: • Çözüm:
2.252.21
RF  1.4102 103 x1 x2 f1 f2 f11' f12' f21' f22' D h1 h2
1
2.21 -2.25 5 -4.987 1.255 2.758 -3.487 2.635 0.950 11.81 0.034 -1.406
-2.22 3.594 -0.287 0.227 1.510 -3.068 1.404 0.580 5.18 -0.102 -0.144
53.594
RF  3.9101103 -2.34 3.450 0.020 0.021 1.150 -3.081 1.168 0.458 4.12 -0.018 -3.252
2
3.594
2.222.34
RF  4.8102 103
1
• Hata değerleri şartı sağlanmadığından 2.34
iterasyona devam edilir:
3.5943.450
RF  4.2102 103
2
3.450
23 24
6
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü
• MATLABTA ÇÖZÜMÜ:
25 26
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton • Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton
Yöntemi: Yöntemi:
• Taylor serisi üç bilinmeyenli denklem • Aşağıdaki denklem sistemini çözmek için
takımı için yazılırsa; Cramer Kuralı uygulanır.
f10h1 f1'10 h2 f1'20 h3 f1'30 0 f1'1 f1'2 f1'3 h1  f1
 
' ' ' ' ' '    
f20h1 f210 h2 f220 h3 f230 0 f21 f22 f23h2 f2
f h  f' h  f' h  f' 0 f3'1 f3'2 f3'3 h3  f3
30 1 310 2 320 3 330
27 28
7
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton • Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton
Yöntemi: Yöntemi:
• Aşağıdaki denklem sistemini çözmek için • h ,h ve h bilinmeyenleri çözüldükten
1 2 3
Cramer Kuralı uygulanır. sonra
x  x h
f1'1 f1'2 f1'3 h1  f1 2 1 1
f2'1 f2'2 f2'3h2 f2 y2  y1h2
f3'1 f3'2 f3'3 h3  f3 z2  z1h3
eşitliklerinde yerine konur.
29 30
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton • Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton
Yöntemi: Yöntemi:
Dördüncü adımda, Örnek: 2x2y5y2zy36
3x4xy2z238
RF  x2x1  3yz4z2xy50
x
2
0<x<1.5, 2<y<3, -5<z<-4 aralığında non-
lineer denklem sistemlerinin kökünü
Şartı sağlanana kadar iterasyona devam
bulunuz.
edilir.
31 32
8
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton • Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton Yöntemi
Yöntemi: • Çözüm:Başlangıç değeri belirlenir.
Çözüm: 3 fonksiyon; x, y ve z
01.5 23 5(4)
x 0.75 y 2.5 z 4.5
değişkenlerine göre ayrı ayrı türevi alınır. 2 2 2
f1'14xy f2'134y2 f3'1y *0.75, 2.5 ve -4.5 fonksiyonda yerine konur:
f1'2 2x210yz f2'28xy f3'23zx f120.7522.552.524.52.5369.31
f1'3y f2'32z f3'33y8z f230.7540.752.524.52383.25
f 32.54.544.520.752.5500.875
3
33 34
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton • Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton
Yöntemi: Yöntemi:
Çözüm:0.75, 2.5 ve -4.5 fonksiyonların Çözüm: Birinci İterasyon
türevlerinde yerine konur: 7.5 30,62 2.5 h1 9.31
     
f1'14xy7.5 f2'134y228 f3'12.5 28 15 9 h23.25
f' 2x210yz30.62 f' 8xy15 f' 3zx12.75 2.5 12,75 28.5 h3 0.875
12 22 32
f1'32.5 f2'3 2z9 f3'33y8z28.5 Lineer denklem takımı kuralları uygulanarak h1,
h ve h çözülür.
2 3
35 36
9
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Non-Lineer Denklem Takımının Non-Lineer Denklem Takımının
Çözümü Çözümü
• Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton • Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton
Yöntemi: Yöntemi:
Çözüm: Hata değerleri kontrol edilir.
Çözüm: h =0.0783, h =-0.3170, h =0.1192
1 2 3
bulunur.
0.82830.75
RF1 0.0945
x x h 0.750.07830.8283 0.8283 Hata değerleri
2 1 1
0.001 den büyük
y y h 2.50.31702.183 2.12832.5
2 1 2 RF2 0.1452 olduğu için
2.183
z z h 4.50.11924.3808 iterasyonlara
2 1 3
4.5(4.3808)
RF3 0.0272 devam edilir.
4.38083
37 38
f1 9.31 0.39 0.00
Non-Lineer Denklem Takımının
f2 3.25 -0.54 -0.04
f3 -0.88 -0.12 0.00 Çözümü
f11' 7.50 7.23 7.52
1.İtearasyon f12' 30.63 27.58 27.47 • Üç boyutlu LNDT Çözümünde Newton Yöntemi
f13' -2.50 -2.18 -2.16 - MATLABTA ÇÖZÜMÜ:
f21' 28.00 22.06 21.63
2.İtearasyon f22’ 15.00 14.46 15.05
f23’ -9.00 -8.76 -8.74
f31’ 2.50 2.18 2.16
f32’ -12.75 -12.31 -12.24
f33’ -28.50 -28.50 -28.49 3.İtearasyon
h1 7.83E-02 4.32E-02 2.68E-03
h2 -3.17E-01 -2.48E-02 -7.45E-04
h3 1.19E-01 1.01E-02 3.71E-04
x 0.828 0.872 0.874
y 2.183 2.158 2.157
z -4.381 -4.371 -4.370 39 40
10