NÜMERİK ANALİZ Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel ...

15 Pages·2017·1.64 MB·Turkish

12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Adi Diferansiyel Denklemler
• Mühendislik sistemlerinin analizinde ve
uygulamalı disiplinlerde türev içeren
NÜMERİK ANALİZ diferansiyel denklemlerin analitik
çözümü büyük öneme sahiptir.
Adi Diferansiyel Denklemler
• Sınır değer ve/veya başlangıç değer
Yrd. Doç. Dr. Hatice ÇITAKOĞLU
formunda olan bu denklemlerin analitik
2016
çözümü çoğu durumda mümkün değildir.
1 2
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• İstenilen yaklaşık çözümler elde etmek • Bu denklemleri incelemenin başlıca üç
için geliştirilen sayısal yöntemlerin birini amacı vardır:
veya daha çoğunu birbirine bağlayan
1-Fiziksel bir olayın tanımlanmasını
denkleme ‘‘diferansiyel denklem’’ denir.
sağlayan diferansiyel denklemin bulunması
2- Diferansiyel denklemin analitik veya
sayısal çözümünün elde edilmesi
3- Elde edilen çözümün yorumlanması
3 4
1
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• Yalnız bir bağımsız değişkene göre türevi • Örnek:
kapsayan bir diferansiyel denkleme ‘‘ adi y y sinx üçüncü dereceden lineer ADD
diferansiyel denklem’’ denir.
yVI  yy y2  x2
dy
y
dördüncü dereceden nonlineer ADD
dx
yx2yex üçüncü dereceden lineer ADD
• İki veya daha fazla değişkene göre
türevleri kapsayan diferansiyel denkleme ysinx yylnx
‘‘kısmi diferansiyel denklem’’ denir. ikinci dereceden nonlineer ADD
5 6
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• Mühendislik Uygulamalarında • Mühendislik Uygulamalarında
Karşılaşılabilecek örnekler: Karşılaşılabilecek örnekler:
k
Üniform yük
x
y(t)
y=y(x)
F kuvveti
y

7 8
2
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• ADD çözümünde kullanılan yöntemler: Sonlu farklar yöntemiyle sınır değer
problemi:
1. Runge-Kutta Yöntemleri
• Adi diferansiyel denklemlerin çözümünde
a. Euler Yöntemi
yardımcı koşullar verilir.
b. Heun Yöntemi • Bu koşullar, denklemi çözerken ortaya
çıkan integralin sabitlerini hesaplamak için
2. Katılık/çok adımlı yöntemler
kullanılır.
3. Sonlu farklar yöntemiyle sınır değer
• Koşullar, bağımsız değişkenin aynı değeri
problemi
için tanımlanmışsa ‘‘başlangıç değer
problemi’’ olarak ifade edilir.
9 10
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
Sonlu farklar yöntemiyle sınır değer Sonlu farklar yöntemiyle sınır değer
problemi:
problemi:
• Koşulların bağımsız değişkenin bir tek Ta
noktasında değil de farklı noktalarında
T T
bilindiği uygulamalarda mevcuttur. 1 2
• Bu değerler çoğunlukla bir sistemin X=0 T X=L
a
sınırlarında tanımlı olduğu için, bu
problemlere ‘‘sınır değer problemi’’ denir. • T > T olması durumunda T >T
1 2 2 a
11 12
3
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
Sonlu farklar yöntemiyle sınır değer Sonlu farklar yöntemiyle sınır değer
problemi:
problemi:
• Tahmin yöntemine alternatif olan en
• Bu bölümde ADD çözümü için sayısal
yaygın yöntem onlu fark yöntemidir.
türev formülleri kullanılır.
• Bu tekniklerde, sonlu bölünmüş farklar
• Sayısal türev formülü yardımıyla elde
orijinal denklemdeki türev kullanılır.
edilen eşitlikler, Lineer Denklem Takımı
• Böylece, doğrusal bir diferansiyel
(MATRİSLER) ile çözülür.
denklem, eşzamanlı cebirsel denklem
setine dönüştürülür.
13 14
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• Örnek: y'' = y' – 3x2 + 6x diferansiyel
Sonlu farklar yöntemiyle sınır değer
denkleminde y nin x bağımsız
problemi:
değişkeninde çözülmesi için Sonlu
• Merkez sonlu bölünmüş fark formülleri Farklar Yöntemini kullanarak
ile türev: diferansiyel denklemin için gerekli olan
denklemi oluşturunuz.
y y
y ' i1 i1
i • ∆x=h=0.25
2h
• Merkezi farklar formülleri:
y 2y  y
y''  i1 i i1
i h2 y ' yi1yi1 y''  yi12yi yi1
i 2h i h2
15 16
4
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
y''  y' 3x2 6x
i i • Örnek: y'' = y' – 3x2 + 6x diferansiyel
• Merkez fark formüllerini, diferansiyel denkleminin ilgi alanı aşağıdaki gibidir:
denklemde yerine yazılır: • 3≤x≤4, y =y(x=3)=6.9145, y =y(x=4)=9.4018,
0 4
y 2y  y y y ∆x=h=0.25
i1 i i1 i1 i13x26x
h2 2h i i
• Bu problemde, x=3.25, x=3.5, ve x= 3.75 teki y
• h=0.25 olduğuna göre
değerlerini Sonlu Farklar Yöntemiyle çözümü
16y 2y  y 2y  y 3x26x
i1 i i1 i1 i1 i i için gerekli denklem takımını oluşturunuz.
• Eşitlik düzenlenirse • (Lineer Denklem Takımı)
2
18y 32y 14y 3x 6x
i1 i i1 i i
17 18
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• Bu diferansiyel denklemi için geliştirilen
eşitlik yardımıyla çözüm yapılır:
2
18y 32y 14y 3x 6x
i1 i i1 i i
2
18y 32y 14y 3x 6x
i1 i i1 i i • i=1 alınırsa
• 0 → x =x =3.00 → y (x=3)= 6.9145 18y 32y 14y 3x26x
i 0 0 0 1 2 1 1
• 1 → x =x =3.25 • x =3.25 ise
i+1 1 1
• 2 → xi+2 =x2=3.50 18y032y114y2 33.25263.25
• 3 → x =x =3.75
i+3 3
18y 32y 14y 12.1875
• 4 → x =x =4.00 → y (x=4)= 9.4018 0 1 2
i+4 4 4
19 20
5
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• y (x=3)= 6.9145 aşağıdaki eşitlikte 18y 32y 14y 3x26x
0 i1 i i1 i i
yerine yazılırsa • i=2 alınırsa
2
18y032y114y212.1875 18y132y214y3 3x2 6x2
• x =3.50 ise
186.914532y 14y 12.1875 2
1 2
18y 32y 14y 33.5263.5
1 2 3
32y 14y 136.6485
1 2
18y 32y 14y 15.75
1 2 3
21 22
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
2
18yi132yi14yi13xi 6xi • y (x=4)= 9.4018 aşağıdaki eşitlikte
4
• i=3 alınırsa yerine yazılırsa
18y 32y 14y 3x26x
2 3 4 3 3 18y 32y 14y 19.6875
2 3 4
• x =3.75 ise
1
18y 32y 149.401819.6875
2 3
2
18y 32y 14y 33.75 63.75
2 3 4
18y 32y 151.3127
2 3
18y 32y 14y 19.6875
2 3 4
23 24
6
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• O halde, oluşan lineer denklem takımı: • Örnek: y’’ + x2∙y’ – x∙y = x∙ln(x)
diferansiyel denklemine ait sınır
değerleri aşağıdaki gibidir:
32 14 0  y1 136.6485
      • y’(x=1) = 1 ve y(x=2) = 2
18 32 14  y  15.75
   2  
 0 18 32 y3 151.3127 • 1<x<2, h=0.25 olduğuna göre Sonlu
Farklar yöntemini kullanarak
diferansiyel denklemini sayısal olarak
çözünüz.
y y y 2y y
y' i1 i1 y i1 i i1
2h h2
25 26
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
y ''x2y ' x lnx x y
i i i i i i i • Eşitlik düzenlenirse
• Diferansiyel denklem takımında merkez 162x2y 32y 162x2y x lnxx y
i i1 i i i1 i i i i
fark formülleri yerine yazılır:
• -1→ x =x =1.00
i-1 -1
yi12yi yi1x2yi1yi1 x lnx x y • 0 → xi =x0=1.00 → y’(x=1) = 1
h2 i 2h i i i i • 1 → x =x =1.25
i+1 1
• h=0.25 olduğuna göre • 2 → x =x =1.50
i+2 2
• 3 → x =x =1.75
16y 2y y 2x2y y x lnxx y i+3 3
i1 i i1 i i1 i1 i i i i
• 4 → x =x =2.00 → y (x=2)= 2
i+4 4 4
27 28
7
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
   
162xi2 yi132yi162xi2 yi1xilnxixiyi 12.875y033.25y119.125y2 0.27829
• i=1 alınırsa • Eşitlikte y değişkenini y cinsinden
0 1
162x2y 32y 162x2y x lnx x y ifade etmek için ileriye doğru sonlu
1 0 1 1 2 1 1 1 1
bölünmüş fark formülü kullanılır:
• x =1.25 ise
1 y'  yi1yi
i
    h
1621.252 y 32y 1621.252 y 1.25ln1.251.25y
0 1 2 1 • i=0
y  y y  y
12.875 y 33.25y 19.125 y  0.27829 y'  1 0 1 1 0
0 1 2 1
h 0.25
0.25 y  y
1 0
29 30
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
y  y 0.25    
0 1 162x2 y 32y 162x2 y x lnxx y
i i1 i i i1 i i i i
12.875y 33.25y 19.125y 0.27829 • i=2 alınırsa
0 1 2
   
• Eşitlikte y değişkeni yerine y  0 . 2 5 162x 2 y 32y  162x 2 y x lnx x y
0 1 2 1 2 2 3 2 2 2 2
konursa • x =1.50 ise
2
12.875y 0.2533.25y 19.125y 0.27829
1 1 2    
1621.52 y 32y 1621.52 y 1.5ln1.51.5y
1 2 3 2
12.875y 12.8750.2533.25y 19.125y 0.27829
1 1 2
11.5y 33.5y 20.5y 0.608198
1 2 3
20.375y 19.125y 3.21875
1 2
31 32
8
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
   
162xi2 yi132yi162xi2 yi1xilnxixiyi 9.875y233.75y322.125y40.979328
• i=3 alınırsa • y(x=2) =2 yukarıdaki eşitlikte yerine
   
162x 2 y 32y 162x 2 y x lnx x y yazılırsa
3 2 3 3 4 3 3 3 3
• x =1.75 ise 9.875y 33.75y 22.12520.979328
3 2 3
1621.752y 32y 1621752y 1.75ln1.751.75y 9.875y233.75y343.2707
2 3 4 3
9.875y 33.75y 22.125y 0.979328
2 3 4
33 34
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• Aşağıdaki sayısal türev formülleri elde • O halde, oluşan lineer denklem takımı:
edilmiştir:
20.375 19.125 0  y   3.21875 
1
20.375y119.125y2 3.21875  11.5 33.5 20.5 y  0.608198
   2  
11.5y133.5y220.5y30.608198  0 9.875 33.75 y3 43.2707
9.875y 33.75y 43.2707
2 3
35 36
9
12.02.2018
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• Oluşan lineer denklem takımının çözümü: • Oluşan lineer denklem takımının çözümü:
20.375 19.125 0  y   3.21875 
1
 11.5 33.5 20.5 y  0.608198 • (1/11.5)*S →S
   2   2 2
 0 9.875 33.75 y3 43.2707
• (1/9.875)*S →S
3 3
20.375 19.125 0  y   3.21875 
1
     
1 2.9130 1.7826  y  0.0529
Sıfır yapalım    2  
 0 1 3.4177 y3 4.38184
37 38
Adi Diferansiyel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler
• Oluşan lineer denklem takımının çözümü: • Oluşan lineer denklem takımının çözümü:
• S +20.375*S →S • S +19.125*S →S
1 2 2 1 3 3
20.375 19.125 0  y1  3.21875  20.375 19.125 0  y1  3.21875 
           
0 40.2283 36.3206  y  4.296318 0 40.2283 36.3206  y  4.296318
   2      2  
 0 1 3.4177 y3 4.38184  0 0 101.168 y3 171.978
39 40
10