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Numerical Shape Optimization in Structural Acoustics (Numerische Formoptimierung in der Strukturakustik) VomFachbereichMaschinenbau anderTechnischenUniversita¨tDarmstadt zurErlangungdesGradeseines Doktor-Ingenieurs(Dr.-Ing.) genehmigte Dissertation vorgelegtvon Dipl.-Ing.Joachim Bo¨s,M.S./SUNY ausFulda Berichterstatter: Prof.em.Dr.-Ing.Dr.-Ing.E.h.FranzGustavKollmann Mitberichterstatter: Prof.Dr.rer.nat.MichaelScha¨fer TagderEinreichung: 27. Januar2004 Tagdermu¨ndlichenPru¨fung: 20. April2004 Darmstadt2004 D17 Numerical Shape Optimization in Structural Acoustics Dissertation approvedbythe FacultyoftheDepartmentofMechanicalEngineering, DarmstadtUniversityofTechnology,Germany, infulfillmentoftherequirementsforthedegreeof Ph.D.inMechanicalEngineering(Dr.-Ing.) by Dipl.-Ing.Joachim Bo¨s,M.S./SUNY fromFulda,Germany Advisor: Prof.em.Dr.-Ing.Dr.-Ing.E.h.FranzGustavKollmann Co-advisor: Prof.Dr.rer.nat.MichaelScha¨fer Dateofsubmission: January27,2004 Dateofdefense: April20,2004 Darmstadt2004 D17 Forschungsberichte Mechatronik & Maschinenakustik Joachim Bös Numerical Shape Optimization in Structural Acoustics . D 17 (Diss. TU Darmstadt) Shaker Verlag Aachen 2004 Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data is available in the internet at http://dnb.ddb.de. Zugl.: Darmstadt, Techn. Univ., Diss., 2004 . Umschlaggestaltung Veronika Monz © TU Darmstadt Fachgebiet Mechatronik und Maschinenakustik Copyright Shaker Verlag 2004 All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior permission of the publishers. Printed in Germany. ISBN 3-8322-2926-4 ISSN 1616-5470 Shaker Verlag GmbH • P.O. BOX 101818 • D-52018 Aachen Phone: 0049/2407/9596-0 • Telefax: 0049/2407/9596-9 Internet: www.shaker.de • eMail: [email protected] The scientist describes what is; the engineer creates what never was.∗ TheodorevonKa´rmań (1881–1963) ∗quotedin: A.L.Mackay,ADictionaryofScientificQuotations(AdamHilger,Bristol,1991) Abstract Thisdissertationpresentsanumericalmethodtooptimizethethicknessdistributionofthree- dimensionalstructureswithrespecttovariousvibrationalandstructuralproperties. Acombi- nationofacommerciallyavailablefiniteelementsoftwarepackageandadditionaluser-written programs is used to modify the shape (but not the number of nodes and elements) of finite elementmodelsofthestructurestobeoptimized. Thisisdoneiterativelyandwithoutmanual interventionsoastoachievesignificantimprovementsoftheobjectivefunction. Theoptimiza- tionprocesscontinuesautomaticallyuntilsomepredefinedconvergencecriterionismetoruntil someprespecifiedmaximumnumberofiterationsisreached. The design variables are the structure’s local thickness values at selected surface nodes. Possibleobjectivesoftheoptimizationincludetheminimizationofthemeanlevelofstructure bornesound(ameasureofthevibrationalsensitivityofastructure), theminimizationofthe structuralmass,themaximizationofthefundamentalfrequency,andthemaximizationofthe differencebetweentwoarbitrarilychosennaturalfrequencies. Inaddition,suitableconstraints mustbespecifiedthatrestrictthenumberofacceptablesolutionstotheoptimizationproblem. Possible candidates for constraints are the structural mass, the mean levelof structure borne sound, and the fundamental frequency. Furthermore, the allowable range of design variable valuesisrestrictedbyprescribedupperandlowerlimits. Theoptimizationprocedureistested onthefiniteelementmodelsoffourdifferentthree-dimensionalstructuresmadeofsteel,namely, arectangularplate,tworectangularplatesjoinedat90◦,ahalf-cylinder,andagearbox. Twodifferentderivative-freeoptimizationalgorithmsaretestedagainsteachother,namely, thedeterministicCOBYLAalgorithmandthegeneticalgorithmPIKAIA,whichcontainsvar- ious stochastic features. Depending on the structure to be optimized and on the constraints, COBYLA achieves objective function improvements of up to 10.2 dB (−90.5%) for the mini- mizationofthemeanlevelofstructurebornesound,upto44.9%forthemassminimization,up to91.4%forthefundamentalfrequencymaximization,andupto2440%forthemaximization ofthedifferencebetweentwonaturalfrequencies. AlthoughCOBYLAisonlyalocaloptimi- zationalgorithm,i.e.,notdesignedtofindtheglobaloptimum,itturnsouttobemuchmore effectiveandefficientthantheglobalPIKAIAalgorithm,which(ingeneral)takesmanymore iterationstoachieveinferiorresults. However,PIKAIAenablestheobjectivefunctionvaluesof severaldifferentdesignproposalstobecalculatedsimultaneouslyonseveralcomputers,whereas COBYLAusesasequentialoptimizationstrategy. The computation time required to obtain an optimized design depends not only on the size of the finite element model and the corresponding computation time consumed for every single iteration (each iteration includes a finite element analysis), but also on the number of designvariables,whichinfluencesthenecessarynumberofiterations. Therefore,anapproach to reduce the number of design variables by means of spline functions is presented. A spline surface,definedbyjustasmallnumberofkeypointsthatserveasdesignvariables,isusedto model and vary the thickness distribution of the structure. The optimization results indicate thatthereseemstobeaproportionalrelationbetweenthenumberofdesignvariablesandthe numberofiterations(andthereforecomputationtime). Forexample,areductionofthenumber ofdesignvariablesby90%bymeansofsplinesyieldsacomputationtimedecreaseof88%. Significantcomputationtimesavingscanalsobeachievedbyterminatingtheoptimization procedurepriortoreachingtheformalmathematicalconvergencecriterion. Iftinyconstraint violationsoftheorderof0.01%aredeemedacceptable,thecomputationtimecanbereduced byupto78%. i Zusammenfassung In dieser Arbeit wird ein Verfahren zur numerischen Optimierung der Wandsta¨rkeverteilung dreidimensionalerStrukturenbezu¨glichverschiedenerSchwingungs-undStruktureigenschaften vorgestellt. Ein kommerzielles Finite-Elemente-Programm wird mit selbstgeschriebenen Pro- grammenkombiniert, umdieGeometriederzuoptimierendenFinite-Elemente-Modelleitera- tivundohneaüßereEingriffesozuvera¨ndern, dassdieZielfunktiondeutlichverbessertwird. DieserautomatischeOptimierungsprozesslaüftsolangeweiter,bisentwedereinvorgegebenes KonvergenzkriteriumodereinevorgegebenemaximaleAnzahlvonIterationenerreichtist. EntwurfsvariablensinddielokalenWandsta¨rkenanausgewa¨hltenOberfla¨chenknoten. Mög- liche Zielfunktionen sind die Minimierung des mittleren Ko¨rperschallpegels (ein Maß fu¨r die Schwingfreudigkeit einer Struktur) oder der Strukturmasse oder die Maximierung der ersten EigenfrequenzoderdesAbstandeszwischenzweibeliebigenEigenfrequenzen. Zusätzlichmu¨s- sengeeigneteRestriktionenfestgelegtwerden,diedieAnzahlmo¨glicherLo¨sungendesOptimie- rungsproblemseinschra¨nken. Restriktionenko¨nnendermittlereKo¨rperschallpegel,dieStruk- turmasse oder die erste Eigenfrequenz der Struktur sein. Desweiteren wird der zula¨ssige Be- reichderEntwurfsvariablenaufdasIntervallzwischeneinemvorgegebenenMindest-undeinem vorgegebenenHo¨chstwertbegrenzt. DasOptimierungsverfahrenwirdandenFinite-Elemente- Modellen von vier dreidimensionalen Strukturen aus Stahl, na¨mlich an einer Rechteckplatte, einemL-förmigenPlattenstoß,einemHalbzylindersowieeinemGetriebegehaüse,erprobt. ZweiverschiedeneableitungsfreieOptimierungsalgorithmenwerdenmiteinanderverglichen, na¨mlichderdeterministischeCOBYLA-AlgorithmusunddergenetischePIKAIA-Algorithmus, der einige stochastische Elemente enthält. Je nach zu optimierender Struktur und den Rest- riktionen erzielt COBYLA Zielfunktionsverbesserungen von bis zu 10,2 dB (−90,5%) bei der MinimierungdesmittlerenKo¨rperschallpegels,biszu44,9%beiderMassenminimierung,biszu 91,4% beiderMaximierungdererstenEigenfrequenzundbiszu2440% beiderMaximierung des Abstandes zwischen zwei beliebigen Eigenfrequenzen. Dabei zeigt sich, dass der lokale COBYLA-AlgorithmusinderRegelsehrvieleffektiverundeffizienterarbeitetalsderglobale PIKAIA-Algorithmus,dervielmehrIterationenbeno¨tigtundletztlichdochnureinschlechteres Ergebnis erzielt als COBYLA. PIKAIA bietet jedoch die Mo¨glichkeit, die Zielfunktionen von mehrerenmodifiziertenEntwu¨rfenparallelaufverschiedenenComputernauszuwerten,wa¨hrend COBYLAeinestrengsequentielleOptimierungsstrategiedarstellt. Die Rechenzeit, die fu¨r eine Optimierung beno¨tigt wird, ist nicht nur von der Gro¨ße des Finite-Elemente-ModellsundderdamitverbundenenRechenzeitjeIterationabha¨ngig,dajede Iteration eine Finite-Elemente-Berechnung erfordert, sondern auch von der Anzahl der Ent- wurfsvariablen, die die Anzahl der beno¨tigten Iterationen beeinflusst. Deshalb wird in dieser ArbeitaucheinAnsatzvorgestellt,dieEntwurfsvariablenanzahlmitHilfevonSplinefunktionen zureduzieren. DabeiwirddieWandsta¨rkeverteilungeinerStrukturdurcheineSplinefla¨chemo- delliertundmodifiziert,dienurdurcheinegeringeAnzahlvonStu¨tzstellendefiniertist,welche als Entwurfsvariablen dienen. Hier scheint es eine in etwa proportionale Beziehung zwischen derAnzahlderEntwurfsvariablenundderbeno¨tigtenIterationszahlbzw.Rechenzeitzugeben. ZumBeispielfu¨hrteineReduzierungderEntwurfsvariablenanzahlmittelsSplinefunktionenum 90%zueinerRechenzeitersparnisvon88%. EineweitereMöglichkeitderRechenzeiteinsparungbestehtdarin,denOptimierungsprozess gezielt abzubrechen, obwohl das formale Konvergenzkriterium noch nicht erreicht ist. Wenn man bereit ist, winzige Restriktionsverletzungen in der Gro¨ßenordnung von 0,01% hinzuneh- men,kannmandieRechenzeitumbiszu78%verku¨rzen. ii