Numerical recipes in C: the art of scientific computing

66 Pages·1992·0.345 MB·English

by  Press, William H;Teukolsky, Saul A;Vetterling, William T;Flannery, Brian P

Mathematics Formulary
By ir. J.C.A. Wevers
(cid:13)c 1999 J.C.A.Wevers Version:February14,1999
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JohanWevers
Contents
Contents I
1 Basics 1
1.1 Goniometricfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Hyperbolicfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Complexnumbersandquaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5.1 Complexnumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5.2 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6.1 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6.2 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.8 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8.1 Expansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8.2 Convergenceanddivergenceofseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8.3 Convergenceanddivergenceoffunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.9 Productsandquotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.10 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.11 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.12 Primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Probabilityandstatistics 9
2.1 Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Probabilitytheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Regressionanalyses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Calculus 12
3.1 Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.1 Arithmeticrules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.2 Arclengts,surfacesandvolumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.3 Separationofquotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.4 Specialfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.5 Goniometricintegrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Functionswithmorevariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Taylorseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.4 Ther-operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.5 Integraltheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.6 Multipleintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.7 Coordinatetransformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Orthogonalityoffunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Fourierseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I
II Mathematics Formulary door J.C.A. Wevers
4 Differentialequations 20
4.1 Lineardifferentialequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.1 FirstorderlinearDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.2 SecondorderlinearDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.3 TheWronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.4 Powerseriessubstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Somespecialcases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.1 Frobenius’method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.2 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.3 Legendre’sDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.4 TheassociatedLegendreequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.5 SolutionsforBessel’sequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.6 PropertiesofBesselfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.7 Laguerre’sequation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.8 TheassociatedLaguerreequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.9 Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.10 Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.11 Weber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Non-lineardifferentialequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Sturm-Liouvilleequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 Linearpartialdifferentialequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5.2 Specialcases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5.3 PotentialtheoryandGreen’stheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Linearalgebra 29
5.1 Vectorspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Basis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Matrixcalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3.1 Basicoperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3.2 Matrixequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Lineartransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5 Planeandline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.6 Coordinatetransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.7 Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.8 Transformationtypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.9 Homogeneouscoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.10 Innerproductspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.11 TheLaplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.12 Theconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.13 Systemsoflineardifferentialequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.14 Quadraticforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.14.1 QuadraticformsinIR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.14.2 QuadraticsurfacesinIR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Complexfunctiontheory 39
6.1 Functionsofcomplexvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Complexintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.1 Cauchy’sintegralformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.2 Residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3 Analyticalfunctionsdefiniedbyseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4 Laurentseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.5 Jordan’stheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Mathematics Formulary by J.C.A. Wevers III
7 Tensorcalculus 44
7.1 Vectorsandcovectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 Tensoralgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.3 Innerproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.4 Tensorproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.5 Symmetricandantisymmetrictensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.6 Outerproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.7 TheHodgestaroperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.8 Differentialoperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.8.1 Thedirectionalderivative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.8.2 TheLie-derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.8.3 Christoffelsymbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.8.4 Thecovariantderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.9 Differentialoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.10 Differentialgeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.10.1 Spacecurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.10.2 SurfacesinIR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.10.3 Thefirstfundamentaltensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.10.4 Thesecondfundamentaltensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.10.5 Geodeticcurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.11 Riemanniangeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8 Numericalmathematics 52
8.1 Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2 Floatingpointrepresentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.3 Systemsofequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.3.1 Triangularmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.3.2 Gausselimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.3.3 Pivotstrategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.4 Rootsoffunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.4.1 Successivesubstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.4.2 Localconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.4.3 Aitkenextrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.4.4 Newtoniteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.4.5 Thesecantmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.5 Polynomialinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.6 Definiteintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.7 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.8 Differentialequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.9 ThefastFouriertransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
IV Mathematics Formulary door J.C.A. Wevers
Chapter 1
Basics
1.1 Goniometric functions
Forthegoniometricratiosforapointpontheunitcircleholds:
y
cos((cid:30))=x ; sin((cid:30))=y ; tan((cid:30))= p
p p
x
p
sin2(x)+cos2(x)=1andcos−2(x)=1+tan2(x).
cos(a(cid:6)b)=cos(a)cos(b)(cid:7)sin(a)sin(b) ; sin(a(cid:6)b)=sin(a)cos(b)(cid:6)cos(a)sin(b)
tan(a)(cid:6)tan(b)
tan(a(cid:6)b)=
1(cid:7)tan(a)tan(b)
Thesumformulasare:
sin(p)+sin(q) = 2sin(1(p+q))cos(1(p−q))
2 2
sin(p)−sin(q) = 2cos(1(p+q))sin(1(p−q))
2 2
cos(p)+cos(q) = 2cos(1(p+q))cos(1(p−q))
2 2
cos(p)−cos(q) = −2sin(1(p+q))sin(1(p−q))
2 2
Fromtheseequationscanbederivedthat
2cos2(x)=1+cos(2x) ; 2sin2(x)=1−cos(2x)
sin((cid:25)−x)=sin(x) ; cos((cid:25)−x)=−cos(x)
sin(1(cid:25)−x)=cos(x) ; cos(1(cid:25)−x)=sin(x)
2 2
Conclusionsfromequalities:
sin(x)=sin(a) ) x=a(cid:6)2k(cid:25)orx=((cid:25)−a)(cid:6)2k(cid:25); k 2IN
cos(x)=cos(a) ) x=a(cid:6)2k(cid:25)orx=−a(cid:6)2k(cid:25)
(cid:25)
tan(x)=tan(a) ) x=a(cid:6)k(cid:25)andx6= (cid:6)k(cid:25)
2
Thefollowingrelationsexistbetweentheinversegoniometricfunctions:
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
p
x 1
arctan(x)=arcsin p =arccos p ; sin(arccos(x))= 1−x2
x2+1 x2+1
1.2 Hyperbolic functions
Thehyperbolicfunctionsaredefinedby:
ex−e−x ex+e−x sinh(x)
sinh(x)= ; cosh(x)= ; tanh(x)=
2 2 cosh(x)
Fromthisfollowsthatcosh2(x)−sinh2(x)=1. Furtherholds:
p p
arsinh(x)=lnjx+ x2+1j ; arcosh(x)=arsinh( x2−1)
1
2 Mathematics Formulary by ir. J.C.A. Wevers
1.3 Calculus
Thederivativeofafunctionisdefinedas:
df f(x+h)−f(x)
= lim
dx h!0 h
Derivativesobeythefollowingalgebraicrules:
(cid:18) (cid:19)
x ydx−xdy
d(x(cid:6)y)=dx(cid:6)dy ; d(xy)=xdy+ydx ; d =
y y2
Forthederivativeoftheinversefunctionfinv(y),definedbyfinv(f(x))=x,holdsatpointP =(x;f(x)):
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
dfinv(y) df(x)
(cid:1) =1
dy dx
P P
Chainrule:iff =f(g(x)),thenholds
df df dg
=
dx dgdx
Further,forthederivativesofproductsoffunctionsholds:
(cid:18) (cid:19)
Xn
n
(f (cid:1)g)(n) = f(n−k)(cid:1)g(k)
k
k=0
FortheprimitivefunctionF(x)holds:F0(x)=f(x). Anoverviewofderivativesandprimitivesis:
R
y = f(x) dy=dx = f0(x) f(x)dx
axn anxn−1 a(n+1)−1xn+1
1=x −x−2 lnjxj
a 0 ax
ax axln(a) ax=ln(a)
ex ex ex
alog(x) (xln(a))−1 (xln(x)−x)=ln(a)
ln(x) 1=x xln(x)−x
sin(x) cos(x) −cos(x)
cos(x) −sin(x) sin(x)
tan(x) cos−2(x) −lnjcos(x)j
sin−1(x) −sin−2(x)cos(x) lnjtan(1x)j
2
sinh(x) cosh(x) cosh(x)
cosh(x) spinh(x) sinh(xp)
arcsin(x) 1= p1−x2 xarcsin(x)+p1−x2
arccos(x) −1= 1−x2 xarccos(x)− 1−x2
arctan(x) (1+x2)−1 xarctan(x)− 1ln(1+x2)
2
p
(a+x2)−1=2 −x(a+x2)−3=2 lnjx+ a+x2j
1
(a2−x2)−1 2x(a2+x2)−2 lnj(a+x)=(a−x)j
2a
(1+(y0)2)3=2
Thecurvature(cid:26)ofacurveisgivenby:(cid:26)=
jy00j
f(x) f0(x)
ThetheoremofDe’lHoˆpital:iff(a)=0andg(a)=0,thenis lim = lim
x!a g(x) x!a g0(x)
Chapter 1: Basics 3
1.4 Limits
(cid:16) (cid:17)
sin(x) ex−1 tan(x) n x
lim =1 ; lim =1 ; lim =1 ; lim(1+k)1=k =e ; lim 1+ =en
x!0 x x!0 x x!0 x k!0 x!1 x
lnp(x) ln(x+a) xp
limxaln(x)=0 ; lim =0 ; lim =a ; lim =0 alsjaj>1:
x#0 x!1 xa x!0 x x!1ax
(cid:16) (cid:17)
p
arcsin(x)
lim a1=x−1 =ln(a) ; lim =1 ; lim xx=1
x!0 x!0 x x!1
1.5 Complex numbers and quaternions
1.5.1 Complex numbers
p
Thecomplexnumberz = a+biwithaandb 2 IR. aistherealpart,btheimaginarypartofz. jzj= a2+b2.
Bydefinitionholds: i2 = −1. Everycomplexnumbercanbewrittenasz = jzjexp(i’),withtan(’) = a=b. The
complexconjugateofzisdefinedasz =z(cid:3) :=a−bi.Furtherholds:
(a+bi)(c+di) = (ac−bd)+i(ad+bc)
(a+bi)+(c+di) = a+c+i(b+d)
a+bi (ac+bd)+i(bc−ad)
=
c+di c2+d2
Goniometricfunctionscanbewrittenascomplexexponents:
1
sin(x) = (eix−e−ix)
2i
1
cos(x) = (eix+e−ix)
2
Fromthisfollowsthatcos(ix)=cosh(x)andsin(ix)=isinh(x). Furtherfollowsfromthisthat
e(cid:6)ix =cos(x)(cid:6)isin(x),soeiz 6=08z. AlsothetheoremofDeMoivrefollowsfromthis:
(cos(’)+isin(’))n =cos(n’)+isin(n’).
Productsandquotientsofcomplexnumberscanbewrittenas:
z1(cid:1)z2 = jz1j(cid:1)jz2j(cos(’1+’2)+isin(’1+’2))
zz12 = jjzz12jj(cos(’1−’2)+isin(’1−’2))
Thefollowingcanbederived:
jz1+z2j(cid:20)jz1j+jz2j ; jz1−z2j(cid:21)jjz1j−jz2jj
Andfromz =rexp(i(cid:18))follows:ln(z)=ln(r)+i(cid:18),ln(z)=ln(z)(cid:6)2n(cid:25)i.
1.5.2 Quaternions
Quaternionsaredefinedas: z = a+bi+cj +dk,witha;b;c;d 2 IRandi2 = j2 = k2 = −1. Theproductsof
i;j;kwitheachotheraregivenbyij =−ji=k,jk =−kj =iandki=−ik=j.
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1.6 Geometry
1.6.1 Triangles
Thesineruleis:
a b c
= =
sin((cid:11)) sin((cid:12)) sin(γ)
Here,(cid:11)istheangleoppositetoa,(cid:12)isoppositetobandγoppositetoc.Thecosineruleis:a2 =b2+c2−2bccos((cid:11)).
Foreachtriangleholds:(cid:11)+(cid:12)+γ =180(cid:14).
Furtherholds:
1
tan( ((cid:11)+(cid:12))) a+b
2
=
tan(1((cid:11)−(cid:12))) a−b
2
p
Thesurfaceofatriangleisgivenby 1absin(γ)= 1ah = s(s−a)(s−b)(s−c)withh theperpendicularon
2 2 a a
aands= 1(a+b+c).
2
1.6.2 Curves
Cycloid: ifacirclewithradiusarollsalongastraightline,thetrajectoryofapointonthiscirclehasthefollowing
parameterequation:
x=a(t+sin(t)) ; y =a(1+cos(t))
Epicycloid:ifasmallcirclewithradiusarollsalongabigcirclewithradiusR,thetrajectoryofapointonthesmall
circlehasthefollowingparameterequation:
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
R+a R+a
x=asin t +(R+a)sin(t) ; y =acos t +(R+a)cos(t)
a a
Hypocycloid: ifasmallcirclewithradiusarollsinsideabigcirclewithradiusR,thetrajectoryofapointonthe
smallcirclehasthefollowingparameterequation:
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
R−a R−a
x=asin t +(R−a)sin(t) ; y =−acos t +(R−a)cos(t)
a a
A hypocycloid with a = R is called a cardioid. It has the following parameterequation in polar coordinates:
r =2a[1−cos(’)].
1.7 Vectors
X
Theinnerproductisdefinedby:~a(cid:1)~b= a b =j~aj(cid:1)j~bjcos(’)
i i
i
where’istheanglebetween~aand~b. TheexternalproductisinIR3definedby:
0 1 (cid:12) (cid:12)
aybz −azby (cid:12)(cid:12) ~ex ~ey ~ez (cid:12)(cid:12)
~a(cid:2)~b=@ azbx−axbz A=(cid:12)(cid:12) ax ay az (cid:12)(cid:12)
a b −a b (cid:12) b b b (cid:12)
x y y x x y z
Furtherholds:j~a(cid:2)~bj=j~aj(cid:1)j~bjcos(’),and~a(cid:2)(~b(cid:2)~c)=(~a(cid:1)~c)~b−(~a(cid:1)~b)~c.