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numerical linear algebra using interval arithmetic PDF

108 Pages·2012·1.16 MB·English
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THÈSE en vue de l’obtention du grade de Docteur de l’École Normale Supérieure de Lyon - Université de Lyon Spécialité : Informatique Laboratoire de l’Informatique du Parallélisme École Doctorale de Mathématiques et Informatique Fondamentale présentée et soutenue publiquement le 18 janvier 2011 par M. Hong Diep NGUYEN Efficient algorithms for verified scientific computing: numerical linear algebra using interval arithmetic Directeur de thèse : M. Gilles VILLARD Co-directrice de thèse : Mme Nathalie REVOL Après l’avis de : M. Philippe LANGLOIS M. Jean-Pierre MERLET Devant la commission d’examen formée de : M. Luc JAULIN, Président M. Philippe LANGLOIS, Rapporteur M. Jean-Pierre MERLET, Rapporteur Mme Nathalie REVOL, Co-directrice M. Siegfried RUMP, Membre M. Gilles VILLARD, Directeur Efficient algorithms for verified scientific computing: numerical linear algebra using interval arithmetic ˜ ` Nguyên Hông Diê.p 18 January 2011 Contents 1 Introduction 1 1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Description of the document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Interval arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Absolute value properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4 Midpoint and radius properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.5 Variable dependency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.6 Wrapping effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.7 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.8 Implementation environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Interval matrix multiplication 17 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 State of the art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Algorithm 1 using endpoints representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Algorithm 2 using midpoint-radius representation . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.1 Scalar interval product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.2 Matrix and vector operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Verification of the solution of a linear system 45 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 State of the art, verifylss function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Floating-point iterative refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 Interval iterative refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.1 Numerical behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4.2 Updating the computed solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.3 Initial solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.4 Interval iterative improvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.5 Detailed algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 i ii CONTENTS 3.5 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5.1 Implementation issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5.2 Experimental results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4 Relaxation method 63 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Interval improvement: Jacobi and Gauss-Seidel iterations . . . . . . . . . . 64 4.2.1 Convergence rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.2 Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2.3 Initial solution of the relaxed system . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3 Implementation and numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.1 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.2 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Effects of the computing precision 75 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Implementation using variable computing precisions . . . . . . . . . . . . . 75 5.2.1 Residual computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.2 Floating-point working precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.3 Needed working precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.1 Normwise relative error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3.2 Componentwise relative error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.4 Doubling the working precision for approximate solution . . . . . . . . . . 84 5.4.1 Implementation issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.4.2 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.4.3 Other extended precisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Conclusions and Perspectives 89 List of Figures 1.1 Wrapping effect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 Performance of igemm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Performance of igemm3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1 Solution set of the interval linear system (3.3). . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 MatLab implementation results for 1000 × 1000 matrices. . . . . . . . . . 60 4.1 Solution set of the relaxed system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Relaxation technique: MatLab implementation results for 1000×1000 ma- trices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1 Effects of the residual precision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Effects of the working precision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Minimal working precision needed. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.4 Effect of doubling the working precision for the approximate solution. . . . 87 5.5 Effect of other extended precisions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 iii iv LIST OF FIGURES List of Algorithms 2.1 Decomposition algorithm for endpoint intervals . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 Classical iterative refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Interval iterative refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Testing the H-matrix property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4 Solving and verifying a linear system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1 Interval improvement function refine using relaxed Jacobi iterations . . . 72 5.1 Solving and verifying a linear system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2 Doubling the precision for the approximate solution . . . . . . . . . . . . . 86 v vi LIST OF ALGORITHMS

Description:
fore, fixed finite precision is chosen to gain performance. error computation is based on the rounding error model: |x ◦ y − fl(x ◦ y)| stated in the dissertation of R. E. Moore entitled "Interval Arithmetic and Automatic Error. Analysis in Digital Computing" [Moo63] which is the most popul
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