Numerical approximation of time-fractional differential equations

127 Pages·2017·1.41 MB·English

Numerical approximation of time-fractional
differential equations
Thesis committee:
Prof. dr. H. Brunner, Hong Kong Baptist University
Prof. dr. W. H. Hundsdorfer, Centrum Wiskunde & Informatica
Prof. dr. ir. C. W. Oosterlee, Centrum Wiskunde & Informatica
Prof. dr. ir. C. Vuik, Delft University of Technology
Dr. ir. J. H. M. ten Thije Boonkkamp, Technische Universiteit Eindhoven
The research reported here was supported by a grant from CSC (China
Scholarship Council).
ISBN: 978-90-393-6863-3
NUR: 919
Copyright (cid:13)c 2017 by Han Zhou.
Numerical approximation of time-fractional
differential equations
Numerieke benadering van tijds-fractionele
differentiaalvergelijkingen
(met een samenvatting in het Nederlands)
Proefschrift
ter verkrijging van de graad van doctor
aan de Universiteit Utrecht
op gezag van de rector magnificus, prof. dr. G. J. van der Zwaan,
ingevolge het besluit van het college voor promoties
in het openbaar te verdedigen op
maandag 16 oktober 2017
des middags te 4.15 uur
door
Han Zhou
geboren op 13 oktober 1987 te Lanzhou, China
Promotor: Prof. dr. J. Frank
Copromotor: Dr. P. A. Zegeling
Contents v
Contents
List of Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1 Preliminary 1
1.1 Fractional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Fractional integrals and derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Integral transform of fractional integrals and derivatives . . . . . . . . . . 4
1.2 Time-fractional differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Time-fractional ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Time-fractional partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Numerical discretization of fractional differential equations. . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Product integration method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Fractional linear multistep method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Continuous piecewise polynomial approximation 19
2.1 Uniform grid approximation of Caputo fractional derivative . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Local truncation error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Non-uniform grid approximation of Caputo fractional derivative . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Linear interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Quadratic interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Case I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Case II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Stability analysis 37
3.1 Stability of linear multistep methods and fractional linear multistep methods . . 37
3.1.1 Zero-stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 A-stability and A(θ)-stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Stability of proposed methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Stability regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 A(θ)-stability analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Generalized strong root condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Convergence analysis 59
4.1 Convergence for time-fractional ordinary differential equation . . . . . . . . . . . 59
4.2 Convergence for linear time-fractional partial differential equations . . . . . . . . 70
5 Numerical experiments 77
5.1 Time-fractional ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Time-fractional partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
vi Contents
A 95
A.1 Special functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.1.1 The Gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.1.2 The Mittag-Leffler function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.1.3 The Fox function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.2 Partial fractional decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.3 Complex integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.4 Discrete Gronwall inequalities and their generalization . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.5 Formal power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Curriculum Vitae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
List of Tables vii
List of Tables
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

List of Figures ix
List of Figures
4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79