noter til matematik aj 1984/85 forord.

522 Pages·2014·18.86 MB·Danish

NOTER TIL MATEMATIK AJ 1984/85
Mogens Esrom Larsen
FORORD.
Kurset Matematik A gennemgar klassisk analyse og algebra med
det formal at berede vejen for fysikkensog kemiens begrebsapparat.
De v~sentlige matematiske begreber og resultater er samlet i Kapi
tel I, der kan siges at udg¢re kursets pensum. De ¢vrige seks
kapitler skal pa hver sin made lette tilegnelsen af dette pensum.
I Kapitel II gennemgas fortrinsvis simple eksempler, der kendes i
forvejen, til belysning af de nye synspunkter i Kapitel I. I Kapi
pa
tel III gennemgas de vigtige eksernpler problemer, som hj~lpe­
midlerne i Kapi.t.eL I seet.t.er as i stand t.Ll, at l¢se langt lettere
end '. uden. I Kapitel IV vises eksempler pa anvendelser af teorien
pa omrAd~r uden for matematikken, fortrinsvis fra fysik og kemi.
Kapitel V viser eksemple~ pa problemer og deres l¢sning, som svarer
til de problemer, det forventes, at de studerende magter.
I Kapitel VI fremstilles den underliggende matematik, dvs.
kapitlet indeholder beviser (eller henvisninger til beviser) for
resultaterne i Kapitel I. Kapitlet er t~nkt fortrinsvis til senere
brug. Bar man behov for en modificeret s~tning, kan man overveje,
am beviset kan bringes til at d~kke tilf~ldet. Men kapitlet tjener
naturligvis ogsa til at overbevise den st~dent, der mAtte tvivle
pA en anf¢rt pastand.
Kapitel VII er en samling opgave·r, der ligner dem fra Kapitel
V, blot ikke er l¢st i noterne.
Kapitlerne I - V qennemqas i forelcesningerne, mens Kapitel VII
er grundlaget for ¢velserne. Kapitel VI er til selvstudium.
pa
Inden for hver kapitel er emnerne delt pa.raq.raffe.r saledes
I
a.t tilsvarende §-nr. i· forskellige kapitler referere r til samme
emne. Ved tilegnelsen af staffet l~ses paragrafferne i nummerorden,
og inden for hver § lceses kapitlerne simultant. Ved tilbageblik pA
kurset tjener Kapitel I sam kompendium og Kapitel IV til underhold
ning.
Til eksamen opgive.s Kapitel I; - resten er til hjCElp.
God forn¢jelse!
Mat A 1984/85
~
I
KAPITEL I
DEFINITIONER OG ·S~TNINGER
Det~~ der i sig selv kan bevises og
vide8~ kan antages somTrosgenstand
oqeaa af dem, der -ikke forstaar Beviset.
Thomas Aquinas.
F.
l·,>~)::'·
( ~
Mat A 1,1,1.
r:
§1·. Vektorregning i planen og kompleksetal.
Pa en ret linie, 9., vcelges to for skeLlfqe punkter,O oq E.
Vi fastLeqqer lcengden af liniestykket OE til 1 og vi· till~ger
punkternetalvcerdierne a og 1 hhv. Ved multiplikation og deling af
liniestykket findes punkter svarende til aIle rationale tal. Punk-.
pa pa
terne halvlinien OE svarertil positive tal, og punkterne
den anden side af a svarer til negative tal.
Vi g¢r nu to analoge antagelser om punkterne pA en 11n1e og om.
de reelle tal.
lL) Til enhver (ikke tom) punktmrengde findes et mindste linie
r stykke, som indeholder den.
2L) Ethvert punkt er endepunkt for et sadant mindste 1inie
stykke, som indeholder en mcengde af konstruerbare punk
ter.
1R) Til enhver (ikke tom) talmrengde findes et rnindste inter
val, som indeholder den.
2R) Ethvert reelt tal er endepunkt for et sAdant mindste in
terval, sam indeholder en mcengde af rationale tal.
Ved hj~lp af disse antagelser kan vi udvide korrespondancen
mellem de rationale tal og visse konstruerbare punkter til en bijek
pa
tiv korrespondance mellem de reelle tal ogmCEngden af punkter
/' linien. Herefter betegnes linien som "tallinien" og ord som npunkt
og tal'.' og "liniestykke og Lnt.er vaL" bruges i flceng.
I en plan vrelges to forskellige punkter 0 .og E. Gennero
dem gar en ret linie, 9." som vi identificerer med de reelle tal
sam beskrevet ovenfor med 0 og E svarende til 0 og 1 hhv.
Lad nu m v~re den rette linie gennem 0, som er vinkelret
pa
2. Cirklen med centrum i 0 gennem E skterer m i to punk
ter, det enebetegnes I. Vi identificerer nu punkterne pA linien
ill med de reelle tal, saledes at 0 og I svarer til 0. og 1 hhv.
pa
Fra et punkt P ··i planen ried.fzeldea den vinkelrette hver af
pa
de to linier .Q, og m. De derved fundne punkter ~ og In
kaldes projektionerne af P pa ,c!, og m og de tilsvarende reelle
tal kaldes koovdi.naterne til punktet p. De nzevnes med projektio
pa
nen Q, f¢rst. Herved er opnaet en bijektiv korrespondance mel-
Mat A, 1984/ 85 I , 1,2 •
Iem planens punkter og ffiCEngden af reelle talpar
JR2 = {(x,y)1 x E JR AyE JR}
pa
Til et punkt P svarer en linie gennem 0 og P og denne
linie liniestykket OP. ~ngden af punkter i planen star ogsa i
en bijektiv korrespondance med m~ngden af liniestykker med 0 som
venstre endepunkt.
Vi definerer nu 5 vigtige ragneoperat~oner for punkter, linie
stykker og talpar.
1) Multiplikation med en skalar , (Ved en "skaLar" f orst as et
reelt tal.)
Lad P VCEre et punkt; med koordinaterne (x,y) og It E JR
skalaren.
Punktet \P er det punkt, der har koordinaterne (AX,Ay) •
pa
SCEtning I,1 ,1 .. Punktet P ligger linie med 0 og P og
liniestykkerne forholder sig som A, OAP: OP = A •
2) Sum.
Lad P, og P v~re to punkter med koordinater (x og
2 1,Y,)
(x 2 ' Y2) hhv•
Punktet P1 + P2 er det punkt, der har koordinaterne
(x ' Y1+Y2) ·
1+x2
Scetning I,1,2. Linierne OP og P2(P1+P2) er parallelle, og
1
linierne OP2 og P,(P1+P2) er parallelle. Liniestykket O{P,+P2)
er diagonali det af O,P1,PZ og P, + Pz udspzendt.e parallellograrn.
Vektorrum.
Organiseret med dette produkt og denne sumkaldes mcengden af
punkter ellerliniestykker eller talpar et vektorrum, og punktet
liniestykket talparret kaldes en vektor.
rv
/ -
(
Mat A, 1984/85 1,1.3.
3) Indre produkt eller skalarprodukt.
Lad v1. og v2 vrere" to vektorer med koordinater (x1 Y1) og
I
(x ,y2) hhv.
2
Det reelle tal ("skalarenlf ) x1x2 + Y'Y2 kaldes det indre pro
dukt af vektorerne v og v og betegnes
1 2
SCEtning I,1,3. Det indre produkt af en vektor med sig selver
kvadratet pA vektorens l~ngde (som liniestykke).
lv l " = v»»
S~tnLng 1,1,4. Det indre produkt af to vektorer er l~ngden af den
ene gange lcengden af den anden gange cosinus til vinklen mellem
dern.
Corollar 1,1 ;5. Det indre produkt af to vektorer,er 0, hvis og
pa
kun hvis de star vinkelret hinanden.
pa
Corollar I,1,6. Projektionen af en vektor v en vektor af
lcengde 1 (IJenhedsvektorfl e fas som
)
(v-el e
Corollar I,1,7. Vektoren v - (v·e) e, hvor e er en enhedsvek-
torI stAr vinkelret pA e .
4) Ydre produkt eller arealprodukt (eller determinant).
Lad v1 og v2 veere to vektorer med koordinater hhv. (x ,y1)
1
og (x ' Y2)
2
Det reelle tal x Y2 - x Y1 kaldes det ydre produkt; af vekto
1 2
rerne v og v og skrives
1 2
Mat A 1984/ 85 I , 1•4 •
I
Scetning I,1 , 8 • Det ydre produkt af vektorerne v og v2" er are
1
alet af det af de to vektorer udspcendte parallellogram (regnet med
fortegn) og lig med IC!ngden af den ene vektor gange lcengden af den
anden gange sinus til vinklen mellem dem.
Corollar I,1,9. Det ydre produkt af to vektorer er 0, hvis og kun
hvis de er proportio~ale.
5) Det komplekse produkt.
Lad v og v v~re to.vektorer med koordinater hhv. (X 'Yl )
1 2 1
og (x 'Y2) •
2
Det komplekse produkt v af de to vektorer er vektoren,
1v2
hvis koordinaten er
S~tning I,1 I 10 Ii Det komplekse produkt af to vektorer V1 og V2
,
er en vektor, hvis lcengde er produktet af lcengderne af V og V
1 2
:."~j og hvis vinkel med linien ~ er surnmen af vLnkLerrie med £ for
Kompleksetal.
Organiseret med det komplekse produkt kaldes ve.ktorerne i pla
pa
nen for de kompl.ekse tal. Vi opfatter vektorerne linien £ som
de reelle tal, der saledes ses som indlejret blandt de komplekse
tal. Vi betegner vektoren or = (0,1) som den imagincEre enhed og
skriver i = (0,1) for den. Herefter foretr~kker vi skrivemaden
x+iy = (x,y) •
Mat A, 1984i85 I 1 5 •
I I
En vektor v = x + iy = (x,y) har at spejlbillede i Q,-aksen,
det betegnes den kon.juqerede og skrives
v
= x ... iy :::: (x -Y) •
I
Koordinaterne til x + iy kaldes real-del-en (x) og imaginCErdelen
(y) •
Vigtige formler er
v
v + = 2x v - v = i2y
og
altsa, en vektors lcengde fa.s som
tvl = VV'!! .•
~lar en vektoropfattes sam et komplekst tal ,kaldes lcengden
for modulus og vinklen med Q, kaldes arqumentiei,
Vi skriver
v = x + iy = r (cos ~ + i sin <p.)
hvor r er modulus:
r ==
og <.p er argumentet
cos<.p = x
y
sin <.p =
0c
2
+y2
tg <.p = ~ hvis x * 0
x
x
cot ~ = y hvis Y * 0
Vektoren e = cos <.p + i si,n tp er enhedsvektoren, der danner vinke
<P
len c.p med t .
Det komplekse produkt er da
, vu
....
~~ngden af komplekse tal betegnes ~.
I ,1 ,6 •
Mat A, 1984/85
Regneregler for vektorprodukter.
men [v = - [u ,vl •
v.u = u·v, vu = uv I U]
(v ) ·u = v1 -u + v -u
1+v2 2
(v = v
1+v2)u 1u+v2u
[v = [v ,ul + [v
1+v2,u] 1 2'u]
For et reelt tal A gcelder
(AV) -u = A(VaU)
(Av )u = A(VU)
_7."
.'~~:~J
[Xv,u] = A[V,U] ·
For det komplekse produkt gcelder yderligere
=
vu v u
v (uw) = (vu)w
Endelig ga=lder sammenh~ngen
vu = v u + i [v,ul
»
2v-u = vu + vu
2LIv u] = vu - vu
I
Mat A, 1984/85
r:.:
§2. Vektorregning i rummet.
I rummet har vi ingen passer eller lineal, og vi kan kun tegne
rna
plane projekter af vore forestillinger. Vi t~nke os til punkter
ne i stedet for at konstruere dem. Men vi kan regne med vektorer
sa
lige bekvemt sam i planen.
Grundl~ggende forestillinger om "rununets geometrin tetiereometir-ir ,
Vi har punkter, linier og planer. Etpunkt kan tilh¢re en linie
e~ler en plan, ogen linie kan ligge i en plan.
Vi antager f¢lgende krav opfyldt:
en
1) Gennem to forskellige pU1,1kter gar en og kun ret linie.
r
·2) En ret linie,der har to forskellige punkter fcelles med en
.I ~:::'l_~
plan, ligger helt i planen.
pa
3) Gennem en linie og et punkt, der ikke ligger linien, gar
en
en og kun plan.
4) Givet en plan og et punkt uden for planen. Gennem punktet
gar en ogkun en plan, der ikke har noget punkt f~llesmed den
givne.
To linier kaldes paral.l.elle, hvis der findes en plan, sam inde
holder dembegge, og hvori de er parallelle.
Vi definerer iri.nk.l.en mellero to vilkarlige linier sam vinklen
.mellem to sk~rende linier, der hver er parallelle med ~n af de
/' givne.
(
en
SCEtning I,2,1. Til en planog et punkt findes en og kun linie
pa
gennem punktet, der er vinkelret enhver linie i planen.
Den i .Scetning 1,2,1 ncevnte linie kaldes en normal til planen
i/fra det pag~ldende punkt.
Vi definerer vinkZen rnellemen linie og en plan sam komplernen
tcervinklen til vinklen mellem linien ag·planens normal.
Vi definerer iri.nkl.en rnellem to planer sam vinklen mellero deres
norrnaler.
f
Mat A, 1984/85 I,2,2.
Vektorregning i rummet.
o.
Vi v~lger et punkt 0 og en plan TI gennem I'planen
indf¢reskoordinatsystemet fra §1, med linierne ~ og m og
punkterne E og I. Den oml¢bsretning af cirklen med radius 1,
der passerer E og I i denne r~kkef¢lge betegnes den positive
oml¢bsretning.
I 0 findes en linie n, der er normal til planen 1T. Pa
o.
linien n findes to punkter i afstanden 1 fra Fra det ene
af disse punkter ses cirklens positive oml¢bsretning sam v~rende
mod uret. Dette punkt kalder vi J og lader vi svare til 1 ved
ide·ntifikationen af n med de reelle tal.
, De tre enhedsvektorer
....
f"-r·
e = OE e = or e = OJ
1 I 2 3
kaldes en eeduanliq eller h¢jreorienteret basis. Et vilkarligt punkt
P kan nu tilskrives 3 koordinater som f¢lger:
en
Gennem P findes normal til n , denne skcerer .1T i et
punkt pi, hvis koordinater er (x,y) i 'det koo.rdtnat.syscem,
vi har valgt for 1T.
Normalen n og P udsp~nder en plan, i hvilken P kan pro
pa
jiceres n i punktet pIt svarende til det reelle tal z.
Herefter har P koordinaterne (x,y,z)
Vi har nu opnaet enbijektiv korrespondance mellem rummets
punkter og m~ngden af reelle taltr~pler
{ (x,y ,z) I x E JR 1\ Y EJR A z E JR}
Til et punkt P svarer en linie gennem a og P og pa den
ne linie liniestykket OF. Mcengden af punkter i rurnmet star.og
sa a
i bijektiv korrespondance med mrengden af liniestykker med
som venstre endepunkt.
Vi definerer nu 5 vigtige regneoperationer for punkter, linLe
stykker og taltripler:
1) Multiplikation med en skalar. (Ved en "skalar" f orst.as et
reelt tal.)
Lad P veere et punkt medkoordinaterne (x_,y,z) og A E JR
skaleren.
Purikt.et; AP er det punkt, der har koordinaterne (AX,Ay,AZ)