Notas de aula de Econometria Aplicada MEST 141

131 Pages·2008·0.51 MB·Portuguese

Notas de aula de Econometria Aplicada
MEST 141
Prof. Daniel Santos
Setembro - Novembro 2008
1 Revisªo
1.1 Causalidade
A teoria econ(cid:244)mica investiga o comportamento decis(cid:243)rio dos agentes econ(cid:244)micos. Em geral,
os modelos produzem rela(cid:231)ıes entre variÆveis determinadas end(cid:243)genamente e outras deter-
minadas exogenamente
y = g (x ;x ;u )
i i i (cid:3)i i
O conteœdo emp(cid:237)rico do modelo acima depende fundamentalmente da disponibilidade
de dados. Na nota(cid:231)ªo, y designa a variÆvel end(cid:243)gena ao passo que x, x* e u, as ex(cid:243)genas.
Por enquanto, vamos supor que y, x e x* sªo observadas e u, nªo. O efeito causal de uma
mudan(cid:231)a de x para x(cid:146)em y Ø de(cid:133)nido por
(cid:1)y = g (x ;x ;u ) g (x ;x ;u )
i i 0i (cid:3)i i (cid:0) i i (cid:3)i i
, ou seja, o efeito de uma altera(cid:231)ªo em x sobre y, mantendo-se constante as demais variÆveis.
Note que em princ(cid:237)pio poder(cid:237)amos ter um efeito diferente para cada indiv(cid:237)duo.
2 di(cid:133)culdades surgem na descri(cid:231)ªo acima, e no fundo originam a maioria dos problemas
economØtricos descritos nos livros-texto. A primeira limita(cid:231)ªo Ø que na maioria dos casos,
um mesmo indiv(cid:237)duo nªo Ø observado em dois estados distintos, x e x(cid:146). A segunda Ø que
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mesmo que observÆssemos um mesmo indiv(cid:237)duo nesses dois estados, nada garante que a
variÆvel nªo observada u se manteve constante entre estas medi(cid:231)ıes.
Para contornar estes problemas, costuma-se supor que (H1) as fun(cid:231)ıes g (:) sªo do tipo:
i
g (x ;x ;u ) = (cid:22)(x ;x )+u
i i (cid:3)i i i (cid:3)i i
, e que (H2) a mØdia de u nªo muda se repartirmos a amostra em diferentes grupos segundo
os valores de x (E(u x) = constante).
j
E((cid:1)y) = E(y x;x ) E(y x;x )
0 (cid:3) (cid:3)
j (cid:0) j
= E[(cid:22)(x;x ) x;x ] E[(cid:22)(x;x ) x;x ]+E(u x;x ) E(u x;x )
0 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 0 (cid:3) (cid:3)
j (cid:0) j j (cid:0) j
= (cid:22)(x;x ) (cid:22)(x;x ) = g (x ;x ;u ) g (x ;x ;u )
0 (cid:3) (cid:0) (cid:3) i 0i (cid:3)i i (cid:0) i i (cid:3)i i
HÆ duas formas de tentar garantir H2: o mØtodo experimental (modelo de Rubin) e o
mØtodo "economØtrico" ou estrutural. Na primeira, o pesquisador varia aleatoriamente o
n(cid:237)vel de x para x(cid:146)em um subgrupo da popula(cid:231)ªo e mede a varia(cid:231)ªo correspondente em y.
Por que isso funciona? Primeiramente, se originalmente t(cid:237)nhamos uma amostra homogŒnea
em (x,x*) e a repartimos aleatoriamente em duas, a distribui(cid:231)ªo conjunta de (y,x,x*,u) em
ambas deveria ser aproximadamente idŒntica, de modo que se med(cid:237)ssemos as mØdia de y e u
em ambas, o resultado deveria ser semelhante. Como por hip(cid:243)tese as variÆveis x,x* e u sªo
determinadasforadosistema,umamudan(cid:231)acontroladadexnªodeveriaalteraramØdiadeu.
Osproblemasnessecasosªoque(i)raramenteconseguimosrealizartalprocedimentoquando
se trata de agentes e variÆveis econ(cid:244)micas, (ii) mesmo que seja poss(cid:237)vel, di(cid:133)cilmente as
condi(cid:231)ıes laboratoriais necessÆrias para essa randomiza(cid:231)ªo espelharªo as condi(cid:231)ıes presentes
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quando os agentes de fato tomam suas decisıes, (iii) Ø poss(cid:237)vel que u varie com a mudan(cid:231)a
de x, se for tambØm end(cid:243)geno ao modelo, ainda que a mudan(cid:231)a em x tenha sido ex(cid:243)gena.
Quando a abordagem experimental nªo estÆ dispon(cid:237)vel ou se revela inadequada, a alter-
nativa Ø modelar explicitamente a rela(cid:231)ªo entre x e u, e o sucesso da estima(cid:231)ªo dependerÆ
crucialmente do realismo das hip(cid:243)teses envolvidas. A hip(cid:243)tese mais comum Ø simplesmente
E(u x) = 0 (MQ-O). Alternativamente, pode-se argumentar que exista uma terceira variÆvel
j
z tal que mudan(cid:231)as em z alterem os valores de x sem alterar os de u (IV). O impacto nesse
caso Ø semelhante ao experimental (o experimento pode ser visto como um caso particular
de variÆvel instrumental). Uma terceira alternativa Ø aceitar que H2 nªo vale, e modelar
explicitamente o comportamento de E(u x;x ) E(u x;x ). A essa solu(cid:231)ªo dÆ-se o nome
0 (cid:3) (cid:3)
j (cid:0) j
de fun(cid:231)ıes de controle, e em geral envolve uma interpreta(cid:231)ªo r(cid:237)gida do signi(cid:133)cado de u e seu
papel na determina(cid:231)ªo do comportamento dos agentes.
Nosso exemplo-can(cid:244)nico Ø a determina(cid:231)ªo do efeito causal de um ano a mais de esco-
laridade sobre salÆrios. Suponha que nosso modelo te(cid:243)rico proponha que as pessoas vivam
T anos, e passem S anos estudando e T-S trabalhando. Diferentes ocupa(cid:231)ıes requerem
diferentes n(cid:237)veis de escolaridade e remuneram de forma diferente os trabalhadores1. O valor
presente do (cid:135)uxo de renda de um indiv(cid:237)duo Ø, neste caso,
T w(S)
VP (S) = w(S) e rtdt = e rS e rT
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
r (cid:0)
ZS
(cid:2) (cid:3)
Em equil(cid:237)brio, os diferentes n(cid:237)veis educacionais deveriam proporcionar o mesmo valor
presente de renda, o que signi(cid:133)ca que aqueles que estudaram mais precisam ser compensados
1 Sªo hip(cid:243)teses do modelo que nªo hÆ incertezas, que os trabalhadores sªo inicialmente idŒnticos em habili-
dades e oportunidades, e que os mercados de crØdito sªo perfeitos.
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pelo tempo em que (cid:133)caram sem receber salÆrios:
w(S) w(0)
e rS e rT = 1 e rT
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
r (cid:0) r (cid:0)
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) 1 e rT
(cid:0)
lnw(S) = lnw(0)+rS +ln (cid:0)
1 er(T S)
(cid:20) (cid:0) (cid:0) (cid:21)
lnw(0)+rS, se T for grande
(cid:25)
Nesse modelo, os indiv(cid:237)duos sªo em princ(cid:237)pio indiferentes entre os diversos n(cid:237)veis de
escolaridade, e serªo distribu(cid:237)dos aleatoriamente entre os vÆrios n(cid:237)veis de S, sugerindo uma
rela(cid:231)ªo do tipo:
lnw = lnw(0)+rS +"
i i i
" independente de S
i i
Como o erro da equa(cid:231)ªo acima Ø puramente aleat(cid:243)rio, podemos consistentemente estimar
uma regressªo do tipo:
lnw = (cid:12) +(cid:12) S +"
i 0 1 i i
por MQO numa cross-section, e nesse caso a interpreta(cid:231)ªo do coe(cid:133)ciente (cid:12) Ø a de que
0
representaria o (log do) salÆrio de um analfabeto, e (cid:12) o retorno r obtido pelo investimento
1
em educa(cid:231)ªo, que nesse caso tambØm representa o efeito causal de S sobre ln(w).
O modelo alternativo Ø um mercado de trabalho onde as (cid:133)rmas usam caracter(cid:237)sticas
produtivas dos agentes como insumos para produzir bens, segundo a fun(cid:231)ªo de produ(cid:231)ªo
Q = Q(S;x ;u) = exp[b +b S +b u]
(cid:3) 0 1 2
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Em equil(cid:237)brio, o salÆrio serÆ w = ws +wu = (b +b )Q, o que implica:
1 2
lnw = [b +ln(b +b )]+b S +b u
0 1 2 1 2
= (cid:12) +(cid:12) S +u
0 1 i i
Note que enquanto no primeiro modelo o termo " era puramente aleat(cid:243)rio (implicando
i
em que E(" x) = 0 seja razoÆvel), no segundo, o termo u re(cid:135)ete uma caracter(cid:237)stica nªo
i
j
observÆvel do indiv(cid:237)duo e que pode estar correlacionada com escolaridade (e.g. habilidade).
Umterceiromodelo(Mincer,1974)propıeaindaumaterceiraformarelacionandosalÆrios
e educa(cid:231)ªo:
Seja E = salÆrio potencial no per(cid:237)odo t, w = salÆrio observado, C = investimento em
t t t
capital humano, k = fra(cid:231)ªo do salÆrio potencial investida, (cid:26) = retorno ao investimento
t t
realizado em capital humano.
C = kE
t t
E = E +(cid:26) C
t+1 t t t
= (1+k (cid:26) )E
t t t
t
= 1+k (cid:26) E
j j 0
j=0
Y(cid:0) (cid:1)
Suponha que na educa(cid:231)ªo formal o investimento em capital humano Ø mÆximo: k = 1,
s
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e de(cid:133)na (cid:26) = retorno (cid:224) educa(cid:231)ªo e (cid:26) = retorno ao treinamento p(cid:243)s-educa(cid:231)ªo. Entªo23:
s 0
t 1
(cid:0)
lnE = lnE +sln(1+(cid:26) )+(cid:26) ln(1+(cid:26) k )
t 0 s 0 0 j
j=s
X
t 1
(cid:0)
lnE +s(cid:26) +(cid:26) k
0 s 0 j
(cid:25)
j=s
X
Finalmente, e supondo que o investimento em aprendizado decresce a uma taxa linear
ap(cid:243)s conclu(cid:237)dos os estudos:
x
k = (cid:20) 1
s+x
(cid:0) T
(cid:16) (cid:17)
(cid:20)(cid:26) (cid:20)(cid:26)
lnE lnE +(cid:26) S + (cid:20)(cid:26) + 0 x 0x2
s+x (cid:25) 0 s 0 2T (cid:0) 2T
(cid:16) (cid:17)
2 Expandindo ln(x) em Taylor em torno de 1:
1 (x 1)2 (x 1)3
ln(x)=ln(1)+(x 1) (cid:0) + (cid:0) +:::
(cid:0) 1 (cid:0) 2 3
a expansªo em 1a ordem fornece a aproxima(cid:231)ªo sugerida (note que ln(1)=0).
3
z = j s
(cid:0)
x 1 x 1
(cid:0) (cid:0)
k = k
j s+z
j=s z=0
X X
x 1 x 1
(cid:0) (cid:20) (cid:0)
= (cid:20) 1 z
(cid:0) T
z=0 z=1
X X
(cid:20) (x 1)
= (cid:20)x (cid:0) [2+(x 2)1]
(cid:0) T 2 (cid:0)
(cid:20) (x 1)x
= (cid:20)x (cid:0)
(cid:0) T 2
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e como
w = (1 k )E
s+x s+x s+x
(cid:0)
x
lnw lnE (cid:20) 1
s+x s+x
(cid:25) (cid:0) (cid:0) T
(cid:16) (cid:17)
(cid:20)(cid:26) (cid:20) (cid:20)(cid:26)
= (lnE (cid:20))+(cid:26)S + (cid:20)(cid:26) + 0 + x 0x2
0 (cid:0) 0 2T T (cid:0) 2T
(cid:16) (cid:17)
= (cid:12) +(cid:12) S +(cid:12) x+(cid:12) x2
0 1 2 3
Note que agora para estimar o efeito de educa(cid:231)ªo sobre salÆrios, Ø preciso incluir tambØm
experiŒncia em nossa regressªo.
1.2 Estima(cid:231)ªo
1.2.1 Minimiza(cid:231)ªo de fun(cid:231)ªo perda (ex. MQO)
Seja o modelo y = (cid:22)(x ;x )+u , suponha que E(u x) = 0, e de(cid:133)na como perda a fun(cid:231)ªo
i i (cid:3)i i j
L[u]. Por exemplo, se nossa inten(cid:231)ªo for a de explicar ao mÆximo a varia(cid:231)ªo de y com a
varia(cid:231)ªo de x,x*, entªo podemos decidir que L(u) = u2, pois esta fun(cid:231)ªo atinge o m(cid:237)nimo
precisamente quando u = 0. Nessa estratØgia, o modelo ideal deverÆ resolver min E(u2) =
(cid:22)
min E (y (cid:22)(x;x ))2 ; e o modelo estimado, min N (y (cid:22)(x ;x ))2. Note que um
(cid:22) (cid:0) (cid:3) (cid:22) i=1 i (cid:0) i (cid:3)i
(cid:2) (cid:3) P
caso particular de (cid:22)(x ;x ) Ø (cid:22)(x ;x ) = b +b x +b x . Se supor essa forma para a fun(cid:231)ªo
i (cid:3)i i (cid:3)i 0 1 i 2 (cid:3)i
(cid:22)(x ;x ) for justi(cid:133)cÆvel, entªo a solu(cid:231)ªo serÆ MQO.
i (cid:3)i
1.2.2 Maximiza(cid:231)ªo da fun(cid:231)ªo de verossimilhan(cid:231)a
Considere o mesmo modelo acima, mas agora suponha que estejamos dispostos a assumir
que o termo nªo observado, u, seja distribu(cid:237)do segundo uma fun(cid:231)ªo de densidade de prob-
abilidade f (:) e independente de x. Suponha que vocΠescolheu um valor (cid:12)(cid:3) para ser seu
7 b
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estimador. Numa amostra com i = 1;:::;N indiv(cid:237)duos, a probabilidade de que o res(cid:237)duo de
um determinado indiv(cid:237)duo venha da distribui(cid:231)ªo f Ø:
u = y x (cid:12)(cid:3)
(cid:3)i i (cid:0) i
Pr(u = ub) = f (u ) b
i (cid:3)i (cid:3)i
b b
Numa amostra aleat(cid:243)ria (onde as realiza(cid:231)ıes de u para diferentes indiv(cid:237)duos sªo in-
i
dependentes), temos que a probabilidade de que todos os res(cid:237)duos da amostra venham da
distribui(cid:231)ªo f (:) Ø:
Pr(u = u ;u = u ;:::;u = u ) = Pr(u = u )xPr(u = u )x:::xPr(u = u )
1 (cid:3)1 2 (cid:3)2 N (cid:3)N 1 (cid:3)1 2 (cid:3)2 N (cid:3)N
N N
b b b = f (u )b= f (y xb(cid:12)) b
i i i
(cid:0)
i=1 i=1
Y Y
A estratØgia aqui Ø escolher o valor de (cid:12) que maximiza a fun(cid:231)ªo acima, pois esse Ø o
valor que maximiza a probabilidade de que seus res(cid:237)duos estimados, u , venham de fato da
(cid:3)i
distribui(cid:231)ªo f. (cid:201) fÆcil mostrar que se uma fun(cid:231)ªo g((cid:12)) atinge seu mÆximo em (cid:12) , entªo a
b (cid:3)
fun(cid:231)ªo lng((cid:12)) tambØm atinge seu mÆximo em (cid:12) . Como Ø mais fÆcil para os computadores
(cid:3)
maximizarumasomadoqueumproduto,convenciona-seusarologar(cid:237)tmodaverossimilhan(cid:231)a
ao invØs da pr(cid:243)pria verossimilhan(cid:231)a na estima(cid:231)ªo.
Um exerc(cid:237)cio interessante Ø mostrar que se nossa hip(cid:243)tese Ø a de que f (u) Ø a densidade
MV MQO
da distribui(cid:231)ªo normal (ou gaussiana), entªo (cid:12) = (cid:12) .
1.2.3 MØtodo dos momentos b b
Suponha novamente que y = x (cid:12)+u , e acrescente as hip(cid:243)teses de que E(u) = 0 e E(xu) =
i i i
0. Como o primeiro elemento de x Ø a constante 1, a primeira condi(cid:231)ªo acima Ø simplesmente
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E(1 u) = 0, e jÆ estÆ portanto incorporada em E(xu) = 0. Sabemos que um estimador
(cid:3)
consistente dos momentos populacionais acima Ø o equivalente amostral:
N
x (y x (cid:12)) = 0
i i i 0
(cid:0)
i=1
X
que implica em:
N
x y x x (cid:12) = 0
i i (cid:0) i 0i
i=1
X
1 MQO
(cid:12) = (x0x)(cid:0) x0y = (cid:12)
b
Genericamente, o econometrista supıe uma sØrie de hip(cid:243)teses sobre os momentos popu-
lacionais dos res(cid:237)duos, e usa os equivalentes amostrais para encontrar o estimador.
Suponha no problema acima que ao invØs de E(xu) = 0 fosse suposto que E(u x) = 0.
j
Ora, primeiramente temos que E(u x) = 0 implica em E(xu) = 0, mas tambØm implica
j
que para qualquer fun(cid:231)ªo g(x), E(g(x)u) = 0, o que leva em princ(cid:237)pio a uma in(cid:133)nidade
de condi(cid:231)ıes sobre momentos amostrais (por exemplo, E(x2u) = 0, E(cos(x)u) = 0, etc).
A pergunta Ø entªo, como lidar com esse excesso de condi(cid:231)ıes? A resposta leva ao MØtodo
Generalizado dos Momentos, que consiste nos seguintes passos:
1. construir os equivalentes amostrais para cada momento que o analista considere rel-
evante. No exemplo do parenteses acima (e considerando apenas uma variÆvel explicativa
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x):
N
E(u) = 0 : (y x (cid:12)) = 0
i i
(cid:0)
i=1
X
N
E(xy) = 0 : x (y x (cid:12)) = 0
i i i
(cid:0)
i=1
X
N
E x2y = 0 : x2(y x (cid:12)) = 0
i i (cid:0) i
i=1
(cid:0) (cid:1) X
N
E(cos(x)u) = 0 : cos(x )(y x (cid:12)) = 0
i i i
(cid:0)
i=1
X
2. escolher uma matriz positiva (semi) de(cid:133)nida M, para dar pesos aos J diferentes
momentos. Se a matriz for diagonal, o peso de cada condi(cid:231)ªo j na estima(cid:231)ªo (cid:133)nal serÆ dado
por m =(m +m +:::+m ).
j 1 2 J
3. Empilhar os momentos num vetor
N (y x (cid:12))
i=1 i (cid:0) i
2 3
PN x (y x (cid:12))
V = 66 i=1 i i (cid:0) i 77
6 7
6 PN x2(y x (cid:12)) 7
6 i=1 i i (cid:0) i 7
6 7
6 7
6 NP cos(x )(y x (cid:12)) 7
6 i=1 i i (cid:0) i 7
6 7
4 5
P
4. Escolher (cid:12) que minimize o critØrio V MV
0
Nessa estratØgia, qualquer matriz positiva de(cid:133)nida M que o econometrista escolha pro-
duzirÆ uma estimativa consistente de (cid:12). HÆ contudo critØrios para escolher de forma (cid:243)tima
a matriz M, de modo a minimizar a vari(cid:226)ncia do estimador. Mais importante do que as
tecnicalidades Ø convencer e ser convencido de que a hip(cid:243)tese E(u x) = 0 (ou qualquer outra
j
que seja necessÆria (cid:224) estima(cid:231)ªo) Ø real(cid:237)stica do ponto de vista econ(cid:244)mico.
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