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arXiv:1301.4571v2 [math.DG] 23 Jan 2013 Normal forms in Poisson geometry Normal forms in Poissongeometry, Ioan Ma˘rcut , Ph.D. Thesis Utrecht University, February 2013 ISBN: 978-90-393-5913-6 Normal forms in Poisson geometry Normaalvormen in de Poisson-meetkunde (met een samenvatting in het Nederlands) Proefschrift ter verkrijging van de graad van doctor aan de Universiteit Utrecht op gezag van de rector magnificus, prof.dr. G.J. van der Zwaan, ingevolge het besluit van het college voor promoties in het openbaar te verdedigen op maandag 11 februari 2013 des middags te 2.30 uur door Ioan Tiberiu Ma˘rcut , geboren op 24 maart 1984 te Sibiu, Roemenië Promotor: Prof. dr. M. Crainic This thesis was accomplished with financial support from the Netherlands Organisation for Scientific Research (NWO) under the Vidi Project “PoissonTopology” no. 639.032.712. vi Pentru Ioana & Dodu Contents Introduction 1 1 Basic results in Poisson geometry 7 1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Poisson manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Maps and submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Poisson cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Gauge transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.6 Dirac structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.7 Contravariantgeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Existence of symplectic realizations: a new approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Statement of Theorem 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 The first steps of the proof of Theorem 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3 A different formula for ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.4 Proof of Theorem 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.5 Some remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Conn’s theorem revisited. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 The statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Rigidity of the linear Poissonstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.3 Tame homotopy operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.4 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.5 Proof of Theorem 1.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.6 The implicit function theorem point of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4 Some notations and conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Lie algebroids and Lie groupoids 35 2.1 Lie groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Definition of a Lie groupoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.3 Terminology and some properties of Lie groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.4 Existence of invariant tubular neighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.5 Representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Lie algebroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1 Definition of a Lie algebroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 The Lie algebroid of a Lie groupoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.4 Some properties of Lie algebroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.5 Representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1 Differentiable cohomology of Lie groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2 Lie algebroid cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.3 The Van Est map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Symplectic groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ix Contents 2.4.1 Some properties of symplectic groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.1 Criterion for integrability of Lie algebroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.2 The space of A-paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6 Symplectic realizations from transversalsin the manifold of cotangent paths . . . . . . . . . 47 3 Reeb stability for symplectic foliations 51 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Local Reeb Stability for non-compact leaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 A normal form theorem for symplectic foliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1 The local model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.2 Theorem 1, statement and proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.1 Proof of Theorem 3.2.1, part 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.2 Proof of Theorem 3.2.1, part 2), 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.3 Example: trivial holonomy, non-Hausdorff holonomy groupoid. . . . . . . . . . . . . 61 3.4.4 On primitives of smooth families of exact forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4 A normal form theorem around symplectic leaves 67 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1.1 Some comments on the proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1.2 Normal form theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.1.3 The local model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.4 Full statement of Theorem 2 and reformulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.5 The first order data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.6 The local model: the general case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Poisson structures around a symplectic leaf: the algebraic framework . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.1 The graded Lie algebra (ΩE,[, ]⋉) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 · · 4.2.2 Horizontally nondegenerate Poisson structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.3 Horizontally nondegeneraete Poisson structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.4 The dilation operators and jets along S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2.5 The first jet of a Poisson structure around a leaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3 Proof of Theorem 2, Step 1: Moser’s path method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4 Proof of Theorem 2, Step 2: Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.1 Step 2.1: Reduction to integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.2 Step 2.2: Reduction to the existence of “nice” symplectic realizations . . . . . . . . 106 4.4.3 Step 2.3: the needed symplectic realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5 Formal equivalence around Poisson submanifolds 111 5.1 Statement of Theorem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1.1 Some related results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.1.2 The first order data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2 The algebra of formal vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3 The cohomology of the restricted algebroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.4 The proofs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4.1 Proof of Theorem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4.2 On the existence of Poisson structures with a specified infinite jet. . . . . . . . . . . 119 5.4.3 Proofs of the criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.5 Appendix: Equivalence of MC-elements in complete GLA’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 x