Nomogramme zur geneigten Sinuslinie

26 Pages·1959·0.786 MB·German

by  Prof. Dr.-Ing. Walther Meyer zur Capellen (auth.)

OK 621-231.321.2:518.3
FORSCHUNGSBERICHTE
DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Herausgegeben durch das Kultusministerium
Nr.772
Prof. Dr.-Ing. Walther Meyer zur Capellen
Lehrstuhl fur Getriebelehre der Rhein.-Westf. Technischen Hochschule Aachen
Nomogramme zur geneigten Sinuslinie
Als Manuskript gedruckt
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
ISBN 978-3-663-06400-8 ISBN 978-3-663-07313-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07313-0
v
0 r w 0 r t
In Zusammenhang mit experimentellen Untersuchungen an Kurvenscheiben
entstand die vorliegende Arbeit tiber Kurventriebe spezieller Form. Das
Ziel war, die Bewegungsverhaltnisse klar zu stellen und die Ergebnisse
in Nomogrammen niederzulegen. Bei der technischen Ausftihrung unter
sttitzten mich Herr Dipl.-Ing. DINGERKUS und Herr lng. H. VlNKELOE dan
kenswerterweise.
Besonderer Dank gebtihrt dem Kultusministerium ftir die Untersttitzung der
Forschungsarbeiten.
Aachen, im April 1959
G 1 i e d e run g
Vorwort • • .S. :3
. . . . . . . . . . . . .
Einleitung S. 5
1. Bezeichnungen S. 5
. . .
2. Die Gleichung der Hubkurve im ~ ,1)-System · · S. 5
3. Die Hubgeschwindigkeit vund die Amplitude r · S. 6
.
3.2 Grenzwerte ftir 'P. Der Parameter Il . · · S. 7
3.3 Endgtiltige Form ftir die Geschwindigkeit v S. 8
. . . . . . . . .
4. Die Beschleunigung b · • · S. 9
5. Maximum der Geschwindigkeit S. 10
. . · . . . . . .
6. Maximum der Beschleunigung • S. 10
Die wichtigsten Abktirzungen • S. 13
· . .
Literaturverzeichnis S. 14
. . . . . . . . . . . . . . .
Anhang s. 15
Seite 3
Einleitung
1m Folgenden sollen die Gesetze fur eine Kurvenscheibe entwickelt wer
den, bei welcher der Ubergang von einer Rast in die nachste durch eine
allgemeine geneigte Sinuslinie erreicht werden solI [5]. Das Ziel ist
hierbei, Nomogramme zu entwickeln, denen man gewisse wesentliche mit
einander zusammenhangende Parameter, vor allem die maximal en Geschwin
digkeiten und Beschleunigungen entnehmen kann.
Hierbei sei zunachst ein geradgefuhrter StoBel im Abtrieb angenommen.
1. Bezeichnungen
1st R der Halbmesser des ~rundkreises, vgl. Abbildung 12), so sei auf
o
der ~ -Ach'se, Abbildung 2, die Abwicklung des Grundkreises aufgetragen,
d.h., es sei ~ = R ~ mit ~ als dem Drehwinkel der Kurvenscheibe. Dann
o
wird auch ~ = Ro W t mit W als der konstanten Winkelgeschwindigkei t
g
der Kurvenscheibe und mitt als der Zeit, so daB die -Achse der Zei t
achse proportional ist. Es gilt
.g = R ~= R wt.
o 0
Uber der ~-Achse wird das Bewegungs- bzw. das Hubgesetz (in cm z.B.)
aufgetragen. 1m Intervall der welche, vgl. u., einem gewis
Strecke~,
sen Winkel ~ an der Kurvenscheibe entspricht, solI der Ubergang von dem
Hub = 0 zum Hub = h gefunden werden. Hierzu wird, vgl. Abbildung 2,
~ ~
von den Punkten der Geraden
m x mit m (2)
aus unter dem Winkel gegenuber der Senkrechten die sinus-Linie
~
z r sin k x, k = 2~/w,
in dem Intervall 0 ~ x ~ w aufgetragen, wobei r die poch festzulegende
Amplitude (z.B. in cm) darstellt.
2. Die Gleichung der Hubkurve im ~ , ~ -System
Bezeichnet man die fur das tatsachliche Hubgesetz maBgebenden Koordi
naten eines Punktes der Hubkurve mi t ~ und 11, so liest man aus Abbildung 2
1. Zusammenstellung der wichtigsten Abkurzungen auf Seite 13
2. Samtliche Abbildungen befinden sich im Anhang
Seite 5
unmittelbar ab:
x + z simp x + a sin kx mit a r sin~, (4a)
11 y - z cos~ m x - c sin kx mi t c r cos~. (4b)
Die Hubkurve ist somit durch eine Parameterdarstellung gegeben:
~= ~(x), l)=1)(x),
d.h., ~ und 11 sind Funktionen des gemeinsamen Parameters x. Durch diese
Darstellung haben tatsachlich ~ und 1) die gleiche Dimension einer Lange.
g
In Abbildung 1 sind noch die den Strecken x, und w entsprechenden
Winkel 6 = kx,OC, ~ eingetragen.
3. Die Hubgeschwindigkeit v und die Amplitude r
Die Geschwindigkeit v folgt als Ableitung des Rubes 11 nach der Zeit,
und man erhalt nach der Kettenregel
v d11 d11 dx ~ T1 )~ (5a)
dt dx d~ dt dt •
Hierin bedeuten Punkte Ableitungen nach dem Parameter x (nicht nach der
g
Zei t t), d~h., es ist 11 = dl)/dx, = d~/dx. Ferner gilt nach Gl. 1
noch
w.
R
o
Beachtet man ferner die Gl. 4, so daB
~ = 1 + a k cos kx, 11 = m - c k cos kx (5c)
zu setzen ist, so folgt aus Gl. 5a, wenn man sofort dimensionslos
schreibt:
v m - c k cos k x
(6)
Ro W = 1 + a k cos k x
Nun muB ein Sprung in der Geschwindigkeit an den Ubergangsstellen, ein
StoB, vermieden werden, d.h. fur x = 0 und x = w muB v = 0 sein, oder
muB\die Hubkurve waagerechte Tangenten haben. Daraus folgt mit cos 0 =
cos 2 It = 1 sofort m - c k o oder
c k = m h/w, (7a)
Sei te 6
woraus sich mit den Bedeutungen von c k schlieBlich
~nd
h!cos q?
r = 2Tt (1b)
als notwendige Amplitude ergibt.
3.2 Grenzwerte fur ~ • Der Parameter ~ •
Aus Gl. 1b kann der erforderliche Wert r berechnet werden. So liefert
~ = 0 den bekannten Wert r = h!2Tt 3). Jedoch kann r nicht nach
unendlich gehen, d.h. 'P nicht gleich Tt!2 seine Die theoretisch mog
liche Grenze von ist dadurch gegeben, daB die Steigung der Kurve,
~
welche ja durch Gl. 6 gegeben ist, nie unendlich werden darf. Die Kurve
darf keine senkrechte Tangente haben. Nun tritt die groBte Steigung in
der Mitte, d.h. fur x = w!2 = ~ auf (vgl. Abs. 5) und dort wird
cos k x = cos Tt 1, d.h. die Steigung hat den maximal en Betrag
m + c k
(Sa)
1 - a k '
2Tt
und dieser wird unendlich fur a k = 1, d.h. r sin~ 1 •
w
Diese Bedingung fuhrt aber mit Gl. 1b auf
tg ~ = w!h, (Sb)
d.h., die Strecken z bilden mit der Senkrechten, also der Parallelen
zur 11 -Achse, den gleichen Winkel wie diese mit der Geraden
y = m x = h x!w, Abbildung 3. Hat diese Gerade den Steigungswinkel Y ,
so gil t zunachst fur den Winkel
~
(9a)
oder ~ ~ arc tg ~ = arc tg ~. (9b)
Damit gibt es fur jeden Wert einen theoretischen Grenzwert r. Dieser
~
gil t fur ~ = Tt!2 - Y , und es ist der Grenzwert max r, dimensionslos
geschrieben, durch
r 1 m
maxh" = 1/ 2""' (10)
2Tt sin y 2Tt 1 + m
gegeben.
3. Vgl. a. [6J
Sei te 1
Es kann auch ~ negativ werden, und die ~uBere Grenze ist dadu~ch gege
ben, daB der Vektor z auf die Gerade selbst f~llt. Dann wird
~ = - (It/2 - Y ), d.h., es gel ten fur 'P insgesamt die Grenzen
-y ) y)
'Pmin = - (It/2 < ~ < (~ - =~max'
(vgl. a. Abb. 3).
Setzt man den Ausdruck
h
a k = - tg 'P m tg ~ = Il , (11 )
w
+
so muB der Parameter -1 < Il < 1 sein, w~hrend Il = - 1 die soeben ge-
schilderten Grenzf~lle bedeuten.
3.3'Endgultige Form fur die G'eschwindigkeit v
Auf Grund von GI. 7a und der Abkurzung gem~B GI. 11 kann auch GI. 6
die Form
v h 1 - cos ~ (12a)
R W = Vi 1 + Il cos ~
o
gegeben werden, wobei zur Abkurzung noch
2lt x/w = ~ (12b)
eingefuhrt werden kann. Beachten wir, daB auch
w = R 4J , (12c)
o
(vgl. Abb. 1), und daB lV als der n-te Teil von 36f)° oder von 2 It im
BogenmaB aufgefaBt, also
/lV
2lt n (12d)
gesetzt werden kann, so gilt schlieBlich auch
v n 1 - cos @
h W = 2 It· 1 + Il cos W ( 13~I)
Durch diese Darstellung erscheint der Grundkreisradius nicht mehr in
der bezogenen Geschwindigkeit (vgl. Abb. 4b).
Man muB hierbei allerdings das Folgende beachten:
GI. 13 stellt v in Funktion von ~ und damit von x dar. Es muB aber v
an der zugehorigen Stelle ~ aufgetragen werden, und der zum Wert x
gehorige Wert ~ folgt ja aus GI. 4a, wobei den GIn. 4a und b auch
jetzt die einfacheren Formen
Seite 8
R
g = 2~ ( (3 + fJ. sin(3) = ~(P + fJ. sin~), ( 14a)
n
h
lJ = 2 Tt ( ~ - sin ~ ) (14b)
o
gegeben werden kennen. Fur ~ 0, d.h. fJ. = 0, werden die bekannten
Formeln ~ = x und fJ. = mx - r sin ~ sowie h: = ~Tt (1 - cos ~ ) erhal
ten. Fur den Grenzfall fJ. = - 1 springt die Geschwindigkeit bei ~ = 0,
°
d.h. ~ = 0, von auf einen endlichen Wert (vgl. Abb. 5a und b).
4. Die Beschleunigung b
Hier gilt, wieder unter Benutzung der Kettenregel,
dv dv ~ dv dx .9:5 _ ~ i .. 1.. ~ 2
b = dt = ~ dt dx dg d t - dx ( ~) g ( d t ) ,
b (15a)
Da nach Gle 5c
..
2 2
- a k sin kx, lJ c k sin k:x: (15b)
wird, so erhalt man schlieBlich
b k2(c + a m) sinf3
(15c)
(R W )2 = (1 + a k cos ~ )3 •
o
Setzt man wieder a k = fJ. , so schreibt sich c + a m = c + a c k =
c(1 + ak) c(1 + ~ ), und ftihrt man wieder den Wert fur k sowie den
q, In
Winkel 2 Tt ein, so erhal t man nach einigoen Umformungen ohne den
Grundkreisradius in dimensionsloser Schreibweise
b n 2 ' (1 + fJ. ) s in ~
=--...:......----!..-.!...-----!.-:;- (16=11)
2
h W 2 Tt (1 + fJ. cos ~ ) 3 •
Den Verlauf der Beschleunigung Abbildung 4c - wobei wieder wie
~eigt
bei der Geschwindigkeit zu beachten ist, daB die Beschleunigung in Funk
tion von ~ , d.h. x berechnet worden ist und nicht von ~ bzw. dem
Drehwinkel oder der Zeit4).
4. Man hatte auch von GI. I ausgehen kennen unter Beachtung von
b = dv dx ~ = dv ~ ~ (R W)
dx dg d t d.p dx ~ 0
Sei te 9
In den der Erlauterung dienenden Abbildungen 4 und 5 sind als bezogene
GraBen eingetragen:
- v It (-) - b 21t -
~ =~/w, v =11-= f2 ~; b =~~=f3(~)'
w n hw n
I I -
v
so daB ~ = 1 und 1) = 1 fur ~ = w gil t, sowie max = 1 und bmax 1
fur j.1 = 0, d.h. ~ = 0 bei der ublichen geneigteR Sinuslinie.
Danach ist fur den Einzelfall 1) =ij .h, v
Es zeigt sich, daB b sowohl fur x = 0 und x = w verschwindet, so daB
der Ubergang keinen Sprung in der Beschleunigung aufweist, wie bekannt.
Fur j.1 = - 1 und ~ = 0 oder ~ = 2 Tt wird b = co • (Vgl. a. Abb. 5 fur
die FaIle J.L = 0, J.L = - 1 und Il = + 1.)
5. Maximum der Geschwindigkeit
13 P f3
Fur = 1t (auBer = 0 und = 2 Tt) verschwindet die Beschleunigung,
und dort hat die Geschwindigkeit ihr Maximum. Dieses folgt nach Gl. I
aus
*
v
*
Der Winkel ~ = 0, d.h. Il = 0 liefert den Wert v = n/Tt wie bekannt,
wahrend J.L = 1 oder - ~ = Tt/2 - Y wie erwartet auf den Wert co fuhrt.
Die Abbildungen 6 und 7 zeigen Nomogramme fur die Parameter m, ~ , Il ,
*
sowie v = v /h W in Funktion von J.L und n bzw. tV •
max
6. Maximum der Beschleunigung
Das Extremum der Beschleunigung haben wir, wenn der "Ruck" [1] oder
"the pulse" [2] gleich Null wird, d.h. wenn db/dt verschwindet. Bun ist
db db dx ~ db 11' / . ~
dt dx ~ dt = dx RoW , d.h. db dt verschwl.ndet, da ~ nicht nach
co geht, dann, wenn db / dx = 0 l. .st oder wenn rdxb· = dd1bJ ~d(.l = o ist. Es
genugt also, da d~ /dx = const ist, die Gleichung 16 nach ~ zu diffe-
rentiieren und den erhaltenen Ausdruck gleich Null zu setzen. Daraus
folgt die Gleichung
2
31l + cos ~ - 2 J.L cos f3 = 0, (18 )
v
5. oder max = 1/( 1- Il)
Seite 10
welche bei gegebenem Parameter auf
~
~ l/ 1..
cos f3 = _1_ + (_1 _)2
4~ V -2 4~
fUhrt, wobei das ol)ere Vorzeichen fUr ~ < 0 und das untere fUr ~ > 0
gilt. Der Wert ~ = 0 liefert sofort aus Gl. 18 den Wert ~1 = ~/2 und
~2 = 3~/2 wie bekannt.
Um den Winkel, f3 oder die zugehorige Strecke x gemaB f3 = 2 ~ x/w, d. h.
also x = w ~0/3600 zu finden, kann man auch Gl. 18 nach ~ auflosen,
cos f3 cos f3
~ = - 2 (20)
3-2 cos ~
und ~ in Funktion von f3 da-rstellen (vgl. Abb. 8).
Setzt man dann die zueinander gehorenden Werte (3 und ~ in Gl. 16 ein,
so erhalt man die extremale Beschleunigung selbst. Nun laBt sich
~
durch f3 gemaB Gl. 20 ausdrUcken, und setzt man diesen Wert ~ in
Gl. 16 ein, so folgt schlieBlich
b 2 2 2 2 2
** max n (3+2cos (3 ) (3-2cos ~ )
b h w2 = 2~ 21(sin3/3 )(1+cos f3 ) = ~F( f3 )= ~~ bmax (21)
Diese Funktion F( f3 ) kann aber vermoge des Zusammenhanges zwischen f3
und ~ auch als Funktion von ~ aufgefaBt werden, so daB F( f3) = H( ~ )
ist.
Der groBte Wert von b hangt, wie zu erwarten, vom Quadrat der Zahl n
oder vom reziproken Quadrat des Winkels ~ und dann noch vom Parameter
~ gemaB der Funktion H( ~) abo Diese ist in Abbildung 9 graphisch bei
verzerrtem MaBstab [Nomogramm] dargestellt. Sie geht fUr ~ = + 1 und
= - 1 nach unendlich und hat fUr = 0 den bekannten Wert 1.
~ ~
Die Funktion hat aber nicht fUr = 0, also = 0 ihren Kleinstwert,
~ ~
d.h. betrachtet man Sinuskurven mit verschiedenen Winkeln , also
~
Parametern , so hat man nicht fUr = 0, sondern fUr einen noch naher
~ ~
zu bestimmenden Wert 0 die bei sonst gleichen Bedingungen Uberhaupt
~.
mogliche kleinste Beschleunigung (in tlbereinstimmung mit RAUH [3], aber
[4]).
in Gegensatz zu SAUER
6. Man erhal t zwei Werte /3, und zwar (31 und ~2 = 2 ~ f31• Der eine
Wert liefert das Maximum, der andere das Minimum von b, wobei deren
Absolutwerte einander gleich sind
Sei te 11