Nombres entiers et rationnels, congruences, permutations [Lecture notes]

57 Pages·2004·0.365 MB·French

by  Antoine Chambert-Loir

NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS,
CONGRUENCES, PERMUTATIONS
Coursàl’UniversitédeRennes1(2004–2005)
Antoine Chambert-Loir
AntoineChambert-Loir
IRMAR,CampusdeBeaulieu,35042RennesCedex.
E-mail:[email protected]
Url:http://name.math.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir
Versiondu15décembre2004
TABLE DES MATIÈRES
§1. Nombresentiersetprincipederécurrence .................................. 4
Unpeud’histoire,4; Quelquesdémonstrationsparrécurrence,6;
Récurrence et la définition des opérations élémentaires, 8;
Suitesdéfiniesparrécurrence,9.
§2. Combinatoire,probabilités .............................................. 12
Rappels(sic)dethéoriedesensembles,12; Ilesttoujoursbond’avoirdes
principes,14; TriangledePascal,16; Probabilités,20.
§3. Divisioneuclidienne .................................................... 24
Un peu de terminologie algébrique, 24; Le théorème de la division
euclidienne,25; Numération, 26; Divisibilité, 28; Plus grand diviseur
commun,algorithmed’Euclide,31.
§4. Nombrespremiers ...................................................... 36
Cribled’Ératosthène,36; Factorisation,38; Combienya-t-ildenombres
premiers?,40; LethéorèmedeTchebychevetlepostulatdeBertrand,41;
PetitthéorèmedeFermat,42.
§5. Congruences ............................................................ 44
Théorèmechinois,44; Indicateurd’Euler,cryptographieRSA,45;
Appendice:l’anneauZ/nZ,49.
§6. Permutations ............................................................ 52
Le groupe des permutations d’un ensemble à n éléments, 52;
Transpositions;unalgorithmedetri,53; Signature;lejeudetaquin,54;
Orbites,ordred’unepermutation,55.
4 TABLEDESMATIÈRES
§1. Nombresentiersetprincipederécurrence
A. Unpeud’histoire
LeopoldKronecker,unmathématicienallemandduXIXe siècleaditunjour:«Dieu
a inventé les nombres entiers, le reste est l’œuvre de l’homme». L’arithmétique, la
sciencequiétudielespropriétésdesnombresentiers,afascinéleshumainsprobable-
mentdepuislanuitdestemps.Ontrouveentoutcasdestextesd’arithmétiqueparmi
lestoutpremierstextesécritsquinousrestent(laplusanciennetablettedontondis-
poseestunereconnaissancededettes).
Parmi les propriétés des nombres entiers que nous allons étudier figurent des ré-
sultats très anciens : l’existence d’une infinité de nombres premiers est un théorème
d’Euclide, un mathématicien grec qui vivait au IVe siècle avant Jésus-Christ. Certains
problèmesremontentàArchimède(lesbœufsdusoleilparexemple).
Pourtant,lanécessitéd’unedéfinitiondesnombresentiersn’estapparuequ’auXIXe
siècle qui fut un moment de bouleversement théorique en mathématique. C’est à ce
moment que les mathématiciens commencèrent à ressentir fermement le besoin de
définirplusprécisémentl’objetdeleurscience,faisantenparticulierclairementladis-
tinctionentreaxiomes,définitions,théorèmes,...Lesmathématiciensdurentaussiré-
soudreleproblèmedel’infini:qu’est-cequ’unensemble«infini»?Lapossibilitéd’ap-
préhendermathématiquementl’infinifutd’ailleurslesujetd’unecontroversethéolo-
gique—seulDieuestinfini.Pire,GeorgCantordécouvritqu’ilexistaitdesinfinisplus
grands que d’autres et, en un sens, l’ensemble des entiers est le plus petit ensemble
infini.
C’estaussiqu’àlatoutefindu XIXe sièclequeRichardDedekind,puisquelquesan-
néesplustard,GiuseppePeano,énoncèrentdesaxiomesquipermettentdecaractéri-
serl’ensembledesnombresentiers.Dupointdevuepratique,cesaxiomessontdonc
les«briquesdebase»quelemathématicienpeutassemblerpourdémontrerunepro-
priétéliéeauxnombresentiers.Voicilesquatrepremiersaxiomes,souslaprésentation
dePeano(sicen’estquePeanofaisaitdébuterl’ensembledesentiersà1).
a) zéro(0)estunentier;
b) toutentieraunsuccesseur;
c) toutentierautrequezéroestlesuccesseurd’unentier;
d) sideuxentiersontmêmesuccesseur,ilssontégaux.
Dupointdevuedesentiersquevousconnaissez,lesuccesseurd’unentiern n’estrien
d’autrequel’entiern+1.Siunentiernn’estpaségalà0,ilvérifien>1etl’entier(n−1)
estleseulentierquiaitn poursuccesseur.
Ledernieraxiomeestleprincipederécurrence:
e) Soit Aunensembled’entiers.Supposonsque Acontienne0etquesiunentiern
appartientà A,sonsuccesseurappartienneà A.Alors Aestl’ensembledetouslesen-
tiers.
L’aspect remarquable de cet axiome est qu’il permet de démontrer une infinité de
théorèmesenuntempsfini.Supposonsparexemplequel’ondoivedémontrerqu’une
A.UNPEUD’HISTOIRE 5
P
certainepropriété (n)quidépendd’unentiern estvraiepourtoutentier.Enappli-
P
quant le principe de récurrence à l’ensemble des entiers n tels que (n) soit vérifié,
onpeutdémontrerlerésultatvouludelafaçonsuivante:
– ondémontrelapropriétéP pourn=0(initialisation);
P
– ondémontrequesilapropriété (n)estvérifiée(hypothèsederécurrence),alors
P(n+1)estencorevraie.
P
Le principe de récurrence entraîne que la propriété est vérifiée pour tout entier.
Sanslui,ondevraitcommencerparlecasn=0,puisn=1,puisn=2,etc.,etmêmeà
la7egénération,vos«successeurs»n’enseronttoujourspasvenuàbout!Pascal(XVIIe
siècle)avaitdéjàutiliséleprincipederécurrence,maisilrevientbienàPeanodel’avoir
dégagéentantqu’axiomequicaractériselesnombresentiers.
Ilyaunevarianteimportanteduprincipederécurrencequis’énoncecommesuit:
toutepartienonvidedel’ensembledesentierspossèdeunpluspetitélément.Entermes
mathématiques, pour toute partie non vide A de N, il existe un entier a ∈ A tel que
toutentiern∈Avérifien>a.Pourl’établir,nousallonsdémontrerlapropriétéP(n)
suivante:si AestunepartiedeNtelquen∈A,alors Apossèdeunpluspetitélément.
P
Lapropriété (0)signifie:si AestunepartiedeNcontenant0,alors Apossèdeun
pluspetitélément.Elleestvraie,cepluspetitélémentestprécisément0.
SupposonsqueP(n)soitvraieetdémontronsP(n+1).Soit A unepartiedeNtel
quen+1∈A.Sin+1estlepluspetitélémentde A,onaterminé;sinon,ilexistea∈A
telquea<n+1,donca6n.PosonsB=A∪{n}.Onan∈B;parrécurrence,B admet
unpluspetitélémentb.Cetélémentestnécessairementinférieurouégalàa cara∈A
et A ⊂B, et inférieur ou égal à n, car n ∈B. Si b = n, alors n 6 a 6 n, d’où n = a, ce
qui montre que b ∈ A; sinon, b < n et b ∈ A aussi. Alors, pour tout élément m de A,
ona b 6m,car m ∈B.Celamontreque A possèdeunpluspetitélémentetachèvela
démonstrationparrécurrence.
Inversement, on peut déduire le principe de récurrence de cette variante (et des
quatre premiers axiomes). Soit en effet A une partie de N qui contient 0 et qui, si elle
contientunélément,contientsonsuccesseur.Montronsque A=N.SoitB lecomplé-
mentairede AdansN,c’est-à-direl’ensembledesentiersquin’appartiennentpasà A.
On veut montrer que B est vide. Raisonnons par l’absurde. Sinon, B possède un plus
petitélémentb.Comme0∈A,06∈B,d’oùb6=0.Parsuite,b estlesuccesseurd’unélé-
ment a deN.Si a ∈ A,alors b =s(a)∈ A,cequiestfaux;maissi a ∈B,onal’inégalité
a<b quicontreditl’hypothèsequeb estlepluspetitélémentdeB.
Ilresteencoreunetâcheaumathématicienconsciencieux:démontrerqu’il«existe»
unensembleaveccespropriétés:lesentiersdeM.ToutleMondelesvérifienteffecti-
vement,maisilsneformentpasunensembleassezbiendéfinipourlemathématicien.
Nous laisserons ce problème de côté dans la suite de ce cours et feront comme si les
entiersnaïfsétaientunobjetmathématiqueobéissantauxaxiomesdePeano.
6 §1.NOMBRESENTIERSETPRINCIPEDERÉCURRENCE
B. Quelquesdémonstrationsparrécurrence
Sivousdevezacheterunemaisonouunbienassezcher,vousdevrezprobablement
emprunter la somme correspondante à une banque. La banque avance alors l’argent
et, chaque mois, vous devrez payer une somme fixée (la «mensualité»). Votre capital
restantdûdiminued’autant,aprèsavoirétémajorédesintérêtssurlasommerestant
due.Intéressons-nousauxintérêts.Lalittératurebancairefaitengénéralmentiond’un
taux annuel — pour un prêt immobilier, il est en ce moment l’ordre de 4,5% par an.
Mais comme vous remboursez chaque mois, vos intérêts sont aussi calculés chaque
mois et le banquierdoit utiliser un taux mensuel. On imaginerait a priori quecetaux
mensuelestcalculédesortequelesintérêtsd’unan(enl’absencederemboursement)
correspondentautauxannuel.
Pour être plus clair, posons quelques équations. Appelons τ le taux annuel et τ
a m
le taux mensuel. En gros, τ = 4,5/100 = 0,045. Si le capital dû au 1er janvier est C,
a
les intérêts accumulés en un an seront de τ ×C, d’où un capital dû au 31 décembre
a
de(1+τ )C.Calculonsmensuellement.Au1er février,lesintérêtsaccumuléss’élèvent
a
à τ C, d’où un capital dû de (1+τ )C. Un mois plus tard, le capital dû est multiplié
m m
par (1+τ ), donc il vaut (1+τ )2C, et finalement, au bout d’un an, le capital dû est
m m
de (1+τ )12C. (Au passage, on a omis le raisonnement par récurrence qui calcule le
m
terme général d’une suite géométrique...) Si le taux mensuel et le taux annuel se cor-
respondent,onarriveàl’équation
1+τ =(1+τ )12.
a m
Pourtant, ce n’est pas ce qui se passe : les banquiers utilisent systématiquement la
formule
τ =12τ .
a m
Précisément,siτ estletauxmensueleffectivement,lesprospectusaffichentcomme
m
tauxannuellavaleur12τ .Seposealorslaquestion:est-cepareil?Biensûr,cen’est
m
paspareilet,siτ >0(cequiestlecas!),onal’inégalité
m
(1+τ )12>1+12τ .
m m
Autrement dit, le taux annuel que vous payez est plus élevé que celui que la banque
vousannonce.Maisc’estcommeça,ilsemblequelaréglementationofficielleenma-
tièredecréditlepermette...
Dansl’inégalitéprécédente,lenombre12n’arienàvoiretnousallonsmontrerque
pourtoutentiern>2ettoutnombreréelx>0,ona(1+x)n>1+nx.Sin=2,
(1+x)2=1+2x+x2>1+2x.
carx2>0.Supposonsalorsquel’inégalitéestvraiepournetcalculons(1+x)n+1.Ona
d’abord
(1+x)n+1=(1+x)n(1+x)
pardéfinitiondespuissances.Enmultipliantl’inégalitépour n (l’hypothèsederécur-
rence)parlenombreréel(1+x)quieststrictementpositif,onobtient
(1+x)n(1+x)>(1+nx)(1+x)=(1+nx)+(1+nx)x=1+(n+1)x+nx2,
B.QUELQUESDÉMONSTRATIONSPARRÉCURRENCE 7
d’où
(1+x)n+1>1+(n+1)x+nx2>1+(n+1)x
puisquenx2>0.Celadémontrel’hypothèsepourn+1etl’inégalitéestvraiepourtout
entiern.
Exercices. — 1)Ondisposed’unstockillimitédepiècesde3€etde5€.Quelssontlesmontants
quel’onpeutpayer?
>
2)Sinestunentier 1etxunréeldans[0,1],montrerl’inégalité
nx
1−nx6(1−x)n61− .
1+(n−1)x
3)Soit(x )unesuitederéelsdans]0,1[.OnposeS =x +···+x .Montrerl’inégalité
n n 1 n
1
1−S <(1−x )(1−x )...(1−x )< .
n 1 2 n 1+S
n
4) a) Montrerquepourtoutentiern>4,ona2n<n!.
b) DéterminerunentierAtelquepourtoutn>A,onait3n<n!.
5) a) Montrerquepourtoutentiern,4n+5estunmultiplede3.
b) Montrerquesi10n+7estmultiplede9,10n+1+7l’estaussi.Quepeut-onendéduire?
6) a) Montrerparrécurrencesurnlesformules
n(n+1) n(n+1)(2n+1)
1+2+···+n= et 12+22+···+n2= .
2 6
b) Quevaut,sinestimpair,lasomme1+3+5+···+n?
c) Montrerparrécurrencequepourtoutentiernatureln,ona
Xn n(n+1)
(−1)kk2=(−1)n .
2
k=0
7) a) Déterminerdeuxnombresréelsaetbtelsquel’onait,pourtoutnombreréelx>0,
1 a b
= + .
x(x+1) x x+1
>
b) Montrerparrécurrencequepourtoutentiernatureln 1,ona
Xn 1 1
=1− .
k(k+1) n+1
k=1
n n
8)Montrerquepourtoutentiern>1,ona Y(4k−2)=Y(n+k).
k=1 p k=1
9) a) Sixety sontdeuxréelspositifs,montrerque xy6(x+y)/2.
b) Montrerparrécurrencesurnquesix1,...,x2n sontdesréelspositifs,
(x1···x2n)1/2n 6(x1+···+x2n)/2n.
>
c) SoitN 2etsoitx ,...,x desréels.Démontrerque
1 N
(x ···x )1/N6(x +···+x )/N
1 N 1 N
(inégalitéentremoyennearithmétiqueetmoyennegéométrique).Pourcela,choisirunentiern
telqueN62n;poser,pourN6k62n,x =(x +···+x )/N;appliquerlaquestionprécédente.
k 1 N
10) a) Peut-onpaverunéchiquierprivédedeuxcasesdiagonalementopposéespardesdo-
minos(chacunrecouvrantexactementdeuxcases).
8 §1.NOMBRESENTIERSETPRINCIPEDERÉCURRENCE
b) Démontrerquel’onpeutpaverunéchiquier8×8pardestriominosenformedeL(re-
couvranttroiscases)desorteàlaisservideunecasequelconqueprescriteàl’avance.(Rempla-
cer8par2n,etfaireunerécurrence...)
c) QuelsrectanglessontpavablespardestriominosenformedeL?(Laréponsegénérale
n’estsemble-t-ilpasconnue...)
11*)Ontracendroitesdansleplan;onsupposequedeuxd’entreellesnesontpasparallèles
etquetroisd’entreellesnesontpasconcourantes.
a) Quelleestlenombrederégionsduplanqu’ellesdélimitent?Combiend’entreellessont
bornées?(Une(n+1)-ièmedroitecoupechacunedes n premièresen n pointsdistincts;elle
traverse(n+1)régionsenlesdivisanten2.Lesquellessontbornées?)
b) Quelestlenombremaximaldepartsd’ungâteaucirculairequel’onpeutobtenirenn
coupsdecouteau?
12)Nousallonsdémontrerparrécurrencesurnquesi,dansunesalledenpersonnes,ilyaau
moinsunefille,alorsiln’yaquedesfilles.NotonsP(n)cetteproposition.
Elleestvraiepourn=1.
Supposons qu’elle soit vraie pour n, c’est-à-dire supposons que lorsqu’une salle contient
n personnes dont au moins une fille, alors il n’y a que des filles; montrons qu’elle est vraie
pour n+1. Considérons donc une salle contenant n+1 personnes dont au moins une fille;
appelons-laChantal.FaisonssortirunepersonneautrequeChantal,disons,Vincent.Lasalle
contientnpersonnes,dontunefille,Chantal.Parl’hypothèsederécurrence,ilyadoncnfilles
danslasalle.OnfaitalorsentrerVincent,etondemandeàChantaldesortir.Danslasalleilya
npersonnesdontn−1filles.Enappliquantànouveaul’hypothèsederécurrence,onendéduit
quelasallenecontientquedesfilles.OnfaitalorsrentrerChantal;lasallenecontientquedes
filles.
Chercherl’erreur!
13)LejeudestoursdeHanoïestconstituéden disquesderayonsdistinctsetdetroispiquets
pouvant les accueillir. On ne peut poser un disque que sur un disque plus grand. Au début,
les disques sont empilés du plus grand au plus petit sur un des piquets; le but du jeu est de
déplacerl’ensemblesurundesdeuxautrespiquets.Montrerquec’esteffectivementpossible
en2n−1étapes,maispasenmoins.
C. Récurrenceetladéfinitiondesopérationsélémentaires
Leprincipederécurrencepermetaussidedéfinir desobjetsdépendantd’unentier.
Ainsi,quelquesannéesavantquePeanon’énoncesesaxiomes,Grassmannavaitdéfini
les opérations arithmétiques à l’aide de l’opération x 7→ x+1 et d’un raisonnement
par récurrence. Expliquons comment procéder et comment démontrer les propriétés
élémentairesdel’additionetdelamultiplication.
Toutd’abord,onnote1lesuccesseurde0,2lesuccesseurde1,3celuide2,etc.On
noteraaussis(n)lesuccesseurd’unentiern;pourlesentiersnaïfs,celacorrespondà
ajouter1.
Si m et n sont deux entiers, on veut définir l’entier m+n, ce qu’on va faire par ré-
currence sur n. Si n = 0, on pose m+0 = m. Si n est un entier différent de 0, n est
le successeur d’un entier n0; l’entier m+n0 a été défini par récurrence et on pose
m+n = s(m+n0). En termes naïfs, n0 = n−1 et la formule précédente signifie que
m+n=m+(n0+1)=(m+n0)+1.Celadéfinitl’additiondedeuxentiersarbitraires.
D.SUITESDÉFINIESPARRÉCURRENCE 9
Montronsmaintenantquel’additionestcommutative,c’est-à-direquem+n=n+
m.NotonsP(n)lapropriété:pourtoutentierm,m+n=n+m.
LapropriétéP(0)s’écrit:pourtoutentier m,ona m+0=0+m,et m+0=m par
définition.Nousallonsdoncdémontrerparrécurrencesurmque0+m=mpourtout
entierm.Pourm=0,ondoitdémontrer0=0+0,cequiestvrai.Supposonsalorsque
m =0+m; on a alors 0+s(m)=s(0+m) par construction. Par l’hypothèse de récur-
rence,0+m=m,donc0+s(m)=s(m),cequimontrelapropriétépourlesuccesseur
P
dem.Parrécurrence,lapropriété (0)estdoncvraie.
P
Supposonsque (n)soitvérifiéeetmontronsquelapropriétéestencorevraiepour
lesuccesseurden.Simestunentier,soitQ(m)lapropriétém+s(n)=s(n)+m;nous
allonsencoreladémontrerparrécurrence!Si m =0,ona0+s(n)=s(n)+0carP(0)
Q
estvraie.Silapropriété (m)estvraie,alors
s(m)+s(n)=s(s(m)+n) pardéfinitiondes(m)+s(n)
=s(n+s(m)) carP(n)estvraie
=s(s(n+m)) pardéfinitionden+s(m)
=s(s(m+n)) carP(n)estvraie
=s(m+s(n)) pardéfinitiondem+s(n)
=s(s(n)+m) carQ(m)estvraie
=s(n)+s(m) pardéfinitiondes(n)+s(m).
Q
Ainsi, la propriété (s(m)) est vraie. Par récurrence, elle est donc vraie pour tout en-
P
tierm,cequidémontrelapropriété (s(n)).
P
Parrécurrence,lapropriété estvraiepourtoutentier.
Ilfaudraitmaintenantdémontrerl’associativitédel’addition,c’est-à-direquesi m,
n,p sontdesentiers,ona(m+n)+p=m+(n+p).
Pour construire la multiplication, on utilise le fait que pour multiplier m par n, on
doiteffectuerl’additionn+n+···+n,mfois.Posonsainsi,pourtoutentiern,1×n=n.
Sim×n estdéfini,ondéfinitalorss(m)×n parlaformule
s(m)×n=(m×n)+n.
Ondémontrealorsparrécurrencequem×n=n×m,que(m×n)×p=m×(n×p),etc.
Exercices. — 1)Démontrerl’associativitédel’addition,lacommutativitéetl’associativitédela
multiplication.
D. Suitesdéfiniesparrécurrence
Cesontlessuites(denombresentiers,réels,depoints,defonctions,...)dontchaque
termeestdéfinienfonctionduprécédent,voiredesdeuxprécédents,...Lessuitesarith-
métiques,définiesparunerelationdelaformeun+1=un+a,ensontunexemple.On
démontreparrécurrencequeu =u +na pourtoutentiern.
n 0
De même, les suites géométriques sont définies par une relation un+1 = aun. Le
nombrea estappeléraison.etl’onau =anu pourtoutentiern.
n 0
10 §1.NOMBRESENTIERSETPRINCIPEDERÉCURRENCE
Revenons au problème des prêts bancaires. La question, connaissant le taux men-
suelτ ,lecapitalempruntéC etlenombredemensualitésN,estdecalculerlemon-
m
tant M de la mensualité. Ou à l’inverse, connaissant le taux mensuel, le capital dont
vousavezbesoinetlamensualitéquevouspouvezpayer,decalculerlenombred’an-
néespendantlesquellesvousdevrezrembourservotreprêt.
OnposeC =C et,plusgénéralement,onnoteC lecapitalrestantdûauboutden
0 n
mois. Au bout de chaque mois, la banque vous considère comme débiteur des inté-
rêts mensuels sur le capital dû au début du mois mais vous crédite du montant de la
mensualité,sibienquelecapitalrestantdûaumois(n+1)vérifielarelation
Cn+1=Cn+τmCn−M=(1+τm)Cn−M.
Lasuite(C )estdoncunmélanged’unesuitearithmétiqueetd’unesuitegéométrique.
n
Il y a une astuce pour ramener cette suite à une suite géométrique. Cherchons un
réel Atelque
Cn+1−A=(1+τm)(Cn−A)
Enidentifiantlesdeuxrelations,onobtient
Aτ =M.
m
Lasuite(C −A)estunesuitegéométriquedepremierterme(C −A)etderaison(1+
n 0
τ ).Onaainsi,pourtoutentiern,
m
C −A=(1+τ )n(C −A),
n m 0
d’oùlaformule
(1+τ )n−1
C =(1+τ )nC − m M.
n m 0 τ
m
Si tout le capital est remboursé en N mois, on a C = 0 et cette formule permet de
N
déterminer la mensualité M. Inversement, si M est fixée, on peut trouver n tel que
C =0;àmoinsd’unecoïncidencepeuprobable,onn’obtiendrapasunnombreentier
n
maisunnombreréeldelaformeN+x avec06x<1.Celasignifiequ’onremboursera
lamensualitéfixéependantN mois,etqueladernièremensualitéseraplusfaible.
Exercices. — 1)Onconsidèreunesuitearithmétique(u )depremiertermeu etderaisona
n 0
etonposeU =u +···+u =Pn u .MontrerqueU =(n+1)(u +1an).
n 0 n k=0 k n 0 2
2)Onconsidèreunesuitegéométrique(v )depremiertermeu etderaisona etonposeen-
n 0
coreU =u +···+u .Onsupposeque a 6=1;montreralorsqueU =u an+1−1.QuevautU
n 0 n n 0 a−1 n
danslecasoùa=1?
3)Unrécipientcontient1dm3 deriz,chaquegrainfaisant1mm3.Ondisposeungrainderiz
sur la première case d’un échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la suivante, et ainsi de
suite,endoublantàchaquefoislenombredegrains.Combiendecasesdel’échiquierseront
remplieslorsquelepotderiznecontiendraplusassezdegrains?Combienenreste-t-ildansle
pot?
4)Lasuite(un)estdéfinieparu1=1/2etun=un−1/(2nun−1+1),sin>2.Calculeru1+···+un
pour tout entier n. (Commencez par calculer explicitement cette somme pour de petites va-
leurs de n, conjecturez alors une formule générale que vous démontrerez ensuite par récur-
rence.)